एक समारोह के डोमेन और विरोधाभास (उदाहरण के साथ) - गणित - 2025

किसी फ़ंक्शन के डोमेन और काउंटर-डोमेन की अवधारणाओं को आमतौर पर कैलकुलस पाठ्यक्रमों में पढ़ाया जाता है जो विश्वविद्यालय की डिग्री की शुरुआत में सिखाया जाता है।

डोमेन और विरोधाभास को परिभाषित करने से पहले, आपको पता होना चाहिए कि एक फ़ंक्शन क्या है। एक फ़ंक्शन f दो सेटों के तत्वों के बीच किए गए पत्राचार का एक नियम (नियम) है।

जिस सेट से तत्वों को चुना जाता है, उसे फ़ंक्शन का डोमेन कहा जाता है, और जिस सेट को इन तत्वों को f के माध्यम से भेजा जाता है, उसे काउंटर-डोमेन कहा जाता है।

गणित में डोमेन ए और काउंटर डोमेन बी के साथ एक फ़ंक्शन को अभिव्यक्ति एफ: ए → बी द्वारा दर्शाया गया है।

पिछली अभिव्यक्ति कहती है कि सेट ए के तत्वों को पत्राचार कानून एफ के बाद बी सेट करने के लिए भेजा जाता है।

एक फ़ंक्शन सेट B के प्रत्येक तत्व को A सेट करता है।

डोमेन और विरोधाभास

वास्तविक चर f (x) के वास्तविक कार्य को देखते हुए, हमारे पास यह है कि फ़ंक्शन का डोमेन उन सभी वास्तविक संख्याओं का होगा जैसे कि, जब f में मूल्यांकन किया जाता है, तो परिणाम एक वास्तविक संख्या होती है।

आम तौर पर, किसी फ़ंक्शन का काउंटर-डोमेन वास्तविक संख्या R का सेट होता है। काउंटर-डोमेन को फ़ंक्शन का आगमन सेट या कोडोमेन भी कहा जाता है।

क्या किसी फ़ंक्शन का विरोधाभास हमेशा R होता है?

जब तक फ़ंक्शन का विस्तार से अध्ययन नहीं किया जाता है, तब तक वास्तविक संख्या R का सेट आमतौर पर काउंटर-डोमेन के रूप में लिया जाता है।

लेकिन एक बार फ़ंक्शन का अध्ययन करने के बाद, एक अधिक उपयुक्त सेट को काउंटर-डोमेन के रूप में लिया जा सकता है, जो आर का सबसेट होगा।

पिछले पैराग्राफ में उल्लिखित उचित सेट फ़ंक्शन की छवि से मेल खाता है।

किसी फ़ंक्शन f की छवि या श्रेणी की परिभाषा उन सभी मूल्यों को संदर्भित करती है, जो f के डोमेन के एक तत्व का मूल्यांकन करने से आती हैं।

उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण बताते हैं कि किसी फ़ंक्शन और उसकी छवि के डोमेन की गणना कैसे करें।

उदाहरण 1

चलो f (x) = 2 द्वारा परिभाषित एक वास्तविक कार्य है।

F का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि, जब f पर मूल्यांकन किया जाता है, तो परिणाम एक वास्तविक संख्या होती है। पल के लिए विरोधाभास आर के बराबर है।

जैसा कि दिए गए फ़ंक्शन स्थिर है (हमेशा 2 के बराबर), इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा वास्तविक नंबर चुना गया है, क्योंकि जब इसे च में मूल्यांकन किया जाता है तो परिणाम हमेशा 2 के बराबर होगा, जो कि एक वास्तविक संख्या है।

इसलिए, दिए गए फ़ंक्शन का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं; वह है, ए = आर।

अब यह ज्ञात है कि फ़ंक्शन का परिणाम हमेशा 2 के बराबर होता है, हमारे पास यह है कि फ़ंक्शन की छवि केवल नंबर 2 है, इसलिए फ़ंक्शन के काउंटर-डोमेन को B = Img (f) = के रूप में फिर से परिभाषित किया जा सकता है। {दो}।

इसलिए, एफ: आर ​​→ {2}।

उदाहरण 2

मान लें कि g (x) =.x द्वारा परिभाषित एक वास्तविक फ़ंक्शन है।

जब तक जी की छवि ज्ञात नहीं होती है, तब तक जी का विरोधाभास बी = आर है।

इस फ़ंक्शन के साथ यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि वर्गमूल केवल गैर-नकारात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित हैं; यानी शून्य से अधिक या उसके बराबर की संख्या के लिए। उदाहरण के लिए, √-1 वास्तविक संख्या नहीं है।

इसलिए, फ़ंक्शन जी का डोमेन शून्य से अधिक या उसके बराबर सभी संख्याओं का होना चाहिए; वह है, x ≥ 0।

इसलिए, ए = [0, + 0)।

सीमा की गणना करने के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जी (एक्स) का कोई भी परिणाम, क्योंकि यह एक वर्गमूल है, हमेशा शून्य से अधिक या बराबर होगा। वह है, बी = [०, + [)।

निष्कर्ष में, जी: [0, + ∞) → [0, +।)।

उदाहरण 3

यदि हमारे पास फ़ंक्शन h (x) = 1 / (x-1) है, तो हमारे पास यह फ़ंक्शन x = 1 के लिए परिभाषित नहीं है, क्योंकि हर में हमें शून्य मिलेगा और शून्य द्वारा विभाजन को परिभाषित नहीं किया गया है।

दूसरी ओर, किसी भी अन्य वास्तविक मूल्य के लिए परिणाम एक वास्तविक संख्या होगी। इसलिए, डोमेन एक को छोड़कर सभी वास्तविक है; वह है, A = R {1}।

इसी तरह, यह देखा जा सकता है कि परिणाम के रूप में प्राप्त किया जा सकने वाला एकमात्र मान 0 नहीं है, क्योंकि अंश के शून्य के बराबर होने के लिए अंश शून्य होना चाहिए।

इसलिए, फ़ंक्शन की छवि शून्य को छोड़कर सभी वास्तविकताओं का सेट है, इसलिए B = R {0} को एक विरोधाभासी के रूप में लिया जाता है।

निष्कर्ष में, h: R {1} → R {0}।

टिप्पणियों

डोमेन और छवि को एक ही सेट होने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि उदाहरण 1 और 3 में दिखाया गया है।

जब किसी कार्य को कार्तीय तल पर रेखांकन किया जाता है, तो डोमेन को एक्स अक्ष द्वारा दर्शाया जाता है और वाई अक्ष द्वारा काउंटरडोमेन या रेंज का प्रतिनिधित्व किया जाता है।

संदर्भ

1. फ्लेमिंग, डब्ल्यू।, और वरबर्ग, डीई (1989)। प्रीक्लकुलस गणित। अप्रेंटिस हॉल पीटीआर।
2. फ्लेमिंग, डब्ल्यू।, और वरबर्ग, डीई (1989)। प्रीक्लेकुलस गणित: एक समस्या को सुलझाने वाला दृष्टिकोण (2, इलस्ट्रेटेड एड।)। मिशिगन: प्रेंटिस हॉल।
3. फ्लेमिंग, डब्ल्यू।, और वरबर्ग, डी। (1991)। विश्लेषणात्मक ज्यामिति के साथ बीजगणित और त्रिकोणमिति। पियर्सन शिक्षा।
4. लार्सन, आर। (2010)। प्रीक्लकुलस (8 संस्करण)। सेनगेज लर्निंग।
5. लील, जेएम, और विलोरिया, एनजी (2005)। विमान विश्लेषणात्मक ज्यामिति। मेरेडा - वेनेजुएला: संपादकीय वेनेज़ोलाना सीए
6. पेरेज़, सीडी (2006)। Precalculation। पियर्सन शिक्षा।
7. परसेल, ईजे, वरबर्ग, डी।, और रिग्डन, एसई (2007)। पथरी (नौवां संस्करण)। शागिर्द कक्ष।
8. साएंज़, जे। (2005)। विज्ञान और इंजीनियरिंग के लिए प्रारंभिक पारगमन कार्यों के साथ विभेदक पथरी (दूसरा संस्करण एड।)। कर्ण।
9. स्कॉट, सीए (2009)। कार्टेशियन प्लेन ज्योमेट्री, पार्ट: एनालिटिकल कॉनिक्स (1907) (पुनर्मुद्रण एड।)। बिजली का स्रोत।
10. सुलिवन, एम। (1997)। Precalculation। पियर्सन शिक्षा।