कॉटेजेंट के व्युत्पन्न: गणना, प्रमाण, अभ्यास - गणित - 2025

Cotangent के व्युत्पन्न cosecant "-Csc के वर्ग के विपरीत के बराबर है ² "। यह सूत्र परिभाषा द्वारा व्युत्पन्न के नियमों और त्रिकोणमितीय कार्यों के विभेदीकरण का पालन करता है। इसे निम्नानुसार दर्शाया गया है:

d (ctg u) = -csc ² u डु

जहां "डु" स्वतंत्र चर के संबंध में, तर्क फ़ंक्शन से प्राप्त अभिव्यक्ति का प्रतीक है।

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इसकी गणना कैसे की जाती है?

इन व्युत्पत्तियों को विकसित करने की प्रक्रिया काफी सरल है। यह तर्क को सही ढंग से पहचानने के लिए पर्याप्त है और यह जिस प्रकार के फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति सीटीजी (एफ / जी) के तर्क में एक विभाजन है। कॉटेजेंट के व्युत्पन्न को विकसित करने के बाद, यू / वी के बारे में एक भेदभाव की आवश्यकता होगी।

कॉटेजेंट स्पर्शरेखा का पारस्परिक है। बीजगणितीय रूप से इसका अर्थ है कि:

(1 / tg x) = ctg x

सीटीजी एक्स = कॉस एक्स / सेन एक्स

यह कहना गलत है कि कॉटेजेंट फ़ंक्शन स्पर्शरेखा का "उलटा" है। इसका कारण यह है कि परिभाषा द्वारा उलटा स्पर्शरेखा चाप स्पर्शरेखा है।

(Tg ^-1 x) = आर्कट x

पाइथागोरस त्रिकोणमिति के अनुसार, कोटेशन निम्नलिखित वर्गों में शामिल है:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

सीटीजी ² एक्स + 1 = सीएनएस ² एक्स

विश्लेषणात्मक त्रिकोणमिति के अनुसार, यह निम्नलिखित पहचानों का जवाब देता है:

Ctg (a + b) = (1 - tg a। Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a। Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2tg a)

कॉटेजेंट फ़ंक्शन के लक्षण

फ़ंक्शन की विभिन्न विशेषताओं का विश्लेषण करना आवश्यक है f (x) = ctg x ताकि इसकी विभिन्नता और अनुप्रयोग का अध्ययन करने के लिए आवश्यक पहलुओं को परिभाषित किया जा सके।

लंबवत विषमताएँ

Cotangent फ़ंक्शन को "Senx" शून्य बनाने वाले मानों पर परिभाषित नहीं किया गया है। इसके समतुल्य Ctg x = (cos x) / (sin x) के कारण, इसमें पूर्णांक के n के साथ सभी "n belonging" में एक अनिश्चितता होगी।

अर्थात्, x = n will के इन प्रत्येक मानों में एक लंबवत असममितता होगी। जैसे-जैसे आप बाईं ओर से कॉटेजेंट का मान तेजी से घटेंगे, और जैसे-जैसे आप दाईं ओर से आएँगे, फ़ंक्शन अनिश्चित काल तक बढ़ता जाएगा।

डोमेन

Cotangent फ़ंक्शन का डोमेन सेट {x x R / x the nπ, n। Z} द्वारा व्यक्त किया जाता है। इसे "वास्तविक संख्याओं के सेट से संबंधित x के रूप में पढ़ा जाता है जैसे कि x nπ से अलग है, पूर्णांक के सेट से संबंधित है"।

पद

कॉटेजेंट फ़ंक्शन की सीमा माइनस से प्लस इन्फिनिटी तक है। इसलिए, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि इसकी रैंक वास्तविक संख्या आर का सेट है।

आवृत्ति

कॉटेजेंट फ़ंक्शन आवधिक है और इसकी अवधि function के बराबर है। इस तरह, समानता सीटीजी एक्स = सीटीजी (एक्स + एन is) पूरी हो जाती है, जहां एन जेड के अंतर्गत आता है।

व्यवहार

सीटीजी (-x) = - सीटीजी x के बाद से यह एक विषम कार्य है। इस तरह यह ज्ञात है कि फ़ंक्शन समन्वय मूल के संबंध में एक समरूपता प्रस्तुत करता है। यह 2 क्रमिक ऊर्ध्वाधर असममितताओं के बीच स्थित प्रत्येक अंतराल में कमी भी प्रस्तुत करता है।

इस तथ्य के कारण अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं होते हैं, क्योंकि ऊर्ध्वाधर के लिए इसके निहितार्थ वर्तमान व्यवहारों को दर्शाते हैं जहां फ़ंक्शन अनिश्चित काल तक बढ़ता या घटता है।

कॉटंगेंट फ़ंक्शन के शून्य या जड़ें les / 2 के विषम गुणकों पर पाए जाते हैं। इसका मतलब यह है कि ctg x = 0 फॉर्म का मान x = n for / 2 के साथ n विषम पूर्णांक के लिए है।

प्रदर्शन

कॉटेजेंट फ़ंक्शन के व्युत्पन्न साबित करने के 2 तरीके हैं।

त्रिकोणमितीय अंतर प्रमाण

साइन और कोजाइन में इसके समकक्ष से cotangent फ़ंक्शन का व्युत्पन्न साबित होता है।

इसे कार्यों के विभाजन के व्युत्पन्न के रूप में माना जाता है

व्युत्पन्न करने के बाद कारकों को समूहीकृत किया जाता है और उद्देश्य पाइथागोरस की पहचान का अनुकरण करना है

पहचानों को प्रतिस्थापित करना और पारस्परिकता को लागू करना, अभिव्यक्ति

व्युत्पन्न की परिभाषा द्वारा प्रमाण

निम्नलिखित अभिव्यक्ति परिभाषा के अनुसार व्युत्पन्न से मेल खाती है। जहां फ़ंक्शन के 2 बिंदुओं के बीच की दूरी शून्य तक पहुंचती है।

हमारे पास जो खटिया है, उसके लिए स्थानापन्न:

पहचान को तर्क और पारस्परिकता के योग के लिए लागू किया जाता है

अंश का अंश पारंपरिक रूप से संचालित होता है

विपरीत तत्वों को खत्म करना और एक सामान्य कारक लेना, हम प्राप्त करते हैं

पाइथागोरस की पहचान और पारस्परिकता को हमें लागू करना होगा

एक्स में मूल्यांकन किए गए तत्व सीमा के संबंध में स्थिर हैं, इसलिए वे इस के तर्क को छोड़ सकते हैं। फिर त्रिकोणमितीय सीमा के गुण लागू होते हैं।

सीमा का मूल्यांकन किया जाता है

फिर इसे तब तक फैक्टर किया जाता है जब तक कि वांछित मूल्य नहीं मिल जाता

कॉटेजेंट के व्युत्पन्न को इस प्रकार ब्रह्माण्ड के वर्ग के विपरीत के रूप में प्रदर्शित किया जाता है।

हल किया हुआ व्यायाम

अभ्यास 1

फ़ंक्शन f (x) के आधार पर, अभिव्यक्ति f '(x) परिभाषित करें

इसी व्युत्पत्ति को चेन नियम का सम्मान करते हुए लागू किया जाता है

तर्क से मुक्ति

कभी-कभी समाधानों को अनुकूलित करने के लिए पारस्परिक या त्रिकोणमितीय पहचान लागू करना आवश्यक होता है।

व्यायाम २

एफ (एक्स) के अनुरूप अंतर की अभिव्यक्ति को परिभाषित करें

व्युत्पत्ति सूत्र के अनुसार और चेन नियम का सम्मान करना

तर्क व्युत्पन्न है, जबकि बाकी समान है

सभी तत्वों को प्राप्त करना

एक ही आधार के उत्पादों को पारंपरिक तरीके से संचालित करना

समान तत्व जोड़े जाते हैं और सामान्य कारक को निकाला जाता है

संकेत सरल और संचालित होते हैं। पूरी तरह से व्युत्पन्न अभिव्यक्ति के लिए रास्ता दे रहा है

संदर्भ

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