विश्लेषणात्मक ज्यामिति की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि - गणित - 2025

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के ऐतिहासिक पूर्ववृत्त सत्रहवीं सदी, के लिए वापस जाने के लिए जब पियरे डी फर्मा और रेने देकार्त अपने मौलिक विचार को परिभाषित किया। उनके आविष्कार ने फ्रांकोइस विएटे के बीजगणित और बीजगणितीय संकेतन के आधुनिकीकरण का अनुसरण किया।

इस क्षेत्र के प्राचीन ग्रीस में इसके आधार हैं, विशेष रूप से एपोलोनियस और यूक्लिड के कार्यों में, जिनका गणित के इस क्षेत्र में बहुत प्रभाव था।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के पीछे आवश्यक विचार यह है कि दो चर के बीच का संबंध, जैसे कि एक दूसरे का एक कार्य है, एक वक्र को परिभाषित करता है।

यह विचार सबसे पहले पियरे डी फरमेट द्वारा विकसित किया गया था। इस आवश्यक ढांचे के लिए धन्यवाद, आइजैक न्यूटन और गॉटफ्रीड लीबनिज पथरी विकसित करने में सक्षम थे।

फ्रांसीसी दार्शनिक डेसकार्टेस ने भी ज्यामिति के लिए एक बीजगणितीय दृष्टिकोण की खोज की, जाहिर तौर पर अपने दम पर। डेसकार्टेस का काम ज्यामिति पर उनके प्रसिद्ध पुस्तक डिस्कोर्स ऑन मेथड में दिखाई देता है।

यह पुस्तक बताती है कि कम्पास और सीधे किनारे के ज्यामितीय निर्माणों में जोड़, घटाव, गुणा और वर्गमूल शामिल हैं।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति गणित में दो महत्वपूर्ण परंपराओं के मिलन का प्रतिनिधित्व करती है: ज्यामिति रूप के अध्ययन के रूप में, और अंकगणित और बीजगणित, जिन्हें मात्रा या संख्या के साथ करना होता है। इसलिए, विश्लेषणात्मक ज्यामिति समन्वय प्रणालियों का उपयोग करके ज्यामिति के क्षेत्र का अध्ययन है।

इतिहास

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की पृष्ठभूमि

ज्यामिति और बीजगणित के बीच संबंध गणित के पूरे इतिहास में विकसित हुआ है, हालांकि ज्यामिति परिपक्वता के पहले चरण में पहुंच गई है।

उदाहरण के लिए, ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड अपनी क्लासिक पुस्तक द एलिमेंट्स में कई परिणामों को व्यवस्थित करने में सक्षम थे।

लेकिन यह पेरगा का प्राचीन ग्रीक एपोलोनियस था जिसने अपनी पुस्तक कॉनिक्स में विश्लेषणात्मक ज्यामिति के विकास की भविष्यवाणी की थी। उन्होंने एक शंकु को एक शंकु और एक विमान के बीच के चौराहे के रूप में परिभाषित किया।

यूक्लिड के समान त्रिभुजों और हलकों के सेक्टर्स पर परिणामों का उपयोग करते हुए, उन्होंने एक शंकु के किसी बिंदु "P" से दो लंब रेखाओं, एक शंकु की प्रमुख धुरी और अक्ष के अंतिम बिंदु पर स्पर्शरेखा द्वारा दिए गए संबंध को पाया। अपोलोनियस ने इस संबंध का उपयोग शंकुओं के मौलिक गुणों को कम करने के लिए किया था।

गणित में समन्वय प्रणालियों का बाद का विकास तब हुआ जब बीजगणित इस्लामी और भारतीय गणितज्ञों की बदौलत परिपक्व हुआ।

पुनर्जागरण तक, ज्यामिति का उपयोग बीजगणितीय समस्याओं के समाधान को सही ठहराने के लिए किया गया था, लेकिन बहुत कुछ ऐसा नहीं था कि बीजगणित ज्यामिति में योगदान दे सके।

यह स्थिति बीजीय संबंधों के लिए एक सुविधाजनक संकेतन को अपनाने और गणितीय फ़ंक्शन की अवधारणा के विकास के साथ बदल जाएगी, जो अब संभव थी।

सेंचुरी XVI

16 वीं शताब्दी के अंत में, फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रांकोइस विएटे ने पहला व्यवस्थित बीजीय संकेतन पेश किया, जिसमें ज्ञात और अज्ञात दोनों ही संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्षरों का उपयोग किया गया था।

उन्होंने बीजीय अभिव्यक्तियों को काम करने और बीजीय समीकरणों को हल करने के लिए शक्तिशाली सामान्य तरीके विकसित किए।

इसके लिए धन्यवाद, गणितज्ञ समस्याओं को हल करने के लिए पूरी तरह से ज्यामितीय आंकड़ों और ज्यामितीय अंतर्ज्ञान पर निर्भर नहीं थे।

यहां तक ​​कि कुछ गणितज्ञों ने मानक ज्यामितीय सोच को छोड़ना शुरू कर दिया, जिसके अनुसार लंबाई और वर्गों के रैखिक चर क्षेत्रों के अनुरूप हैं, जबकि घन चर मात्रा के अनुरूप हैं।

इस कदम को उठाने वाले पहले दार्शनिक और गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस थे, और वकील और गणितज्ञ पियरे डी फरमेट थे।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति का फाउंडेशन

डेसकार्टेस और फ़र्मेट ने 1630 के दशक के दौरान स्वतंत्र रूप से विश्लेषणात्मक ज्यामिति की स्थापना की, जो कि लोकस के अध्ययन के लिए विएट के बीजगणित को अपनाते थे।

इन गणितज्ञों ने महसूस किया कि बीजगणित ज्यामिति में एक शक्तिशाली उपकरण था और आविष्कार किया जो आज विश्लेषणात्मक ज्यामिति के रूप में जाना जाता है।

एक सफलता जो उन्हें तय करने के बजाय वेरिएबल का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्षरों का उपयोग करके वायट को पार करने के लिए थी।

डेसकार्टेस ने ज्यामितीय रूप से परिभाषित घटता का अध्ययन करने के लिए समीकरणों का उपयोग किया, और डिग्री "x" और "y" में बहुपद समीकरणों के सामान्य बीजगणितीय-चित्रमय वक्रों पर विचार करने की आवश्यकता पर बल दिया।

अपने हिस्से के लिए, फर्मट ने जोर दिया कि निर्देशांक "x" और "y" के बीच कोई भी संबंध एक वक्र निर्धारित करता है।

इन विचारों का उपयोग करते हुए, उन्होंने बीजगणितीय शब्दों पर अपोलोनियस के कथनों का पुनर्गठन किया और उनके कुछ खोए हुए कार्यों को पुनर्स्थापित किया।

फर्मेट ने संकेत दिया कि "x" और "y" में किसी भी द्विघात समीकरण को शंकु वर्गों में से एक के मानक रूप में रखा जा सकता है। इसके बावजूद, फर्मट ने कभी भी इस विषय पर अपने काम को प्रकाशित नहीं किया।

उनके अग्रिमों के लिए धन्यवाद, आर्किमिडीज केवल बड़ी कठिनाई के साथ और अलग-थलग मामलों के लिए क्या हल कर सकते थे, फ़र्मट और डेसकार्टेस जल्दी से और बड़ी संख्या में घटता (अब बीजगणितीय घटता के रूप में जाना जाता है) को हल कर सकते हैं।

लेकिन उनके विचारों ने केवल 17 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में अन्य गणितज्ञों के प्रयासों के माध्यम से सामान्य स्वीकृति प्राप्त की।

गणितज्ञों फ्रैंस वैन शुटेन, फ्लोरिमोंड डे बीयून और जोहान डी विट ने डेकार्टेस के काम का विस्तार करने में मदद की और महत्वपूर्ण अतिरिक्त सामग्री को जोड़ा।

प्रभाव

इंग्लैंड में जॉन वालिस ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति को लोकप्रिय बनाया। उन्होंने शंकुओं को परिभाषित करने और उनके गुणों को प्राप्त करने के लिए समीकरणों का उपयोग किया। हालांकि उन्होंने स्वतंत्र रूप से नकारात्मक निर्देशांक का इस्तेमाल किया, यह आइजैक न्यूटन थे जिन्होंने विमान को चार चतुर्भुजों में विभाजित करने के लिए दो तिरछी कुल्हाड़ियों का इस्तेमाल किया।

न्यूटन और जर्मन गॉटफ्राइड लीबनिज ने 17 वीं शताब्दी के अंत में पथरी की शक्ति का स्वतंत्र रूप से प्रदर्शन करके गणित में क्रांति ला दी।

न्यूटन ने ज्यामिति में विश्लेषणात्मक तरीकों के महत्व और कलन में उनकी भूमिका का प्रदर्शन किया जब उन्होंने कहा कि किसी भी क्यूब (या किसी भी तृतीय-डिग्री बीजगणितीय वक्र) में उपयुक्त समन्वय अक्षों के लिए तीन या चार मानक समीकरण हैं। स्वयं न्यूटन की मदद से 1717 में स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन स्टर्लिंग ने इसे साबित किया।

तीन और अधिक आयामों का विश्लेषणात्मक ज्यामिति

हालांकि डेसकार्टेस और फ़र्मेट दोनों ने अंतरिक्ष में घटता और सतहों का अध्ययन करने के लिए तीन निर्देशांक का उपयोग करने का सुझाव दिया, तीन आयामी विश्लेषणात्मक ज्यामिति धीरे-धीरे 1730 तक विकसित हुई।

गणितज्ञों यूलर, हरमन, और क्लैरट ने सिलेंडर, शंकु और क्रांति की सतहों के लिए सामान्य समीकरण तैयार किए।

उदाहरण के लिए, यूलर ने सामान्य द्विघात सतह को बदलने के लिए अंतरिक्ष में अनुवाद के लिए समीकरणों का उपयोग किया ताकि इसकी प्रमुख कुल्हाड़ियों को इसके समन्वित अक्षों के साथ मिलाया जाए।

यूलर, जोसेफ-लुई लग्रगे और गैसपार्ड मोन्ज ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति को सिंथेटिक (गैर-विश्लेषणात्मक) ज्यामिति से स्वतंत्र बनाया।

संदर्भ

1. विश्लेषणात्मक ज्यामिति का विकास (2001)। Encyclopedia.com से पुनर्प्राप्त
2. विश्लेषणात्मक ज्यामिति का इतिहास (2015)। Maa.org से पुनर्प्राप्त
3. विश्लेषण (गणित)। Britannica.com से पुनर्प्राप्त
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5. डेसकार्टेस और विश्लेषणात्मक ज्यामिति का जन्म। Scirectirect.com से पुनर्प्राप्त