होमोग्राफिक फ़ंक्शन: ग्राफ़ को कैसे हल किया जाए, हल किए गए अभ्यास - गणित - 2025

समारोह homographic या तर्कसंगत एनजी गणितीय समारोह का एक प्रकार बहुपद विभाजन के दो घटक होते है। यह P (x) / Q (x) फॉर्म का पालन करता है, जहां Q (x) शून्य रूप नहीं ले सकता है।

उदाहरण के लिए अभिव्यक्ति (2x - 1) / (x + 3) P (x) = 2x - 1 और Q (x) = x + 3 के साथ एक होमोग्राफिक फ़ंक्शन से मेल खाती है।

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होमोग्राफिक फ़ंक्शंस, ग्राफ़िकल दृष्टिकोण से और डोमेन और रेंज के अध्ययन से व्यवहार किए जा रहे विश्लेषणात्मक कार्यों के अध्ययन के एक भाग का गठन करते हैं। यह उन प्रतिबंधों और आधारों के कारण है जिन्हें आपके प्रस्तावों के लिए लागू किया जाना चाहिए।

एक होमोग्राफिक फ़ंक्शन क्या है?

वे एक एकल चर की तर्कसंगत अभिव्यक्ति हैं, हालांकि इसका मतलब यह नहीं है कि दो या दो से अधिक चर के लिए समान अभिव्यक्ति नहीं है, जहां यह पहले से ही अंतरिक्ष में निकायों की उपस्थिति में होगा जो विमान में होमोग्राफिक फ़ंक्शन के समान पैटर्न का पालन करते हैं।

कुछ मामलों में उनकी वास्तविक जड़ें हैं, लेकिन ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज असममितता का अस्तित्व हमेशा बना रहता है, साथ ही विकास और अंतराल के अंतराल भी होते हैं। आम तौर पर इन प्रवृत्तियों में से केवल एक ही मौजूद है, लेकिन उनके विकास में दोनों को दिखाने में सक्षम अभिव्यक्ति हैं।

इसका डोमेन हर की जड़ों द्वारा प्रतिबंधित है, क्योंकि वास्तविक संख्या के शून्य से कोई विभाजन नहीं है।

मिश्रित समलैंगिक कार्य

वे गणना में बहुत बार हैं, विशेष रूप से अंतर और अभिन्न, विशेष सूत्रों के तहत व्युत्पन्न और विरोधी व्युत्पन्न करने के लिए आवश्यक है। सबसे आम में से कुछ नीचे सूचीबद्ध हैं।

यहां तक ​​कि होमोग्राफिक फ़ंक्शन की एनटी रूट

डोमेन के उन सभी तत्वों को छोड़ दें जो तर्क को नकारात्मक बनाते हैं। मूल्यांकन किए जाने पर प्रत्येक बहुपद उपज में शून्य की मान मौजूद होता है।

इन मूल्यों को कट्टरपंथी द्वारा स्वीकार किया जाता है, हालांकि होमोग्राफिक फ़ंक्शन के मौलिक प्रतिबंध पर विचार किया जाना चाहिए। जहाँ Q (x) शून्य मान प्राप्त नहीं कर सकता है।

अंतराल के समाधानों को रोकना चाहिए:

चौराहों के समाधान को प्राप्त करने के लिए, साइन विधि, दूसरों के बीच, का उपयोग किया जा सकता है।

होमोग्राफिक फ़ंक्शन का लघुगणक

अन्य संभावित संयोजनों के बीच एक में दोनों अभिव्यक्तियों को ढूंढना भी आम है।

होमोग्राफिक फंक्शन को कैसे ग्राफ करें?

हवाई जहाज में होम्योग्राफिक फ़ंक्शंस ग्राफिक रूप से हाइपरबोलस के अनुरूप होते हैं। बहुपद को परिभाषित करने वाले मूल्यों के अनुसार क्षैतिज और लंबवत रूप से ले जाया जाता है।

ऐसे कई तत्व हैं जिन्हें हमें एक तर्कसंगत या होमोग्राफिक फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए परिभाषित करना चाहिए।

जायदाद

पहला कार्य पी और क्यू की जड़ या शून्य होगा।

प्राप्त मूल्यों को ग्राफ के एक्स-अक्ष पर दर्शाया जाएगा। अक्ष के साथ ग्राफ के चौराहों का संकेत।

ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट

वे ऊर्ध्वाधर रेखाओं के अनुरूप हैं, जो उनके द्वारा प्रस्तुत रुझानों के अनुसार ग्राफ का सीमांकन करते हैं। वे x- अक्ष को उन मानों पर स्पर्श करते हैं जो हर को शून्य बनाते हैं और होमोग्राफिक फ़ंक्शन के ग्राफ द्वारा कभी नहीं छुआ जाएगा।

समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा

एक क्षैतिज सिलाई लाइन द्वारा प्रस्तुत, यह एक सीमा का सीमांकन करता है जिसके लिए फ़ंक्शन को सटीक बिंदु पर परिभाषित नहीं किया जाएगा। इस रेखा से पहले और बाद में रुझान देखे जाएंगे।

इसकी गणना करने के लिए, हमें L'Hopital की विधि के समान विधि का सहारा लेना चाहिए, जिसका उपयोग तर्कसंगत कार्यों की सीमाओं को हल करने के लिए किया जाता है जो अनंतता की ओर ले जाते हैं। हमें फ़ंक्शन के संख्यात्मक और हर में उच्चतम शक्तियों के गुणांक लेना चाहिए।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्ति में y = 2/1 = 2 पर क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है।

विकास अंतराल

ऑर्डिनेट वैल्यू के कारण ग्राफ पर चिह्नित रुझान होंगे। वृद्धि के मामले में, फ़ंक्शन मूल्यों में बढ़ेगा क्योंकि डोमेन के तत्वों का मूल्यांकन बाएं से दाएं किया जाता है।

अंतराल में कमी

ऑर्डिनेट वैल्यू कम हो जाएगी क्योंकि डोमेन एलिमेंट्स का मूल्यांकन बाएं से दाएं किया जाता है।

मानों में पाए जाने वाले जंप को बढ़ने या घटने पर ध्यान नहीं दिया जाएगा। यह तब होता है जब ग्राफ एक ऊर्ध्वाधर या क्षैतिज स्पर्शोन्मुख के करीब होता है, जहां मान अनंत से नकारात्मक अनंत तक और इसके विपरीत भिन्न हो सकते हैं।

Y चौराहा

X को शून्य पर सेट करके, हम ऑर्डिनेट अक्ष के साथ इंटरसेप्ट पाते हैं। यह तर्कसंगत कार्य का ग्राफ प्राप्त करने के लिए बहुत उपयोगी जानकारी है।

उदाहरण

निम्नलिखित अभिव्यक्तियों के ग्राफ को परिभाषित करें, उनकी जड़ें, ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज स्पर्शोन्मुख, वृद्धि और अंतराल के अंतराल और समन्वय अक्ष के साथ मिलें।

अभ्यास 1

अभिव्यक्ति की कोई जड़ नहीं है, क्योंकि यह अंश में एक निरंतर मूल्य है। लागू किया जाने वाला प्रतिबंध शून्य से x भिन्न होगा। Y = 0 पर क्षैतिज asymptote के साथ, और x = 0. पर ऊर्ध्वाधर asymptote y- अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के कोई बिंदु नहीं हैं।

यह देखा गया है कि एक्स = 0 पर माइनस से प्लस इन्फिनिटी तक की छलांग के साथ भी कोई विकास अंतराल नहीं हैं।

कमी अंतराल है

आईडी: (-∞; ओ) यू (0, ∞)

व्यायाम १.२

2 बहुपदों को प्रारंभिक परिभाषा के रूप में देखा जाता है, इसलिए हम स्थापित चरणों के अनुसार आगे बढ़ते हैं।

पाया गया रूट x = 7/2 है, जिसके परिणामस्वरूप फ़ंक्शन शून्य के बराबर सेट होता है।

ऊर्ध्वाधर विषमता x = - 4 पर है, जो तर्कसंगत फ़ंक्शन स्थिति द्वारा डोमेन से बाहर रखा गया मान है।

क्षैतिज स्पर्शोन्मुख y = 2 पर है, यह 2/1 को विभाजित करने के बाद, डिग्री 1 के चर के गुणांक।

इसका एक y- अवरोधन = - 7/4 है। X के शून्य के बराबर होने के बाद पाया गया मान।

फ़ंक्शन लगातार बढ़ रहा है, जड़ x = -4 के चारों ओर प्लस से माइनस इन्फिनिटी के लिए एक छलांग के साथ।

इसका विकास अंतराल (-∞, - 4) U (- 4, () है।

जब x का मान माइनस इनफिनिटी के करीब पहुंचता है, तो फंक्शन मान को 2 के करीब ले जाता है। ऐसा तब होता है जब x ज्यादा इनफिनिटी के करीब पहुंचता है।

जब मूल्यांकन बाईं ओर से - 4 का मूल्यांकन करने के लिए प्लस इन्फिनिटी, और दाईं ओर से 4 - मूल्यांकन करते समय माइनस अनन्तता तक पहुंचता है।

व्यायाम २

निम्नलिखित होमोग्राफिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ देखा गया है:

इसके व्यवहार, जड़ों, ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज स्पर्शोन्मुखता, विकास के अंतराल और समन्वय अक्ष के साथ चौराहे का वर्णन करें।

अभिव्यक्ति के हरकार हमें वर्गों के अंतर (x + 1) (x - 1) को जड़ों के मूल्यों को बताकर बताता है। इस तरह, दोनों लंबवत विषमताएँ इस प्रकार परिभाषित की जा सकती हैं:

x = -1 और x = 1

क्षैतिज स्पर्शोन्मुख अनुपस्थिति अक्ष से मेल खाती है क्योंकि उच्चतम शक्ति हर में है।

इसकी एकमात्र जड़ x = -1/3 से परिभाषित होती है।

अभिव्यक्ति हमेशा बाएं से दाएं कम हो जाती है। अनंत के करीब पहुंचकर शून्य हो जाता है। बाईं ओर से -1 तक पहुंचते ही माइनस इनफिनिटी। ए प्लस इनफिनिटी क्योंकि यह दाईं ओर से -1 पर पहुंचता है। बाईं ओर से 1 के निकट आने पर कम अनंत और दाईं ओर से 1 के निकट आने पर अनंत।

संदर्भ

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