गुरुत्वाकर्षण का केंद्र: गुण, गणना, उदाहरण - शारीरिक - 2025

गुरुत्वाकर्षण का केंद्र औसत दर्जे का आकार की एक संस्था की बात जहां अपने वजन लागू करने के लिए माना जाता है। इसलिए यह स्टैटिक्स की मुख्य अवधारणाओं में से एक है।

एलीमेंट्री फिजिक्स की समस्याओं में पहले दृष्टिकोण में यह माना जाता है कि कोई भी वस्तु एक बिंदु द्रव्यमान की तरह व्यवहार करती है, अर्थात इसका कोई आयाम नहीं होता है और सभी द्रव्यमान एक बिंदु में केंद्रित होते हैं। यह एक बॉक्स, एक कार, एक ग्रह या एक उप-परमाणु कण के लिए मान्य है। इस मॉडल को कण मॉडल के रूप में जाना जाता है।

चित्रा 1. उच्च कूद में एथलीट का प्रबंधन करता है ताकि उसके गुरुत्वाकर्षण का केंद्र शरीर के बाहर हो। स्रोत: पिक्साबे

यह निश्चित रूप से एक सन्निकटन है, जो कई अनुप्रयोगों के लिए बहुत अच्छा काम करता है। हजारों और लाखों कणों के व्यक्तिगत व्यवहार पर विचार करना कोई आसान काम नहीं है जिसमें कोई भी वस्तु शामिल हो सकती है।

हालांकि, चीजों के वास्तविक आयामों को ध्यान में रखा जाना चाहिए अगर परिणाम वास्तविकता के करीब हैं तो प्राप्त किया जाना है। चूँकि हम आम तौर पर पृथ्वी के आसपास के क्षेत्र में होते हैं, इसलिए किसी भी शरीर पर मौजूद बल ठीक वजन होता है।

गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को खोजने के लिए विचार

यदि शरीर के आकार को ध्यान में रखना है, तो विशेष रूप से वजन कहाँ लगाया जाना है? जब आपके पास एक मनमाने आकार की निरंतर वस्तु होती है, तो इसका भार उसके प्रत्येक घटक कणों के बीच वितरित एक बल होता है।

बता दें कि ये कण m ₁, m ₂, m ₃… उनमें से हर एक अपने संबंधित गुरुत्वाकर्षण बल m ₁ g, m ₂ g, m ₃ g… का अनुभव करता है, ये सभी समानांतर हैं। ऐसा इसलिए है, क्योंकि पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को अधिकांश मामलों में स्थिर माना जाता है, क्योंकि ग्रह के आकार की तुलना में वस्तुएं छोटी हैं और इसकी सतह के करीब हैं।

चित्रा 2. वस्तु का वजन एक वितरित द्रव्यमान है। स्रोत: स्व बनाया

इन बलों के वेक्टर योग का परिणाम वस्तु के वजन के रूप में होता है, जिसे बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के रूप में लागू किया जाता है जिसे सीजी के रूप में दर्शाया जाता है, जो तब द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाता है। बदले में द्रव्यमान का केंद्र वह बिंदु है जहां सभी द्रव्यमान को केंद्रित माना जा सकता है।

परिणामी भार में परिमाण Mg है जहां M वस्तु का कुल द्रव्यमान है, और निश्चित रूप से यह पृथ्वी के केंद्र की ओर लंबवत निर्देशित है। योग अंकन शरीर के कुल द्रव्यमान को व्यक्त करने के लिए उपयोगी है:

गुरुत्वाकर्षण का केंद्र हमेशा एक भौतिक बिंदु के साथ मेल नहीं खाता है। उदाहरण के लिए, एक रिंग का सीजी अपने ज्यामितीय केंद्र पर होता है, जहां कोई द्रव्यमान नहीं होता है। फिर भी, यदि आप एक घेरा पर अभिनय करने वाले बलों का विश्लेषण करना चाहते हैं, तो आपको इस सटीक बिंदु पर वजन लागू करना होगा।

उन मामलों में जिनमें ऑब्जेक्ट का एक मनमाना आकार होता है, यदि यह सजातीय है, तो इसके द्रव्यमान के केंद्र की गणना अभी भी आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र या केंद्र को खोजकर की जा सकती है।

गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की गणना कैसे की जाती है?

सिद्धांत रूप में, यदि गुरुत्वाकर्षण का केंद्र (सीजी) और द्रव्यमान का केंद्र (सेमी) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के रूप में मेल खाता है, तो सेमी की गणना की जा सकती है और उस पर लागू वजन।

आइए दो मामलों पर विचार करें: पहला वह है जिसमें द्रव्यमान वितरण असतत है; यही है, सिस्टम बनाने वाले प्रत्येक द्रव्यमान को एक संख्या में गिना और असाइन किया जा सकता है, जैसा कि पिछले उदाहरण में किया गया था।

असतत जन वितरण के लिए द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक हैं:

स्वाभाविक रूप से सभी द्रव्यमानों का योग प्रणाली M के कुल द्रव्यमान के बराबर होता है, जैसा कि ऊपर बताया गया है।

जब बड़े पैमाने पर केंद्र के वेक्टर r _सेमी या स्थिति वेक्टर पर विचार करते हैं, तो तीन समीकरण एक कॉम्पैक्ट रूप में कम हो जाते हैं:

और एक निरंतर बड़े पैमाने पर वितरण के मामले में, जहां कण अंतर आकार के होते हैं और उन्हें गिनने के लिए अलग-अलग नहीं किया जा सकता है, योग को एक अभिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जो प्रश्न में ऑब्जेक्ट द्वारा कब्जा किए गए वॉल्यूम से अधिक होता है:

जहाँ r एक विभेदक द्रव्यमान dm की स्थिति वेक्टर है और द्रव्यमान घनत्व की परिभाषा का उपयोग द्रव्यमान विभेदक dm को व्यक्त करने के लिए किया गया है, जो विभेदक विभेदक dV में समाहित है:

गुण

द्रव्यमान के केंद्र के बारे में कुछ महत्वपूर्ण विचार इस प्रकार हैं:

- हालांकि, पदों को स्थापित करने के लिए एक संदर्भ प्रणाली की आवश्यकता होती है, द्रव्यमान का केंद्र सिस्टम की बनाई पसंद पर निर्भर नहीं करता है, क्योंकि यह ऑब्जेक्ट की एक संपत्ति है।

- जब वस्तु में एक अक्ष या समरूपता का तल होता है, तो द्रव्यमान का केंद्र उस अक्ष या तल पर होता है। इस परिस्थिति का फायदा उठाकर गणना का समय बच जाता है।

- वस्तु पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों को द्रव्यमान के केंद्र में लागू किया जा सकता है। इस बिंदु की गति पर नज़र रखना ऑब्जेक्ट की गति का अवलोकन देता है और इसके व्यवहार का अध्ययन करना आसान बनाता है।

स्थैतिक संतुलन में एक शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को समझना

मान लीजिए कि आप पिछले आकृति के शरीर को स्थिर संतुलन में बनाना चाहते हैं, अर्थात्, यह रोटेशन के एक मनमाना अक्ष के बारे में अनुवाद नहीं करता है या घूमता है जो कि ओ हो सकता है।

चित्रा 3. बिंदु ओ के संबंध में वजन के टोक़ की गणना करने की योजना।

-उत्तरित उदाहरण

वर्दी सामग्री की एक पतली पट्टी 6 मीटर लंबी होती है और इसका वजन 30 N होता है। 50 N का वजन इसके बाएं छोर पर लटका होता है और 20 N वजन इसके दाहिने छोर पर लटका दिया जाता है। खोजें: ए) बार के संतुलन को बनाए रखने के लिए आवश्यक उर्ध्व बल का परिमाण, ख) विधानसभा के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र।

उपाय

बल आरेख निम्न आकृति में दिखाया गया है। बार का भार इसके गुरुत्वाकर्षण केंद्र पर लागू होता है, जो इसके ज्यामितीय केंद्र के साथ मेल खाता है। खाते में ली गई पट्टी का एकमात्र आयाम इसकी लंबाई है, क्योंकि बयान रिपोर्ट करता है कि यह पतला है।

चित्रा 4. बार के लिए बलों का आरेख।

ट्रांसलेशनल संतुलन में बने रहने के लिए बार + वेट सिस्टम के लिए, बलों का योग शून्य होना चाहिए। बल लंबवत होते हैं, अगर हम साइन + के साथ और नीचे साइन के साथ विचार करते हैं - तो:

एफ- 50 - 20 - 30 एन = 0

एफ = 100 एन

यह बल ट्रांसलेशनल बैलेंस की गारंटी देता है। सिस्टम के चरम बाईं ओर से गुजरने वाली धुरी के संबंध में सभी बलों के मरोड़ वाले क्षणों को लेना और परिभाषा लागू करना:

t = rx F

चयनित बिंदु के बारे में इन सभी बलों के क्षण बार के विमान के लंबवत हैं:

इस प्रकार:

बार + वेट सेट के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र बार के बाएं छोर से 2.10 मीटर की दूरी पर स्थित है।

द्रव्यमान के केंद्र से अंतर

गुरुत्वाकर्षण का केंद्र द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाता है, जैसा कि संकेत दिया गया है, जब तक कि पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र वस्तु के सभी बिंदुओं पर विचार करने के लिए स्थिर है। पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र g = 9.8 m / s ^{2 के} लंबवत नीचे की ओर जाने-पहचाने और परिचित मूल्य से अधिक कुछ नहीं है।

हालाँकि, g का मान अक्षांश और ऊँचाई के साथ भिन्न होता है, ये आमतौर पर उन वस्तुओं को प्रभावित नहीं करते हैं, जिन पर चर्चा की जाती है। यह बहुत अलग होगा यदि आप पृथ्वी के आसपास के क्षेत्र में एक बड़े शरीर पर विचार करते हैं, उदाहरण के लिए एक क्षुद्रग्रह जो ग्रह के बहुत करीब है।

क्षुद्रग्रह का द्रव्यमान का अपना केंद्र होता है, लेकिन इसके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को अब इसके साथ मेल नहीं खाना पड़ेगा, क्योंकि जी शायद क्षुद्रग्रह के आकार को देखते हुए, परिमाण में पर्याप्त भिन्नता का अनुभव करेंगे और प्रत्येक कण का भार समानांतर नहीं हो सकता है।

एक और बुनियादी अंतर यह है कि द्रव्यमान का केंद्र इस बात पर ध्यान दिए बिना पाया जाता है कि वस्तु पर लागू वजन कहा जाता है या नहीं। यह उस वस्तु की आंतरिक संपत्ति है जो हमें यह बताती है कि इसकी ज्यामिति के संबंध में इसका द्रव्यमान कैसे वितरित किया जाता है।

द्रव्यमान का केंद्र मौजूद होता है कि वहाँ भार लागू है या नहीं। और यह उसी स्थिति में स्थित होता है, भले ही वह वस्तु किसी दूसरे ग्रह पर जाती हो जिसमें गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र अलग हो।

दूसरी ओर, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र वजन के आवेदन से स्पष्ट रूप से जुड़ा हुआ है, जैसा कि हमने पिछले पैराग्राफों में देखा है।

गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के उदाहरण

अनियमित वस्तुओं के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र

यह पता लगाना बहुत आसान है कि एक कप जैसी अनियमित वस्तु का गुरुत्वाकर्षण केंद्र कहाँ है। सबसे पहले, इसे किसी भी बिंदु से निलंबित कर दिया जाता है और वहां से एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींची जाती है (चित्र 5 में यह बाईं छवि में फ्यूशिया रेखा है)।

फिर इसे दूसरे बिंदु से निलंबित कर दिया जाता है और एक नई ऊर्ध्वाधर खींची जाती है (दाहिनी छवि में फ़िरोज़ा लाइन)। दोनों लाइनों का चौराहा कप के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है।

चित्र 5। एक मग का सीजी स्थान। स्रोत: पिक्साबे से संशोधित

वस्तुओं को संतुलित करना

आइए सड़क पर यात्रा करने वाले ट्रक की स्थिरता का विश्लेषण करें। जब गुरुत्वाकर्षण का केंद्र ट्रक के आधार से ऊपर होता है, तो ट्रक टिप नहीं करेगा। बाईं ओर की छवि सबसे स्थिर स्थिति है।

चित्रा 6. ट्रक को संतुलित करना। स्रोत: स्व बनाया

यहां तक ​​कि जब ट्रक दाईं ओर झुकता है, तो यह एक स्थिर संतुलन स्थिति में लौटने में सक्षम होगा, जैसा कि मध्य ड्राइंग में है, क्योंकि ऊर्ध्वाधर अभी भी आधार से गुजरता है। हालांकि जब यह लाइन ट्रक के बाहर जाएगी तो वह खत्म हो जाएगी।

आरेख फुलक्रम पर बलों को दिखाता है: पीले रंग में सामान्य, हरे रंग में वजन और फ्यूशिया में बाईं ओर स्थिर रगड़। सामान्य और घर्षण रोटेशन की धुरी पर लागू होते हैं, इसलिए वे टोक़ नहीं लगाते हैं। इसलिए वे ट्रक को पलटने में योगदान नहीं देंगे।

वजन बना रहता है, जो एक टोक़, सौभाग्य से वामावर्त और जो अपने संतुलन की स्थिति में ट्रक को वापस करने के लिए जाता है। ध्यान दें कि ऊर्ध्वाधर रेखा समर्थन सतह से गुजरती है, जो टायर है।

जब ट्रक बहुत सही स्थिति में होता है, तो वजन का टॉर्क क्लॉकवाइज में बदल जाता है। दूसरी बार काउंटर करने में असमर्थ, ट्रक पलट जाएगा।

संदर्भ

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