आर्क (ज्यामिति): माप, मेहराब के प्रकार, उदाहरण - गणित - 2025

चाप, ज्यामिति में, किसी भी वक्र रेखा दो अंक जोड़ता है। एक सीधी रेखा के विपरीत एक घुमावदार रेखा वह है, जिसकी दिशा प्रत्येक बिंदु पर अलग होती है। एक चाप के विपरीत एक खंड है, क्योंकि यह एक सीधा खंड है जो दो बिंदुओं को जोड़ता है।

ज्यामिति में सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला चाप परिधि का चाप है। आम उपयोग में अन्य मेहराब परवलयिक मेहराब, अण्डाकार मेहराब और कटनी मेहराब हैं। आर्क रूप को अक्सर वास्तुकला में एक सजावटी तत्व और एक संरचनात्मक तत्व के रूप में भी उपयोग किया जाता है। यह दरवाजे और खिड़कियों के लिंटल्स के साथ-साथ पुलों और एक्वाडक्ट्स का मामला है।

चित्र 1. इंद्रधनुष एक घुमावदार रेखा है जो क्षितिज पर दो बिंदुओं से जुड़ती है। स्रोत: पिक्साबे

मेहराब और उसके उपाय

एक चाप का माप इसकी लंबाई है, जो वक्र के प्रकार पर निर्भर करता है जो दो बिंदुओं और उनके स्थान को जोड़ता है।

एक गोलाकार चाप की लंबाई गणना करने के लिए सबसे सरल है, क्योंकि परिधि के पूर्ण चाप या परिधि की लंबाई ज्ञात है।

एक वृत्त की परिधि इसकी त्रिज्या के दो pi गुना है: p = 2 circle R। यह जानने के बाद, यदि हम कोण α (रेडियन में मापा जाता है) और त्रिज्या आर के एक परिपत्र चाप की लंबाई की गणना करना चाहते हैं, तो एक अनुपात लागू होता है:

(s / p) = (α / 2))

फिर, पिछली अभिव्यक्ति से समाशोधन करना और परिधि R के कार्य के रूप में इसकी अभिव्यक्ति के लिए परिधि p को प्रतिस्थापित करना, हम हैं:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 () (2) R) = α R.

यही है, एक परिपत्र चाप का माप इसके कोणीय के उत्पाद है जो परिपत्र चाप के त्रिज्या को खोलता है।

सामान्य रूप से एक आर्च के लिए, समस्या अधिक जटिल है, इस तथ्य तक कि पुरातनता के महान विचारकों ने दावा किया कि यह एक असंभव काम था।

यह 1665 में अंतर और अभिन्न कलन के आगमन तक नहीं था कि किसी भी चाप को मापने की समस्या संतोषजनक रूप से हल हो गई थी।

विभेदक कलन के आविष्कार से पहले, समाधान केवल बहुभुज रेखाओं या परिधि के चापों का उपयोग करके पाया जा सकता है जो कि सच्चे चाप का अनुमान लगाते हैं, लेकिन ये समाधान सटीक नहीं थे।

धनुष के प्रकार

ज्यामिति के दृष्टिकोण से, समतल को घुमावदार रेखा के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है जो समतल पर दो बिंदुओं में मिलती है। इसके उपयोग और वास्तुशिल्प रूप के अनुसार अन्य वर्गीकरण हैं।

वृत्ताकार चाप

जब विमान में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा एक निश्चित त्रिज्या की परिधि का टुकड़ा होती है, तो हमारे पास एक गोलाकार चाप होता है। चित्र 2 में बिंदु A और B को जोड़ने वाले त्रिज्या R का एक गोलाकार चाप दिखाया गया है।

चित्रा 2. त्रिज्या आर के परिपत्र चाप जो कि रिकार्डो पेरेस द्वारा विस्तृत ए और बी को जोड़ता है।

पैराबोलिक आर्च

परवल एक पथ है जिसके बाद एक वस्तु को हवा में फेंक दिया जाता है। जब दो बिंदुओं को जोड़ने वाला वक्र एक परवल होता है, तो हमारे पास एक परवलयिक चाप होता है जैसे कि आकृति 3 में दिखाया गया है।

चित्र 3. रिकार्डो पेरेस द्वारा विस्तृत ए और बी को जोड़ने वाले पैराबोलिक आर्क।

यह पानी के जेट का आकार है जो ऊपर की ओर इशारा करते हुए एक नली से निकलता है। जल स्रोतों में परवलयिक चाप को देखा जा सकता है।

चित्र 4. ड्रेसडेन में एक फव्वारे से पानी द्वारा गठित परवलयिक मेहराब। स्रोत: पिक्साबे

कैटेनरी आर्क

कैटेनरी आर्क एक और प्राकृतिक आर्क है। कैटेनरी वह वक्र है जो स्वाभाविक रूप से बनता है जब एक श्रृंखला या रस्सी दो अलग-अलग बिंदुओं से शिथिल रूप से लटकी होती है।

चित्रा 5. परावर्तक मेहराब और परवलयिक मेहराब के साथ तुलना। रिकार्डो पेरेज़ द्वारा तैयार किया गया।

कैटेनरी परबोला के समान है, लेकिन यह बिल्कुल वैसा नहीं है जैसा कि आंकड़ा 4 में देखा जा सकता है।

इन्वर्टेड कैटेनरी आर्क का उपयोग वास्तुकला में उच्च संपीड़ित शक्ति संरचनात्मक तत्व के रूप में किया जाता है। वास्तव में, यह सभी संभव आकृतियों के बीच धनुष का सबसे मजबूत प्रकार दिखाया जा सकता है।

एक ठोस कैटेनरी आर्क बनाने के लिए, बस एक लटकती हुई रस्सी या चेन के आकार को कॉपी करें, फिर कॉपी किए गए आकार को दरवाजे या खिड़की के लिंटेल पर पुन: पेश करने के लिए फ़्लिप किया जाता है।

अण्डाकार आर्च

एक चाप अण्डाकार है अगर वक्र जो दो बिंदुओं को जोड़ता है, तो दीर्घवृत्त का एक टुकड़ा है। दीर्घवृत्त को उन बिन्दुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिनके दो दिए गए बिंदुओं की दूरी हमेशा एक स्थिर मात्रा तक होती है।

दीर्घवृत्त एक वक्र है जो प्रकृति में प्रकट होता है: यह सूर्य के चारों ओर ग्रहों के प्रक्षेपवक्र की वक्र है, जैसा कि 1609 में जोहान्स केपलर द्वारा प्रदर्शित किया गया था।

व्यवहार में एक दीर्घवृत्त को दो स्ट्रट्स को जमीन पर या दो पिनों को कागज के एक टुकड़े में पिन करके और एक स्ट्रिंग को बांधकर खींचा जा सकता है। फिर रस्सी को मार्कर या पेंसिल से कस दिया जाता है और वक्र का पता लगाया जाता है। दीर्घवृत्त का एक टुकड़ा एक अण्डाकार चाप है। निम्नलिखित एनीमेशन दिखाता है कि दीर्घवृत्त कैसे खींचा जाता है:

चित्रा 5. एक तना हुआ रस्सी का उपयोग कर एक दीर्घवृत्त का पता लगाना। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

चित्रा 6 एक अण्डाकार चाप को जोड़ता है जो बिंदु G और H को जोड़ता है।

चित्र 6. दो बिंदुओं को जोड़ने वाला अण्डाकार चाप। रिकार्डो पेरेज़ द्वारा तैयार किया गया।

मेहराब के उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण कुछ विशिष्ट मेहराबों की परिधि की गणना करने का तरीका बताते हैं।

उदाहरण 1

चित्र 7 एक कट सर्कुलर आर्क में समाप्त विंडो दिखाता है। आकृति में दिखाए गए आयाम पैरों में हैं। चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।

चित्रा 7. एक खिड़की के परिपत्र चाप की लंबाई की गणना। (खुद की एनोटेशन - पिक्साबे पर विंडो इमेज)

विंडो लिंटेल के परिपत्र चाप के केंद्र और त्रिज्या को प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित निर्माण छवि पर किए गए हैं:

-सेगमेंट KL को खींचा जाता है और इसका बाइसेक्टर बनाया जाता है।

-जब लिंटेल का उच्चतम बिंदु स्थित है, जिसे हम एम। नेक्स्ट कहते हैं, केएम सेगमेंट को माना जाता है और इसके मेडिएट्रिक्स का पता लगाया जाता है।

दो बायसेक्टर्स का अवरोधन बिंदु N है और यह गोलाकार चाप का केंद्र भी है।

-अब हमें एनएम सेगमेंट की लंबाई को मापना चाहिए, जो परिपत्र चाप की त्रिज्या आर के साथ मेल खाता है: आर = 2.8 फीट।

-जिससे त्रिज्या के अलावा चाप की लंबाई पता चले, कोण को जानना आवश्यक है कि चाप बनता है। जिसे दो विधियों द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, या तो इसे एक प्रोट्रैक्टर के साथ मापा जाता है, या वैकल्पिक रूप से त्रिकोणमिति का उपयोग करके इसकी गणना की जाती है।

दिखाए गए मामले में, चाप द्वारा निर्मित कोण 91.13 which है, जिसे रेडियन में परिवर्तित किया जाना चाहिए:

91.13π = 91.13º * º / 180 1.5 = 1.59 रेडियन

अंत में हम सूत्र s = α R का उपयोग करके चाप की लंबाई s की गणना करते हैं।

s = 1.59 * 2.8 फीट = 4.45 फीट

उदाहरण 2

आकृति 8 में दिखाए गए अण्डाकार चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए, अर्ध-प्रमुख अक्ष r और दीर्घवृत्त अक्ष के दीर्घवृत्त को जानना।

चित्रा 8. जीएच के बीच अण्डाकार आर्क। रिकार्डो पेरेज़ द्वारा तैयार किया गया।

दीर्घवृत्त की लंबाई का पता लगाना लंबे समय तक गणित की सबसे कठिन समस्याओं में से एक था। आप अण्डाकार अभिन्नों द्वारा व्यक्त किए गए समाधान प्राप्त कर सकते हैं लेकिन एक संख्यात्मक मान रखने के लिए आपको शक्ति श्रृंखला में इन अभिन्नताओं का विस्तार करना होगा। एक सटीक परिणाम के लिए उन श्रृंखलाओं के अनंत शब्दों की आवश्यकता होगी।

सौभाग्य से, हिंदू गणितीय प्रतिभा रामानुजन, जो 1887 और 1920 के बीच रहते थे, ने एक सूत्र पाया जो बहुत सटीक रूप से एक दीर्घवृत्त की परिधि का अनुमान लगाता है:

आर = 3 सेमी और एस = 2.24 सेमी के साथ एक दीर्घवृत्त की परिधि 16.55 सेमी है। हालाँकि, दिखाए गए अण्डाकार चाप का मान आधा है:

दीर्घवृत्तीय मेहराब GH = 8.28 सेमी की लंबाई।

संदर्भ

1. क्लेमेंस एस 2008. ज्यामिति और त्रिकोणमिति। पियर्सन शिक्षा।
2. जावा में गार्सिया एफ। संख्यात्मक प्रक्रियाएं। एक दीर्घवृत्त की लंबाई। से पुनर्प्राप्त: sc.ehu.es
3. गतिशील ज्यामिति। धनुष। जियोमेट्रीडिनैमिका से पुनर्प्राप्त
4. Piziadas। हमारे चारों ओर दीर्घवृत्त और परवलय। से पुनर्प्राप्त: piziadas.com
5. विकिपीडिया। आर्क (ज्यामिति)। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com