यूक्लिडियन ज्यामिति: इतिहास, बुनियादी अवधारणाओं और उदाहरण - गणित - 2025

इयूक्लिडियन ज्यामिति ज्यामितीय रिक्त स्थान के गुणों जहां यूक्लिड की सूक्तियों संतुष्ट हैं के अध्ययन से मेल खाती है। हालांकि इस शब्द का उपयोग कभी-कभी ज्यामिति को कवर करने के लिए किया जाता है जिसमें समान गुणों के साथ उच्च आयाम होते हैं, यह आमतौर पर शास्त्रीय ज्यामिति या विमान ज्यामिति का पर्याय होता है।

तृतीय शताब्दी में ए। सी। यूक्लाइड्स और उनके शिष्यों ने एलीमेंट्स लिखा, एक ऐसा काम जो उस समय के गणितीय ज्ञान को समाहित करता है जो एक तार्किक-घटात्मक संरचना के साथ संपन्न होता है। तब से, ज्यामिति एक विज्ञान बन गया, शुरू में शास्त्रीय समस्याओं को हल करने के लिए और एक औपचारिक विज्ञान के रूप में विकसित हुआ जो कारण को मदद करता है।

इतिहास

यूक्लिडियन ज्यामिति के इतिहास के बारे में बात करने के लिए, एलेक्जेंड्रिया के यूक्लिड और तत्वों के साथ शुरू करना आवश्यक है।

जब सिकंदर महान की मृत्यु के बाद मिस्र को टॉलेमी प्रथम के हाथों में छोड़ दिया गया था, तो उन्होंने अलेक्जेंड्रिया के एक स्कूल में अपनी परियोजना शुरू की।

स्कूल में पढ़ाने वाले ऋषियों में यूक्लिड थे। यह अनुमान लगाया जाता है कि उनका जन्म लगभग 325 ई.पू. सी। और उनकी मृत्यु 265 ए। सी। हम निश्चितता से जान सकते हैं कि वह प्लेटो के स्कूल में गया था।

अलेक्जेंड्रिया में तीस से अधिक वर्षों के लिए यूक्लिड ने अपने प्रसिद्ध तत्वों का निर्माण किया: उन्होंने अपने समय के गणित का विस्तृत विवरण लिखना शुरू किया। यूक्लिड की शिक्षाओं ने उत्कृष्ट शिष्यों का उत्पादन किया, जैसे कि आर्किमिडीज़ और पेरोल का एपोलोनियस।

यूक्लिड तत्वों में प्राचीन यूनानियों की असमान खोजों को संरचित करने का प्रभारी था, लेकिन अपने पूर्ववर्तियों के विपरीत वह खुद को सीमित नहीं करता है कि एक प्रमेय सच है; यूक्लिड एक प्रदर्शन प्रदान करता है।

तत्व तेरह पुस्तकों का एक संग्रह है। बाइबिल के बाद, यह एक हजार से अधिक संस्करणों के साथ, सबसे प्रकाशित पुस्तक है।

यूक्लिड के तत्व

एलिमेंट्स ज्यामिति के क्षेत्र में यूक्लिड की उत्कृष्ट कृति है, और द्वि-आयामी (प्लेन) और थ्री-डायमेंशनल (स्पेस) ज्यामिति का एक निश्चित उपचार प्रदान करता है, जिसे हम अब यूक्लिडियन ज्यामिति के रूप में जानते हैं। ।

मूल अवधारणा

तत्व प्रमेय, निर्माण और प्रमाण के बाद परिभाषाओं, सामान्य धारणाओं और पोस्टुलेट्स (या स्वयंसिद्ध) से बने होते हैं।

- एक बिंदु वह है जिसका कोई भाग नहीं है।

- एक रेखा एक लंबाई है जिसकी कोई चौड़ाई नहीं है।

- एक सीधी रेखा वह है जो इसमें मौजूद बिंदुओं के संबंध में समान रूप से निहित है।

- यदि दो लाइनें काट दी जाती हैं ताकि आसन्न कोण बराबर हों, तो कोणों को सीधी रेखाएं कहा जाता है और रेखाओं को लंबवत कहा जाता है।

- समानांतर रेखाएँ वे होती हैं, जो एक ही समतल में होती हैं, कभी भी प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

इन और अन्य परिभाषाओं के बाद, यूक्लिड ने हमें पाँच मुद्राओं और पाँच धारणाओं की एक सूची प्रदान की।

आम धारणाएँ

- दो चीजें जो एक तिहाई के बराबर होती हैं, वे एक-दूसरे के बराबर होती हैं।

- यदि समान चीजों में समान चीजें जोड़ी जाती हैं, तो परिणाम समान होते हैं।

- यदि समान चीजों को समान चीजों से घटाया जाए, तो परिणाम समान होते हैं।

- एक-दूसरे से मेल खाने वाली चीजें एक-दूसरे के बराबर होती हैं।

- कुल एक भाग से अधिक है।

आसन या स्वयंसिद्ध शब्द

- एक और केवल एक लाइन दो अलग-अलग बिंदुओं से गुजरती है।

- सीधी रेखाओं को अनिश्चित काल तक बढ़ाया जा सकता है।

- आप किसी भी केंद्र और किसी भी त्रिज्या के साथ एक वृत्त खींच सकते हैं।

- सभी समकोण समान हैं।

- यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं को पार करती है ताकि एक ही पक्ष के आंतरिक कोण दो समकोण से कम में जुड़ जाएं, तो दोनों रेखाएं उस तरफ से पार हो जाएंगी।

इस अंतिम पोस्टुलेट को समानांतर पोस्टऑउट के रूप में जाना जाता है और निम्नलिखित तरीके से सुधार किया गया था: "एक पंक्ति के बाहर एक बिंदु के लिए, दी गई रेखा के समानांतर एक एकल खींचा जा सकता है।"

उदाहरण

इसके बाद, तत्वों के कुछ प्रमेय ज्यामितीय स्थानों के गुणों को दिखाने के लिए काम करेंगे, जहां यूक्लिड के पांच पद पूरा होते हैं; इसके अलावा, वे इस गणितज्ञ द्वारा उपयोग किए जाने वाले तार्किक-निगमनात्मक तर्क का वर्णन करेंगे।

पहला उदाहरण

प्रस्ताव १.४। (लाल)

यदि दो त्रिकोणों के दो पक्ष हैं और उनके बीच का कोण समान है, तो अन्य पक्ष और अन्य कोण समान हैं।

प्रदर्शन

बता दें कि ABC और A'B'C 'AB = A'B', AC = A'C 'और कोण BAC और B''C के बराबर दो त्रिकोण हैं। आइए त्रिभुज A'B'C को स्थानांतरित करें ताकि A'B 'AB के साथ मेल खाता हो और कोण B'A'C' कोण BAC के साथ मेल खाता हो।

तो लाइन A'C 'लाइन AC के साथ मेल खाता है, इसलिए C' सी के साथ मेल खाता है। फिर 1, लाइन बीसी को 'BC' के साथ मेल खाना चाहिए। इसलिए दो त्रिकोण मेल खाते हैं और, परिणामस्वरूप, उनके कोण और उनके पक्ष समान हैं।

दूसरा उदाहरण

प्रस्ताव 1.5। (

मान लीजिए कि त्रिभुज ABC में AB और AC के बराबर भुजाएँ हैं।

तो, त्रिभुज ABD और ACD के दो बराबर पक्ष हैं और उनके बीच के कोण समान हैं। इस प्रकार, प्रस्ताव 1.4 द्वारा, कोण ABD और ACD बराबर हैं।

तीसरा उदाहरण

प्रस्ताव 1.31

आप किसी दिए गए बिंदु द्वारा दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा का निर्माण कर सकते हैं।

इमारत

एक पंक्ति L और एक बिंदु P को देखते हुए, एक रेखा M को P के माध्यम से खींचा जाता है और L को फिर से जोड़ा जाता है। तब एक रेखा N को P के माध्यम से खींचा जाता है, L को काटता है। अब, एक पंक्ति N को P के माध्यम से खींचा जाता है, जो M को काटता है। M के साथ L जो बनता है, उसके बराबर कोण बनाना

प्रतिज्ञान

N, L के समानांतर है।

प्रदर्शन

मान लीजिए कि L और N समानांतर नहीं हैं और एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। A, B को L के A से परे एक बिंदु बनाते हैं। आइए हम उस रेखा O पर विचार करें जो B और P से होकर गुजरती है। तब, O, कोणों से M को काटता है, जो कि जोड़ से कम है दो सीधे।

फिर 1.5 रेखा से O को M के दूसरी तरफ रेखा L को काटना चाहिए, इसलिए L और O दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो कि 1 का विरोधाभासी है। इसलिए, L और N को समानांतर होना चाहिए।

संदर्भ

1. यूक्लिड। ज्यामिति के तत्व। नेशनल ऑटोनॉमस यूनिवर्सिटी ऑफ मैक्सिको
2. यूक्लिड। यूक्लिड के तत्वों की पहली छह पुस्तकें और ग्यारहवीं और बारहवीं
3. यूजेनियो फिलोय याग। यूक्लिडियन ज्यामिति के सिद्धांत और इतिहास, ग्रुपो संपादकीय Iberoamericano
4. के। रिबनिकोव। गणित का इतिहास। मीर संपादकीय
5. विलोरिया, एन।, और लील, जे (2005) प्लेन एनालिटिकल ज्योमेट्री। संपादकीय वेनेज़ोलाना सी.ए.