- रेखा की ढलान
- उस रेखा का सामान्य समीकरण क्या है जिसका ढलान 2/3 है?
- क्या लाइन के सामान्य समीकरण को खोजने के अन्य तरीके हैं?
- संदर्भ
एक पंक्ति L का सामान्य समीकरण निम्नलिखित है: Ax + By + C = 0, जहाँ A, B और C स्थिरांक हैं, x स्वतंत्र चर है और आश्रित चर है।
आम तौर पर अक्षर m द्वारा निरूपित एक रेखा का ढलान, जो P = (X1, y1) और Q = (x0, y0) से होकर गुजरता है, निम्नलिखित भागफल m: = (y1-y0) / (X1 है) -x0)।
एक रेखा का ढलान, एक निश्चित तरीके से झुकाव का प्रतिनिधित्व करता है; अधिक औपचारिक रूप से, एक रेखा का ढलान एक्स अक्ष के साथ कोण के स्पर्शरेखा है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जिस क्रम में नाम रखे गए हैं, वह उदासीन है, क्योंकि (y0-y1) / (x0-X1) = - (y1-y0) / (- (X1-x0)) = (y1-y0) / (X1-x0)।
रेखा की ढलान
यदि दो बिंदु ज्ञात हैं, जिसके माध्यम से एक रेखा गुजरती है, तो इसकी ढलान की गणना करना आसान है। लेकिन अगर इन बिंदुओं को नहीं जाना जाता है तो क्या होगा?
किसी रेखा Ax + By + C = 0 के सामान्य समीकरण को देखते हुए, इसका ढलान m = -A / B है।
उस रेखा का सामान्य समीकरण क्या है जिसका ढलान 2/3 है?
जैसे कि रेखा का ढलान 2/3 है तो समानता-ए / बी = 2/3 स्थापित है, जिसके साथ हम देख सकते हैं कि ए = -2 और बी = 3। तो 2/3 के बराबर ढलान वाली रेखा का सामान्य समीकरण -2x + 3y + C = 0 है।
यह स्पष्ट किया जाना चाहिए कि यदि ए = 2 और बी = -3 को चुना जाता है, तो समान समीकरण प्राप्त किया जाएगा। वास्तव में, 2x-3y + C = 0, जो कि पिछले 1 के गुणा से 1 के बराबर है। C का चिन्ह मायने नहीं रखता क्योंकि यह एक सामान्य स्थिरांक है।
एक और अवलोकन जो किया जा सकता है वह यह है कि ए = -4 और बी = 6 के लिए एक ही लाइन प्राप्त की जाती है, इस तथ्य के बावजूद कि उनका सामान्य समीकरण अलग है। इस मामले में सामान्य समीकरण -4x + 6y + C = 0 है।
क्या लाइन के सामान्य समीकरण को खोजने के अन्य तरीके हैं?
इसका जवाब है हाँ। यदि किसी रेखा का ढलान ज्ञात है, तो सामान्य समीकरण को खोजने के लिए, पिछले एक के अलावा, दो तरीके हैं।
इसके लिए, पॉइंट-स्लोप समीकरण और शियर-स्लोप समीकरण का उपयोग किया जाता है।
-द पॉइंट-स्लोप समीकरण: यदि m किसी रेखा का ढलान है और P = (x0, y0) एक बिंदु है जिसके माध्यम से वह गुजरता है, तो समीकरण y-y0 = m (x-x0) को बिंदु-ढलान समीकरण कहा जाता है ।
-द कट-स्लोप समीकरण: यदि m एक रेखा का ढलान है और (0, b) Y अक्ष के साथ रेखा का कट है, तो समीकरण y = mx + b को कट-स्लोप समीकरण कहा जाता है।
पहले मामले का उपयोग करते हुए, यह प्राप्त किया जाता है कि एक रेखा का बिंदु-ढलान समीकरण जिसका ढलान 2/3 है, अभिव्यक्ति y-y0 = (2/3) (x-x0) द्वारा दिया गया है।
सामान्य समीकरण में आने के लिए, दोनों तरफ 3 से गुणा करें और समानता के एक तरफ सभी शब्दों को समूहित करें, जिसके साथ हम प्राप्त करते हैं कि -2x + 3y + (2 × 0-3y0) = 0 सामान्य समीकरण है लाइन, जहां C = 2 × 0-3y0।
दूसरे मामले का उपयोग करते हुए, हम यह प्राप्त करते हैं कि एक रेखा का कट-ढलान समीकरण जिसका ढलान 2/3 है y = (2/3) x + b।
फिर, दोनों तरफ 3 से गुणा करें, और सभी चर को समूहीकृत करते हुए, हमें -2x + 3y-3b = 0 मिलता है। उत्तरार्द्ध लाइन का सामान्य समीकरण है जहां C = -3 बी।
दरअसल, दोनों मामलों को करीब से देखने पर, यह देखा जा सकता है कि दूसरा मामला केवल पहले का एक विशेष मामला है (जब x0 = 0)।
संदर्भ
- फ्लेमिंग, डब्ल्यू।, और वरबर्ग, डीई (1989)। प्रीक्लकुलस गणित। अप्रेंटिस हॉल पीटीआर।
- फ्लेमिंग, डब्ल्यू।, और वरबर्ग, डीई (1989)। प्रीक्लेकुलस गणित: एक समस्या को सुलझाने वाला दृष्टिकोण (2, इलस्ट्रेटेड एड।)। मिशिगन: प्रेंटिस हॉल।
- किशन, एच। (2005)। समाकलन गणित। अटलांटिक प्रकाशक और वितरक।
- लार्सन, आर। (2010)। प्रीक्लकुलस (8 संस्करण)। सेनगेज लर्निंग।
- लील, जेएम, और विलोरिया, एनजी (2005)। विमान विश्लेषणात्मक ज्यामिति। मेरेडा - वेनेजुएला: संपादकीय वेनेज़ोलाना सीए
- पेरेज़, सीडी (2006)। Precalculation। पियर्सन शिक्षा।
- साएंज़, जे। (2005)। विज्ञान और इंजीनियरिंग के लिए प्रारंभिक पारगमन कार्यों के साथ विभेदक पथरी (दूसरा संस्करण एड।)। कर्ण।
- सुलिवन, एम। (1997)। Precalculation। पियर्सन शिक्षा।