पॉइसन का अनुपात: गुणांक, सूत्र, मूल्य, उदाहरण - शारीरिक - 2025

प्वासों के अनुपात एक आयामरहित मात्रा, हर सामग्री की विशेषता है। यह कुछ बलों के आवेदन से पहले सामग्री के एक टुकड़े के विरूपण का संकेत है।

जब सामग्री का एक टुकड़ा जो तनाव, या संपीड़न के अधीन होता है, विकृति से गुजरता है, अनुप्रस्थ विरूपण और अनुदैर्ध्य विरूपण के बीच भागफल ठीक पोइसन का अनुपात है।

चित्रा 1. पॉइज़न का अनुपात अनुदैर्ध्य खिंचाव और अनुप्रस्थ संकीर्णता के बीच संबंध को मापता है। (रिकार्डो पेरेज़ द्वारा तैयार)

उदाहरण के लिए, एक रबर सिलेंडर जिसे इसके सिरों पर तनाव के अधीन किया जाता है, अनुदैर्ध्य दिशा में फैला होता है, लेकिन यह आंशिक रूप से फैलता है। चित्र 1 एक पट्टी दिखाता है जिसके मूल आयाम हैं: लंबाई L और व्यास D।

बार अपने सिरों पर एक तनाव टी के अधीन होता है, और इस तनाव के परिणामस्वरूप यह एक खिंचाव से गुजरता है, जिससे कि नई लंबाई L '> L है। लेकिन जब इसे बढ़ाया जाता है, तो इसका व्यास भी नए मान में बदल जाता है: D '<डी।

खिंचाव (धनात्मक) और संकीर्णता (ऋणात्मक) के बीच भाग (-1) से गुणा किया जाता है, 0 और 0.5 के बीच का धनात्मक संख्या है। यह संख्या तथाकथित पॉसों के अनुपात ν (ग्रीक अक्षर nu) है।

पॉइसन का अनुपात सूत्र

पॉसों के अनुपात की गणना करने के लिए, अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तनाव को निर्धारित करना आवश्यक है।

अनुदैर्ध्य तनाव is _L मूल लंबाई से विभाजित खिंचाव है:

ε _एल = (एल '- एल) / एल

इसी तरह, अनुप्रस्थ तनाव is _T मूल व्यास द्वारा विभाजित रेडियल संकुचन है:

ε _टी = (डी '- डी) / डी

इसलिए, पोइसन के अनुपात की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:

ν = - ε _टी /। _एल

लोच के मापांक और कठोरता के मापांक के साथ संबंध

पोइसन का अनुपात ν लोच के मापांक E (या यंग मापांक) और कठोरता G के मापांक से संबंधित है, निम्न सूत्र द्वारा:

सामग्री के लिए पॉइसन का अनुपात मूल्य

चित्रा 2. स्टेनलेस स्टील में 0.30 और 0.31 के बीच एक पॉइसन अनुपात है। स्रोत: पिक्साबे

गणना के उदाहरण

उदाहरण 1

एक निश्चित प्लास्टिक सामग्री की एक पट्टी की लंबाई 150 मिमी और व्यास में 20 मिमी का एक परिपत्र खंड होता है। जब 612.25 किग्रा-एफ के एक संपीड़न बल एफ के अधीन होता है, तो 14 मिमी की कमी देखी जाती है और साथ ही बार के व्यास में 0.85 मिमी की वृद्धि होती है।

गणना:

a) अनुदैर्ध्य तनाव।

बी) अनुप्रस्थ तनाव।

c) उस सामग्री का पोइसन अनुपात।

घ) सामग्री के अनुरूप लोच का युवा मापांक।

ई) उस प्लास्टिक के लिए कठोरता का मापांक।

का हल

याद रखें कि अनुदैर्ध्य तनाव thatL मूल लंबाई से विभाजित खिंचाव है:

LL = (L '- L) / L

εL = (-14 मिमी) / 150 मिमी = -0.0933

ध्यान दें कि अनुदैर्ध्य तनाव आयामहीन है, और इस मामले में यह नकारात्मक था क्योंकि इसके अनुदैर्ध्य आयाम में कमी थी।

समाधान b

इसी प्रकार, अनुप्रस्थ तनाव isT रेडियल टेपर है, जिसे मूल व्यास द्वारा विभाजित किया गया है:

DT = (D '- D) / D

εT = (+0.85 मिमी) / 20 मिमी = 0.0425

अनुप्रस्थ तनाव सकारात्मक रहा है क्योंकि बार के व्यास में वृद्धि हुई है।

समाधान c

पोइसन के अनुपात की गणना के लिए हमें याद रखना चाहिए कि इसे अनुप्रस्थ विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के बीच भागफल के ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया गया है:

ν = - εT /.L

ν = - 0.0425 / (-0.0933) = 0.4554

यह याद रखना चाहिए कि पॉइसन का अनुपात एक सकारात्मक आयाम रहित संख्या है और अधिकांश सामग्रियों के लिए यह 0 से 0.5 के बीच है।

समाधान d

लोच के युवा मापांक, जिसे E अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है, हुक के नियम में आनुपातिकता का स्थिर होना है। ई द्वारा, सामान्य तनाव isL तनाव asL से संबंधित है, निम्नानुसार है:

εL = E.L

सामान्य तनाव को सामान्य बल (इस मामले में बार की धुरी के समानांतर) और क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र के बीच भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है:

/L = F / A = F / (4/4 * D ^ 2)

इस अभ्यास में F, 612.25 kg-f है, जिसे न्यूटन में परिवर्तित करना होगा, जो कि सामग्री का SI मात्र है:

एफ = 612.25 किग्रा-एफ = 612.25 * 9.8 एन = 6000 एन = 6 केएन

इसके भाग के लिए, क्षेत्र A का क्रॉस सेक्शन है:

A = ((/ 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

अंत में बार पर लागू सामान्य तनाव है:

σL = F / A = 6000 N / 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19.098.593 Pa = 19.098 MPa

लोच के यंग मापांक की गणना करने के लिए, हम ई से हुक के नियम EL = E:L के लिए हल करते हैं:

E = 98L / εL = 19,098,593 Pa / 0.0933 = 204.7 MPa

समाधान ई

कठोरता जी का मापांक इस सूत्र द्वारा यंग के मापांक E और पॉइसन के अनुपात ν से संबंधित है:

ई / (2 जी) = 1 + ν

वहां से हम G के लिए हल कर सकते हैं:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204.7 MPa / (2 (1 + 0.4554)) = 70.33 MPa

उदाहरण 2

4 मिमी और 1 मीटर लंबे व्यास के साथ एक तांबे की केबल है। यह जानते हुए कि तांबे का यंग मापांक 110,000 एमपीए है और इसके पोइसन का अनुपात 0.34 है, व्यास में खिंचाव और संकीर्णता का अनुमान है कि जब तार पर 100 किलो-एफ का वजन होता है तो तार गुजरता है।

उपाय

सबसे पहले, सामान्य तन्यता तनाव की गणना करना आवश्यक है जो इस सूत्र का अनुसरण करते हुए तार पर भार डालती है:

/L = F / A = F / (4/4 * D ^ 2)

बल एफ 980 एन है और पार अनुभागीय क्षेत्र है:

A = ((/ 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1.2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

फिर तन्यता तनाव है:

σL = 980 एन / 1.2566 * 10 ^ -5 मीटर ^ 2 = 77,986,000 पा

तार के तनाव की गणना

लोच के यंग मापांक, जिसे E अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है, हुक के नियम में आनुपातिकता की निरंतरता है जो सामान्य तनाव toL से तनाव elasticL से संबंधित है:

εL = E.L

वहां से तांबे के तार के अनुदैर्ध्य तनाव को हल किया जा सकता है:

εL = εL / E = 77.986 MPa / 110000 MPa = 7.09 * 10 ^ -4

अनुप्रस्थ तनाव की गणना

दूसरी ओर, अनुप्रस्थ तनाव को जानने के लिए, पॉइसन का अनुपात लागू किया जाता है:

ν = - εT /.L

अंत में, अनुप्रस्थ तनाव है:

εT = -ν εL = - 0.34 * 7.09 * 10 ^ -4 = -2.41 * 10 ^ -4

पूर्ण केबल खिंचाव की गणना

अंत में, केबल के पूर्ण खिंचाव को जानने के लिए, निम्नलिखित संबंध को लागू किया जाना चाहिए:

ΔL = ΔL * L = 7.09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7.09 * 10 ^ -4 m = 0.709 मिमी

यह कहना है, उस वजन के साथ केबल मुश्किल से 0.709 मिलीमीटर तक फैला है।

व्यास में कमी की गणना

व्यास में पूर्ण संकोचन प्राप्त करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

ΔD = *T * D = -2.41 * 10 ^ -4 * 4 मिमी = -9.64 * 10 ^ -4 मिमी = -0.000964 मिलीमीटर।

व्यास में यह संकुचन इतना छोटा है कि नग्न आंखों से देखना मुश्किल है, यहां तक ​​कि इसके माप के लिए एक उच्च परिशुद्धता उपकरण की आवश्यकता होती है।

संदर्भ

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