एक सीमित सेट को किसी सीमित या गिनती योग्य तत्वों के साथ सेट किया जाना समझा जाता है । परिमित समुच्चय के उदाहरण एक बैग में निहित पत्थर हैं, एक पड़ोस में घरों का सेट, या पहले बीस (20) प्राकृतिक संख्याओं द्वारा गठित P:
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
ब्रह्मांड में तारों का सेट निश्चित रूप से विशाल है, लेकिन यह निश्चित रूप से ज्ञात नहीं है कि यह परिमित है या अनंत। हालांकि, सौर मंडल में ग्रहों का सेट परिमित है।
चित्रा 1. बहुभुज का सेट परिमित है और नियमित लोगों का सबसेट भी है। (विकिमीडिया कॉमन्स)
एक परिमित सेट में तत्वों की संख्या को इसकी कार्डिनैलिटी कहा जाता है और सेट पी के लिए इसे निम्नानुसार दर्शाया जाता है: कार्ड (पी) या # पी । खाली सेट में शून्य कार्डिनिटी है और इसे एक परिमित सेट माना जाता है।
गुण
परिमित सेट के गुणों में निम्नलिखित हैं:
1- परिमित समुच्चय का संघ एक नए परिमित समुच्चय को जन्म देता है।
2- अगर दो परिमित सेट प्रतिच्छेद करते हैं, तो एक नया परिमित सेट परिणाम देता है।
3- एक परिमित समुच्चय का उपसमुच्चय परिमित है और इसकी कार्डिनैलिटी मूल सेट की तुलना में कम या इसके बराबर है।
4- खाली सेट एक परिमित सेट है।
उदाहरण
परिमित सेट के कई उदाहरण हैं। कुछ उदाहरणों में निम्नलिखित शामिल हैं:
वर्ष के महीनों का सेट एम, जिसे विस्तारित रूप में इस तरह लिखा जा सकता है:
M = {जनवरी, फरवरी, मार्च, अप्रैल, मई, जून, जुलाई, अगस्त, सितंबर, अक्टूबर, नवंबर, दिसंबर}, M की कार्डिनैलिटी 12 है।
सप्ताह के दिनों का सेट S: S = {सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार, शनिवार, रविवार}। S की कार्डिनैलिटी 7 है।
सेट Ñ स्पेनिश वर्णमाला के अक्षरों की, एक परिमित सेट है विस्तार से इस सेट इस तरह लिखा है:
Ñ = {ए, बी, सी, डी, ई, एफ, जी, एच, मैं, जे, के, एल, एम, एन, ओ, पी, क्यू, आर, एस, टी, यू, वी, डब्ल्यू, x, y, z} और इसकी कार्डिनैलिटी 27 है।
स्पैनिश में स्वरों का सेट V सेट का एक सबसेट है:
वी ⊂ Ñ इसलिए एक परिमित सेट है।
व्यापक रूप में परिमित सेट V इस तरह लिखा जाता है: V = {a, e, i, o, u} और इसकी कार्डिनैलिटी 5 है।
सेट को समझ से व्यक्त किया जा सकता है। शब्द "परिमित" के अक्षरों से बना एफ सेट एक उदाहरण है:
F = {x / x शब्द "परिमित"} का एक अक्षर है
कहा कि व्यापक रूप में व्यक्त किया जाएगा सेट:
एफ = {एफ, आई, एन, टी, ओ} जिसकी कार्डिनैलिटी 5 है और इसलिए एक परिमित सेट है।
और ज्यादा उदाहरण
इंद्रधनुष का रंग एक परिमित सेट का एक और उदाहरण है, इन रंगों का सेट C है:
सी = {लाल, नारंगी, पीला, हरा, सियान, नीला, बैंगनी} और इसकी कार्डिनैलिटी 7 है।
चंद्रमा के चरण F का सेट एक परिमित सेट का एक और उदाहरण है:
एफ = {नया चंद्रमा, पहली तिमाही, पूर्णिमा, अंतिम तिमाही} इस सेट में कार्डिनैलिटी 4 है।
चित्रा 2. सौर मंडल के ग्रह एक परिमित सेट बनाते हैं। (Pixabay)
एक और परिमित सेट सौर मंडल के ग्रहों द्वारा गठित एक है:
P = {बुध, शुक्र, पृथ्वी, मंगल, बृहस्पति, शनि, यूरेनस, नेपच्यून, प्लूटो} कार्डिनिटी 9 के।
हल किए गए व्यायाम
अभ्यास 1
निम्नलिखित सेट A = {x∊ R / x ^ 3 = 27} दिया गया है। इसे शब्दों में व्यक्त करें और इसे विस्तार से लिखें, इसकी कार्डिनैलिटी को इंगित करें और कहें कि यह परिमित है या नहीं।
समाधान: सेट A वास्तविक संख्या x का समुच्चय है, जिसका परिणाम x 27 के रूप में होता है।
समीकरण x ^ 3 = 27 के तीन समाधान हैं: वे X1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) और x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i) हैं। तीन समाधानों में से, केवल X1 वास्तविक है, जबकि अन्य दो जटिल संख्याएँ हैं।
चूँकि सेट A की परिभाषा कहती है कि x वास्तविक संख्याओं से संबंधित है, तो जटिल संख्याओं के समाधान A के भाग A के भाग नहीं हैं।
सेट A को बड़े पैमाने पर व्यक्त किया गया है:
A = {3}, जो कार्डिनिटी 1 का एक परिमित सेट है।
व्यायाम २
प्रतीकात्मक रूप में लिखें (समझ से) और व्यापक रूप में वास्तविक संख्याओं का सेट बी जो 0 (शून्य) से अधिक है और 0 (शून्य) के बराबर या उससे कम है। इसकी कार्डिनैलिटी को इंगित करें और यह परिमित है या नहीं।
हल: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}
सेट बी खाली है क्योंकि एक वास्तविक संख्या x एक साथ अधिक से अधिक और शून्य से कम नहीं हो सकती है, जैसा कि यह 0 नहीं हो सकता है और 0 से भी कम हो सकता है।
बी = {} और इसकी कार्डिनैलिटी 0. है। खाली सेट एक परिमित सेट है।
व्यायाम ३
एक निश्चित समीकरण के समाधान का सेट एस दिया जाता है। S समझ से सेट को इस तरह लिखा जाता है:
S = {x x R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}
कहा गया सेट व्यापक रूप में लिखें, इसकी कार्डिनैलिटी को इंगित करें और इंगित करें कि यह एक परिमित सेट है या नहीं।
समाधान: सबसे पहले, सेट एस का वर्णन करने वाले अभिव्यक्ति का विश्लेषण करते समय, यह प्राप्त किया जाता है कि यह वास्तविक x मानों का एक सेट है जो समीकरण के समाधान हैं:
(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)
इस समीकरण का एक समाधान x = 3 है, जो एक वास्तविक संख्या है और इसलिए एस से संबंधित है। लेकिन ऐसे और भी समाधान हैं जिन्हें द्विघात समीकरण के समाधान की तलाश करके प्राप्त किया जा सकता है:
(x ^ 2 - 9x + 20) = 0
उपरोक्त अभिव्यक्ति निम्नानुसार फैक्टर की जा सकती है:
(x - 4) (x - 5) = 0
जो हमें मूल समीकरण (*) के दो और समाधानों की ओर ले जाता है जो x = 4 और x = 5. हैं। संक्षेप में, समीकरण (*) के समाधान 3, 4 और 5 हैं।
एस व्यापक रूप में व्यक्त सेट इस तरह दिखता है:
S = {3, 4, 5}, जिसमें कार्डिनैलिटी 3 है और इसलिए यह एक परिमित सेट है।
व्यायाम ४
दो सेट हैं A = {1, 5, 7, 9, 11} और B = {x ∊ N / x यहां तक कि ^ x <10}।
सेट बी को स्पष्ट रूप से लिखें और सेट ए के साथ संघ का पता लगाएं। इन दो सेटों के अवरोधन को भी ढूंढें और निष्कर्ष निकालें।
समाधान: सेट B प्राकृतिक संख्याओं से बना होता है जैसे कि वे सम हैं और मान 10 से भी कम हैं, इसलिए व्यापक सेट B में इसे निम्न प्रकार से लिखा गया है:
बी = {२, ४, ६,,}
सेट बी के साथ सेट ए का संघ है:
AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}
और सेट A के साथ सेट A का अंतर इस तरह लिखा गया है:
A empty B = {} = ⋂ खाली सेट है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इन दो परिमित सेटों के मिलन और अवरोधन से नए सेट बनते हैं, जो बदले में परिमित भी होते हैं।
संदर्भ
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