त्वचा की सीमा: इसमें क्या होता है और हल किया जाता है - गणित - 2025

फर्मेट सीमा एक संख्यात्मक एक लाइन की ढलान है, जो अपने डोमेन में एक निश्चित बिंदु में आयोजित एक समारोह को स्पर्श रेखा होती है का मान प्राप्त करने के लिए इस्तेमाल किया विधि है। इसका उपयोग किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं को प्राप्त करने के लिए भी किया जाता है। इसकी अभिव्यक्ति इस प्रकार है:

यह स्पष्ट है कि फ़र्मैट को व्युत्पत्ति के मूल सिद्धांतों का पता नहीं था, हालांकि यह उनका अध्ययन था जिसने गणितज्ञों के एक समूह को कलन में स्पर्शरेखा रेखाओं और उनके अनुप्रयोगों के बारे में पूछताछ करने के लिए प्रेरित किया।

त्वचा की सीमा क्या है?

इसमें 2 बिंदुओं का एक दृष्टिकोण शामिल है, जो पिछली स्थितियों में मानों के जोड़े में चौराहे के साथ फ़ंक्शन के लिए एक धर्मनिरपेक्ष रेखा बनाता है।

चर को "a" मान पर ले जाकर, बिंदुओं की जोड़ी को पूरा करने के लिए मजबूर किया जाता है। इस तरह, पहले की सेकेंट लाइन बिंदु (a; f (a)) से स्पर्श हो जाती है।

भागफल (x - a) का मान, जब बिंदु "a" पर मूल्यांकन किया जाता है, तो शून्य (K / 0) के बीच K प्रकार की सीमाओं की एक अनिश्चितता उत्पन्न करता है। जहां विभिन्न फैक्टरिंग तकनीकों के माध्यम से इन अनिश्चितताओं को तोड़ा जा सकता है।

सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली ऑपरेटिंग तकनीक हैं:

वर्गों का -Difference (एक ² - बी ²) = (ए + बी) (ए - बी); तत्व का अस्तित्व (ए - बी) का अर्थ है अधिकांश मामलों में कारक जो कि एफर्मेट सीमा के भाग में अभिव्यक्ति (एक्स - ए) को सरल करता है।

- वर्गों का समापन (कुल्हाड़ी ² + बीएक्स); वर्गों को पूरा करने के बाद, एक न्यूटन द्विपद प्राप्त किया जाता है, जहां इसके 2 कारकों में से एक को अभिव्यक्ति (एक्स - ए) के साथ सरल किया जाता है, जो अनिश्चितता को तोड़ता है।

- संयुग्म (a + b) / (a ​​+ b); कुछ कारक के संयुग्म द्वारा अभिव्यक्ति को गुणा करना और विभाजित करना अनिश्चितता को तोड़ने में बहुत मदद कर सकता है।

- सामान्य अवयव; कई मामलों में Fermat सीमा (x) - f (a) के अंश के संचालन का परिणाम कारक को छिपाता है (x - a) कारक के लिए आवश्यक है। इसके लिए, यह ध्यान से देखा गया है कि अभिव्यक्ति के प्रत्येक कारक में कौन से तत्व दोहराए जाते हैं।

अधिकतम और न्यूनतम के लिए त्वचा की सीमा का अनुप्रयोग

भले ही Fermat सीमा अधिकतम और न्यूनतम के बीच अंतर नहीं करती है, क्योंकि यह केवल इसकी परिभाषा के अनुसार महत्वपूर्ण बिंदुओं की पहचान कर सकती है, आमतौर पर इसका उपयोग विमान में कैप या फ़र्श की गणना में किया जाता है।

इस प्रमेय के संयोजन में कार्यों के चित्रमय सिद्धांत का एक बुनियादी ज्ञान कार्यों के बीच अधिकतम और न्यूनतम मान स्थापित करने के लिए पर्याप्त हो सकता है। वास्तव में फ़्लेमेन्स प्रमेय के अतिरिक्त माध्य मान प्रमेय के माध्यम से विभक्ति बिंदुओं को परिभाषित किया जा सकता है।

घन दृष्टान्त

फेरम के लिए सबसे महत्वपूर्ण विरोधाभास घन पैराबोला का अध्ययन करने से आया था। क्योंकि उनका ध्यान किसी दिए गए बिंदु के लिए किसी फ़ंक्शन की स्पर्शरेखा रेखाओं पर निर्देशित था, इसलिए उन्होंने फ़ंक्शन में विभक्ति के बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखा को परिभाषित करने की समस्या में भाग लिया।

एक बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखा को निर्धारित करना असंभव लग रहा था। इस प्रकार पूछताछ शुरू होती है जो अंतर पथरी को जन्म देती है। गणित के महत्वपूर्ण प्रतिपादकों द्वारा बाद में परिभाषित किया गया।

मैक्सिमस और न्यूनतम

एक फ़ंक्शन के मैक्सिमम और मिनिमम का अध्ययन शास्त्रीय गणित के लिए एक चुनौती था, जहां उन्हें परिभाषित करने के लिए एक अस्पष्ट और व्यावहारिक विधि की आवश्यकता थी।

फ़र्मेट ने छोटे अंतर मूल्यों के संचालन के आधार पर एक विधि बनाई, जो कि फैक्टरिंग प्रक्रियाओं के बाद, समाप्त हो गए हैं, जिससे अधिकतम और न्यूनतम मूल्य की तलाश की जा रही है।

इस चर का मूल भाव में मूल्यांकन करने के लिए उक्त बिंदु के समन्वय का निर्धारण करना होगा, जिसे विश्लेषणात्मक मानदंड के साथ अभिव्यक्ति के अधिकतम या न्यूनतम के रूप में परिभाषित किया जाएगा।

तरीका

अपनी विधि में, फिएट विट्टा के शाब्दिक प्रतीकवाद का उपयोग करता है, जिसमें अज्ञात अक्षरों का उपयोग होता है: अज्ञात के लिए स्वर, और ज्ञात मात्रा के लिए व्यंजन।

कट्टरपंथी मूल्यों के मामले के लिए, फर्मेट ने एक विशेष प्रक्रिया को लागू किया, जिसे बाद में अनन्तता के बीच अनिश्चितता की सीमा के कारकों में उपयोग किया जाएगा।

इस प्रक्रिया में प्रयुक्त अभिव्यक्ति के मूल्य द्वारा प्रत्येक अभिव्यक्ति को विभाजित करना शामिल है। फ़र्मेट के मामले में, उन्होंने ई अक्षर का उपयोग किया, जहां ई की उच्चतम शक्ति से विभाजित होने के बाद, महत्वपूर्ण बिंदु का मांग मूल्य स्पष्ट हो जाता है।

इतिहास

वास्तव में फेटम की सीमा गणितज्ञों की लंबी सूची में सबसे कम प्रसिद्ध योगदानों में से एक है। उनकी पढ़ाई मूल संख्या से मूल रूप से गणना के लिए आधार बनाने के लिए चली गई।

बदले में, फ़र्मेट को अपनी परिकल्पना के संबंध में सनकी के लिए जाना जाता था। उस समय के अन्य गणितज्ञों के लिए एक तरह की चुनौती छोड़ना उनके लिए आम बात थी, जब उनके पास पहले से ही समाधान या सबूत था।

उनके पास उस समय के विभिन्न गणितज्ञों के साथ विभिन्न प्रकार के विवाद और गठबंधन थे, जो या तो उनके साथ काम करना पसंद करते थे या उनसे नफरत करते थे।

उनकी अंतिम प्रमेय दुनिया भर में प्रसिद्धि के लिए मुख्य जिम्मेदार थी, जहां उन्होंने कहा कि किसी भी डिग्री "एन" के लिए पाइथागोरस प्रमेय का एक सामान्यीकरण असंभव था। उसने इसका एक वैध प्रमाण होने का दावा किया, लेकिन इसे सार्वजनिक करने से पहले ही उसकी मृत्यु हो गई।

इस प्रदर्शन को लगभग 350 वर्षों तक इंतजार करना पड़ा। 1995 में गणितज्ञ एंड्रयू विल्स और रिचर्ड टेलर ने फर्मेट द्वारा छोड़ी गई चिंता का अंत किया, जिससे साबित हुआ कि वह अपने अंतिम प्रमेय के वैध प्रमाण के माध्यम से सही था।

अभ्यास

अभ्यास 1

बिंदु (4), 4 पर वक्र f (x) = x ² पर स्पर्शरेखा रेखा की ढलान को परिभाषित करें

हमारे पास मौजूद फर्मेट सीमा की अभिव्यक्ति में स्थानापन्न:

कारक (x - 4) सरल हैं

जब आपके पास मूल्यांकन है

एम = 4 + 4 = 8

व्यायाम २

Fermat सीमा का उपयोग करके अभिव्यक्ति f (x) = x ² + 4x के महत्वपूर्ण बिंदु को परिभाषित करें

तत्वों का एक रणनीतिक समूहन किया जाता है, जो जोड़े XX ₀ को समूहीकृत करना चाहते हैं

सबसे कम वर्ग विकसित होते हैं

सामान्य कारक XX _{0 को देखें और निकालें}

अभिव्यक्ति अब सरल हो सकती है और अनिश्चितता टूट सकती है

न्यूनतम बिंदुओं पर यह ज्ञात है कि स्पर्शरेखा की ढलान शून्य के बराबर है। इस तरह हम शून्य _{0 पर} पाए जाने वाले एक्सप्रेशन की बराबरी कर सकते हैं और मान _{0 0 के} लिए हल कर सकते हैं

2 एक्स ₀ + 4 = 0

एक्स ₀ = -4/2 = -2

लापता समन्वय प्राप्त करने के लिए मूल फ़ंक्शन में बिंदु का मूल्यांकन करना केवल आवश्यक है

एफ (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

महत्वपूर्ण बिंदु P (-2, -4) है।

संदर्भ

1. वास्तविक विश्लेषण। ए हिस्टोरिकल एप्रोच सौहल स्टाल, जॉन विले एंड संस, 5 अगस्त। 1999।
2. गणित का पियरे डी फर्मेट, 1601-1665: दूसरा संस्करण। माइकल सीन महोनी। प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, 5 जून। 2018
3. फ़र्मेट से मिंकोव्स्की: लेक्चर्स ऑन द थ्योरी ऑफ़ नंबर्स एंड इट्स हिस्टोरिकल डेवलपमेंट। डब्ल्यू। शार्लॉ, एच। ओपोलका, स्प्रिंगर साइंस एंड बिजनेस मीडिया, 1985
4. फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय: बीजगणितीय संख्या सिद्धांत का एक आनुवंशिक परिचय। हैरोल्ड एम। एडवर्ड्स। स्प्रिंगर साइंस एंड बिजनेस मीडिया, 14 जनवरी 2000
5. फरमेंट डेज़ 85: ऑप्टिमाइज़ेशन के लिए गणित। J.-B. हिरार्ट-उर्रुत अलसेवियर, 1 जनवरी। 1986