आनुपातिकता का लगातार होना: यह क्या है, गणना, अभ्यास - गणित - 2025

समानता के निरंतर एक संबंधपरक संख्यात्मक तत्व, 2 मात्रा कि एक साथ बदल रहे हैं के बीच समानता के पैटर्न को परिभाषित करने के लिए प्रयोग किया जाता है। अभिव्यक्ति (एफ) (एक्स) = केएक्स का उपयोग करके एक सामान्य तरीके से रैखिक कार्य के रूप में इसका प्रतिनिधित्व करना बहुत आम है। हालांकि, यह एक संभावित आनुपातिकता का एकमात्र प्रतिनिधित्व नहीं है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन Y = 3x में X और Y के बीच का संबंध 3 के बराबर आनुपातिकता का एक निरंतर है। यह देखा गया है कि जैसे ही स्वतंत्र चर X बढ़ता है, तो आश्रित चर Y, उसके मूल्य के तीन गुना पर होता है पिछला।

एक चर पर लागू परिवर्तन दूसरे पर तत्काल प्रभाव डालते हैं, जिससे आनुपातिकता के स्थिरांक के रूप में जाना जाने वाला मान होता है। यह उन विभिन्न परिमाणों से संबंधित है जो दोनों चर प्राप्त करते हैं।

आनुपातिकता और प्रकारों की निरंतरता क्या है

चर के परिवर्तन की प्रवृत्ति के अनुसार, आनुपातिकता को 2 प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता

दो मात्राओं के बीच एक-तरफ़ा संबंध को दर्शाता है। इसमें, यदि स्वतंत्र चर कुछ वृद्धि दिखाता है, तो आश्रित चर भी बढ़ेगा। इसी तरह, स्वतंत्र चर में कोई भी कमी वाई के परिमाण में कमी का कारण बनेगी।

उदाहरण के लिए, परिचय में उपयोग किए जाने वाले रैखिक फ़ंक्शन; Y = 3X, आनुपातिकता के प्रत्यक्ष संबंध से मेल खाती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि स्वतंत्र चर एक्स में वृद्धि पर निर्भर चर वाई द्वारा उठाए गए पिछले मूल्य में तीन गुना वृद्धि होगी।

इसी तरह, एक्स पर परिमाण में कमी आने पर आश्रित चर इसके मूल्य से तीन गुना कम हो जाएगा।

एक प्रत्यक्ष संबंध में आनुपातिकता "के" के निरंतरता के मूल्य को के = वाई / एक्स के रूप में परिभाषित किया गया है।

उलटा या अप्रत्यक्ष आनुपातिकता

इस प्रकार के कार्यों में, चरों के बीच के संबंध को अनात्म तरीके से प्रस्तुत किया जाता है, जहां स्वतंत्र चर की वृद्धि या कमी क्रमशः निर्भर चर की वृद्धि या वृद्धि से मेल खाती है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन F (x) = k / x एक व्युत्क्रम या अप्रत्यक्ष संबंध है। चूंकि स्वतंत्र चर का मूल्य बढ़ना शुरू होता है, k का मान एक बढ़ती संख्या से विभाजित किया जाएगा, जिससे निर्भर चर अनुपात के अनुसार मूल्य में कमी होगी।

K द्वारा लिए गए मान के अनुसार, व्युत्क्रम आनुपातिक फ़ंक्शन की प्रवृत्ति को परिभाषित किया जा सकता है। यदि k> 0, तो सभी वास्तविक संख्याओं पर फ़ंक्शन कम हो जाएगा। और आपका ग्राफ 1 और 3 के चतुर्थांश में होगा।

इसके विपरीत, यदि K का मान ऋणात्मक या शून्य से कम है, तो फ़ंक्शन बढ़ जाएगा और इसका ग्राफ़ 2 और 4 के चतुर्थांश में मिलेगा।

इसकी गणना कैसे की जाती है?

विभिन्न संदर्भ हैं जहां आनुपातिकता की निरंतरता की परिभाषा की आवश्यकता हो सकती है। अलग-अलग मामलों में, समस्या के बारे में अलग-अलग आंकड़े दिखाए जाएंगे, जहां इन के अध्ययन के अंत में के का मूल्य प्राप्त होगा।

एक सामान्य तरीके से, उपर्युक्त का पुन: उपयोग किया जा सकता है। K के मान आनुपातिकता के प्रकार के आधार पर दो अभिव्यक्तियों के अनुरूप हैं:

- प्रत्यक्ष: के = वाई / एक्स

- उलटा या अप्रत्यक्ष: K = YX

इसके ग्राफ के अनुसार

कभी-कभी किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ केवल आंशिक रूप से या पूरी तरह से जाना जाएगा। इन मामलों में, आनुपातिकता के प्रकार को निर्धारित करने के लिए, ग्राफिक विश्लेषण के माध्यम से यह आवश्यक होगा। फिर एक समन्वय को परिभाषित करना आवश्यक होगा जो एक्स और वाई के मूल्यों को सत्यापित करने की अनुमति देता है कि के।

प्रत्यक्ष आनुपातिकताओं का जिक्र रेखांकन रेखीय हैं। दूसरी ओर, व्युत्क्रम आनुपातिक कार्यों के ग्राफ आमतौर पर हाइपरबोलस का रूप लेते हैं।

मूल्यों की तालिका के अनुसार

कुछ मामलों में, स्वतंत्र चर के प्रत्येक पुनरावृत्ति के अनुरूप मूल्यों के साथ एक तालिका है। आमतौर पर इसमें K के मान को परिभाषित करने के अलावा ग्राफ बनाना शामिल होता है।

विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के अनुसार

उस अभिव्यक्ति को लौटाता है जो फ़ंक्शन को विश्लेषणात्मक रूप से परिभाषित करती है। K के मूल्य को सीधे हल किया जा सकता है, या इसे स्वयं अभिव्यक्ति से भी अनुमान लगाया जा सकता है।

तीन के प्रत्यक्ष या यौगिक नियम से

अन्य व्यायाम मॉडल में, कुछ डेटा प्रस्तुत किए जाते हैं, जो मूल्यों के बीच संबंध को संदर्भित करते हैं। यह अभ्यास में आवश्यक अन्य डेटा को परिभाषित करने के लिए तीन के प्रत्यक्ष या मिश्रित नियम को लागू करने के लिए आवश्यक बनाता है।

इतिहास

आनुपातिकता की अवधारणा हमेशा से रही है। महान गणितज्ञों के दिमाग और काम में ही नहीं, बल्कि आबादी के दैनिक जीवन में, इसकी व्यावहारिकता और प्रयोज्यता के कारण।

यह उन स्थितियों को खोजने के लिए बहुत आम है जिनके लिए आनुपातिकता दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। ये प्रत्येक मामले में प्रस्तुत किए जाते हैं, जहां कुछ संबंधों के चर और घटना की तुलना करना आवश्यक है।

समयरेखा के माध्यम से हम ऐतिहासिक क्षणों को चिह्नित कर सकते हैं, जिसमें आनुपातिकता के बारे में गणितीय प्रगति लागू की गई है।

- दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व ग्रीस में भिन्न और अनुपात के भंडारण की प्रणाली को अपनाया गया है।

- 5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व का अनुपात जो कि एक वर्ग से संबंधित है और एक वर्ग के विकर्ण भी ग्रीस में खोजा गया है।

- मिलिटस के 600 ईसा पूर्व थेल्स आनुपातिकता के बारे में उनकी प्रमेय प्रस्तुत करता है।

- वर्ष 900. भारत द्वारा पूर्व में प्रयुक्त दशमलव प्रणाली का अनुपात और अनुपात में विस्तार किया गया है। अरबों द्वारा किया गया योगदान।

- XVII सदी। आयलर की गणना में अनुपात के संबंध में योगदान मिलता है।

- XIX सदी। गॉस जटिल संख्या और अनुपात की अवधारणा में योगदान करते हैं।

- बीसवी सदी। एक फ़ंक्शन मॉडल के रूप में आनुपातिकता को एस्केरेट और ड्यूलोफियो द्वारा परिभाषित किया गया है।

हल किया हुआ व्यायाम

अभ्यास 1

चर, x, y, z और g के मान की गणना करना आवश्यक है। निम्नलिखित आनुपातिक संबंधों को जानना:

3x + 2y - 6z + 8g = 1925

x / 3 = y / 8 = z / 3 = g / 5

हम आनुपातिकता के निरंतरता के सापेक्ष मूल्यों को परिभाषित करने के लिए आगे बढ़ते हैं। इन्हें दूसरे संबंध से प्राप्त किया जा सकता है, जहां प्रत्येक चर को विभाजित करने वाला मान K या संदर्भित संबंध दर्शाता है।

X = 3k y = 2k z = 3k g = 5k

मूल्यों को पहली अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है, जहां नई प्रणाली का मूल्यांकन एक एकल चर कश्मीर में किया जाएगा।

3 (3k) + 2 (2k) - 6 (3k) + 8 (5k) = 1925

9k + 4k -18k + 40k = 1925

35k = 1925

के = 1925/35 = 55

आनुपातिकता की निरंतरता के इस मूल्य का उपयोग करके हम वह संख्या पा सकते हैं जो प्रत्येक चर को परिभाषित करती है।

x = 3 (55) = 165 y = 2 (55) = 110

z = 3 (55) = 165 ग्राम = 5 (55) = 275

व्यायाम २

आनुपातिकता और अभिव्यक्ति को परिभाषित करने वाले कार्य की गणना करें, जिसका ग्राफ दिया गया है।

सबसे पहले, ग्राफ का विश्लेषण किया जाता है, इसका रैखिक चरित्र स्पष्ट होता है। यह इंगित करता है कि यह प्रत्यक्ष आनुपातिकता के साथ एक कार्य है और यह कि K का मान अभिव्यक्ति k = y / x के माध्यम से प्राप्त किया जाएगा

फिर ग्राफ से एक निर्धारक बिंदु चुना जाता है, अर्थात्, जहां निर्देशांक जो इसे बनाता है वह बिल्कुल देखा जा सकता है।

इस मामले के लिए, बिंदु (2, 4) लिया जाता है। जहां से हम निम्नलिखित संबंध स्थापित कर सकते हैं।

के = ४/२ = २

तो अभिव्यक्ति को y = kx द्वारा परिभाषित किया गया है, जो इस मामले के लिए होगा

एफ (x) = 2x

संदर्भ

1. बिजली और इलेक्ट्रॉनिक्स के लिए गणित। डॉ। आर्थर क्रेमर सेंगेज लर्निंग, 27 जुलाई 2012
2. विजन 2020: ऑपरेशनल रिसर्च की रणनीतिक भूमिका। एन। रविचंद्रन। एलाइड पब्लिशर्स, 11 सितंबर 2005
3. स्टेट ई-बुक के प्रशासनिक सहायक के व्याकरणिक और अंकगणित ज्ञान। MAD-Eduforma
4. पाठयक्रम समर्थन और विविधीकरण के लिए गणित का सुदृढीकरण: पाठयक्रम समर्थन और विविधीकरण के लिए। M लूर्डेस लजारो सोटो। Narcea Ediciones, 29 अगस्त। 2003
5. रसद और वाणिज्यिक प्रबंधन। मारिया जोस एस्कुडेरो सेरानो। एडिकेशन्स परानींफो, एसए, 1 सेप्ट। 2013