आयताकार निर्देशांक: उदाहरण और हल किए गए अभ्यास - गणित - 2025

आयताकार निर्देशांक या कार्तीय उन जो orthogonally पेश तीन कार्तीय कुल्हाड़ियों पहला, दूसरा, जेड एक बिंदु तीन में स्थित पर प्राप्त कर रहे हैं कर रहे हैं - आयामी अंतरिक्ष।

कार्टेशियन अक्ष एक दूसरे के लिए लंबवत उन्मुख रेखाएं हैं। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को तीन वास्तविक संख्याएं सौंपी जाती हैं जो इसके आयताकार निर्देशांक हैं।

चित्रा 1. बिंदु पी के आयताकार निर्देशांक (स्वयं के विस्तार)

एक विमान तीन आयामी अंतरिक्ष का एक उप-समूह है। एक विमान पर बिंदुओं पर विचार करने के मामले में, फिर कार्टेज़ियन सिस्टम के रूप में लंबवत एक्सिस, वाई की एक जोड़ी को चुनने के लिए पर्याप्त है। फिर विमान के प्रत्येक बिंदु को दो वास्तविक संख्याएँ दी गई हैं जो इसके आयताकार निर्देशांक हैं।

आयताकार निर्देशांक की उत्पत्ति

आयताकार निर्देशांक मूल रूप से फ्रांसीसी गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस (1596 और 1650) द्वारा प्रस्तावित किए गए थे, यही कारण है कि उन्हें कार्टेशियन कहा जाता है।

डेसकार्टेस के इस विचार के साथ, विमान और अंतरिक्ष के बिंदुओं को संख्याएं दी गई हैं, ताकि ज्यामितीय आंकड़ों में एक बीजगणितीय समीकरण जुड़ा हो और शास्त्रीय ज्यामितीय प्रमेयों को बीजगणितीय रूप से सिद्ध किया जा सके। कार्टेशियन निर्देशांक के साथ, विश्लेषणात्मक ज्यामिति का जन्म होता है।

कार्तीय विमान

यदि एक समतल में दो लम्बवत रेखाओं को चुना जाता है जो एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती है; और अगर प्रत्येक पंक्ति के अलावा एक दिशात्मक और क्रमिक समतुल्य बिंदुओं के बीच एक संख्यात्मक पैमाना असाइन किया जाता है, तो एक कार्टेशियन सिस्टम या प्लेन होता है, जिसमें प्लेन का प्रत्येक बिंदु एक क्रमबद्ध दो वास्तविक संख्याओं के साथ जुड़ा होता है, जो क्रमशः अपने अनुमानों पर होते हैं। एक्स और वाई कुल्हाड़ियों।

अंक ए = (3, 2); बी = (- 2, 3); C = (- 2, -3) और D = (3, -3) को नीचे दिखाए गए अनुसार कार्तीय तल में दर्शाया गया है:

चित्र 2. कार्तीय तल में स्थित बिंदु। (खुद का विस्तार)

ध्यान दें कि दो कुल्हाड़ियों एक्स और वाई ने विमान को चार सेक्टरों में विभाजित किया है जिन्हें क्वाड्रंट कहा जाता है। बिंदु A पहले चतुर्थांश में है, बिंदु B दूसरे चतुर्थांश में है, बिंदु C तीसरे चतुर्थांश में है, और बिंदु D चौथे चतुर्थांश में है।

दो बिंदुओं के बीच की दूरी

कार्तीय तल पर दो बिंदु A और B के बीच की दूरी उस खंड की लंबाई है जो उनसे जुड़ती है। यह दूरी विश्लेषणात्मक रूप से गणना की जा सकती है:

डी (ए, बी) = √ (बीएक्स - एक्स) ^ 2 + (बाय - अय) ^ 2)

उपरोक्त सूत्र पाइथागोरस प्रमेय को लागू करके प्राप्त किया जाता है।

इस सूत्र को अंक 2, हमारे पास B, में लागू करें:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = ^ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

अर्थात, d (A, B) = 5.10 इकाइयाँ। ध्यान दें कि एक शासक के साथ मापने की आवश्यकता के बिना दूरी प्राप्त की गई थी, एक पूरी तरह से बीजगणितीय प्रक्रिया का पालन किया गया है।

एक पंक्ति की विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति

आयताकार निर्देशांक बिंदु और रेखा जैसे मौलिक ज्यामितीय वस्तुओं के विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व की अनुमति देते हैं। दो बिंदु A और B एकल रेखा को परिभाषित करते हैं। रेखा के ढलान को बिंदु B ऋण A के Y निर्देशांक के अंतर के बीच भागफल के रूप में परिभाषित किया जाता है, बिंदु B ऋणांक A के X निर्देशांक के अंतर से विभाजित होता है:

ढलान = (द्वारा - अय) / (बीएक्स - एक्स)

निर्देशांक (x, y) के किसी भी बिंदु P, जो रेखा (AB) से संबंधित है, में समान ढलान होना चाहिए:

ढलान = (y - अय) / (x - कुल्हाड़ी)

ढलानों की समानता के माध्यम से जो समीकरण प्राप्त किया जाता है वह अंक या बी से गुजरने वाली रेखा का विश्लेषणात्मक या बीजीय प्रतिनिधित्व है:

(y - अय) / (x - कुल्हाड़ी) = (By - Ay) / (Bx - कुल्हाड़ी)।

यदि हम A और B को लेते हैं तो हमारे पास चित्र 2 के आयताकार निर्देशांक हैं:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) =-/

इस विशेष मामले में हमारे पास एक ऋणात्मक ढलान-have के साथ एक रेखा है, जिसका अर्थ है कि लाइन पर एक बिंदु पर पता लगाने और एक इकाई द्वारा x-निर्देशांक बढ़ाने से, y-निर्देशांक 0.2 इकाइयों से घट जाता है।

विमान में रेखा के समीकरण को लिखने का सबसे आम तरीका चर x के एक फ़ंक्शन के रूप में क्लियर किए गए y निर्देशांक के साथ है:

y = - (1/5) x + 13/5

उदाहरण

उदाहरण 1

विश्लेषणात्मक तरीकों से अंक C और A के बीच की दूरी को प्राप्त करें, C = (-2, -3) और A = (3,2) के आयताकार निर्देशांक होने के नाते।

इन दो बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी के लिए सूत्र इस तरह लिखा गया है:

d (A, C) = √ ((Cx - कुल्हाड़ी) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

हमारे संबंधित आयताकार निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = ^ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7.07

उदाहरण 2

निर्देशांक के बिंदु C (-2, -3) और बिंदु P के निर्देशांक (2, 0) से गुजरने वाली रेखा के समीकरण को प्राप्त करें।

सबसे पहले, CP की रेखा का ढलान प्राप्त किया जाता है:

ढलान = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = -

जेनेरिक आयताकार निर्देशांक (x, y) के किसी भी बिंदु Q, जो CP की रेखा से संबंधित है, में समान ढलान होना चाहिए:

ढलान = (y - (- ३)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

दूसरे शब्दों में, CP का रेखा का समीकरण है:

(y +3) / (x +2) = /

CP के लिए लाइन को हल करने का एक वैकल्पिक तरीका y हल कर रहा है:

y = - x - 3/2

हल किया हुआ व्यायाम

अभ्यास 1

लाइनों के बीच चौराहे के बिंदु के आयताकार निर्देशांक प्राप्त करें y = - (1/5) x + 13/5 और लाइन y = ¾ x - 3/2।

समाधान: परिभाषा के अनुसार, दो पंक्तियों के प्रतिच्छेदन बिंदु समान आयताकार निर्देशांक साझा करते हैं। इसलिए, चौराहे के बिंदु पर y- निर्देशांक दोनों लाइनों के लिए समान हैं:

- (1/5) x + 13/5 = 3 x - 3/2

जो निम्नलिखित अभिव्यक्ति की ओर जाता है:

((+ ¾) x = 13/5 +3/2

हमारे द्वारा प्राप्त अंशों का योग हल करना:

19/20 x = 41/10

एक्स के लिए हल:

x = 82/19 = 4.32

चौराहे का y मान प्राप्त करने के लिए, प्राप्त x मान को किसी भी पंक्तियों में प्रतिस्थापित किया जाता है:

y = 2 4.32 - 3/2 = 1.74

इसका मतलब यह है कि दी गई रेखाएं I के निर्देशांक I (4.32, 1.74) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

व्यायाम २

आयताकार निर्देशांक (3, 4) के बिंदु R से गुजरने वाले परिधि के समीकरण को प्राप्त करें और निर्देशांक के मूल में इसका केंद्र है।

हल: त्रिज्या R, बिंदु R से निर्देशांक के मूल O (0, 0) की दूरी है।

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = - ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2) + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = 25 (25) = 5

यही है, यह 5 (0,0) पर केंद्रित त्रिज्या 5 का एक चक्र है।

परिधि पर किसी भी बिंदु P (x, y) की केंद्र (0, 0) से समान दूरी 5 होनी चाहिए, ताकि यह हो सके:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = 2 (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

यानी:

2 (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

वर्गमूल को समाप्त करने के लिए, समानता के दोनों सदस्यों को प्राप्त करना है:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

परिधि का समीकरण क्या है।

यह उदाहरण आयताकार समन्वय प्रणाली की शक्ति को दिखाता है, जो ज्यामितीय वस्तुओं, जैसे परिधि, को कागज, पेंसिल और कम्पास का उपयोग करने की आवश्यकता के बिना निर्धारित करने की अनुमति देता है। अनुरोधित परिधि केवल बीजगणितीय विधियों द्वारा निर्धारित की गई है।

संदर्भ

1. आरफकेन जी और वेबर एच। (2012)। भौतिकविदों के लिए गणितीय तरीके। एक व्यापक मार्गदर्शक। 7 वां संस्करण। अकादमिक प्रेस। आईएसबीएन 978-0-12-384654-9
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3. वीसस्टीन, एरिक डब्ल्यू। "कार्टेशियन निर्देशांक।" मैथवर्ल्ड-ए वोल्फ्राम वेब से। से पुनर्प्राप्त: mathworld.wolfram.com
4. विकिपीडिया। कार्तीय समन्वय प्रणाली। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.com