- प्रस्तावक तर्क की समीक्षा
- हेत्वाभास
- प्रस्ताव
- मॉर्गन के नियम
- प्रदर्शन
- सेट
- संघ, चौराहे, और सेट के पूरक
- संघ और चौराहा
- पूरक हैं
- सेट्स के लिए मॉर्गन के नियम
- संदर्भ
मॉर्गन की एल आँखें प्रपोजल लॉजिक में इस्तेमाल किए जाने वाले इंफ़ॉर्मेशन रूल्स हैं, जो यह स्थापित करते हैं कि प्रस्ताव को अस्वीकार करने और प्रस्ताव या प्रोपोज़ल वैरिएबल के संयोजन का क्या परिणाम होता है। इन कानूनों को गणितज्ञ ऑगस्टस डी मॉर्गन द्वारा परिभाषित किया गया था।
मॉर्गन के नियम गणितीय तर्क की वैधता को प्रदर्शित करने के लिए एक बहुत ही उपयोगी उपकरण का प्रतिनिधित्व करते हैं। बाद में वे गणितज्ञ जॉर्ज बोले द्वारा सेट की अवधारणा के भीतर सामान्यीकृत किए गए थे।
बोले द्वारा बनाया गया यह सामान्यीकरण प्रारंभिक मॉर्गन के नियमों के पूरी तरह से समकक्ष है, लेकिन इसे विशेष रूप से प्रस्तावों के बजाय सेट के लिए विकसित किया गया है। इस सामान्यीकरण को मॉर्गन के नियमों के रूप में भी जाना जाता है।
प्रस्तावक तर्क की समीक्षा
मॉर्गन के कानून क्या हैं और उनका उपयोग कैसे किया जाता है, यह देखने से पहले, प्रस्तावक तर्क की कुछ बुनियादी धारणाओं को याद रखना मददगार है। (अधिक जानकारी के लिए प्रस्ताव तर्क पर लेख देखें)।
गणितीय (या प्रस्तावक) तर्क के दायरे में, एक निष्कर्ष एक निष्कर्ष है जो परिसर या परिकल्पना के एक सेट से जारी किया जाता है। यह निष्कर्ष, पूर्वोक्त परिसर के साथ, गणितीय तर्क के रूप में जाना जाता है।
इस तरह के तर्क का प्रदर्शन या विरोध होना चाहिए; गणितीय तर्क में सभी निष्कर्ष या निष्कर्ष मान्य नहीं हैं।
हेत्वाभास
कुछ परिकल्पनाओं से बना एक गलत अनुमान, जो सच माना जाता है, एक पतन के रूप में जाना जाता है। पतन की दलील है कि तर्क सही प्रतीत होते हैं, लेकिन गणितीय रूप से वे नहीं हैं।
प्रोपोजल लॉजिक ठीक उसी तरह से विकसित करने और प्रदान करने के लिए जिम्मेदार है, जिसके बिना किसी अस्पष्टता के बिना, गणितीय तर्क को मान्य या परिष्कृत किया जा सकता है; यह है, परिसर से एक वैध निष्कर्ष का अनुमान लगाना। इन विधियों को निष्कर्ष नियमों के रूप में जाना जाता है, जिनमें से मॉर्गन के कानून भाग हैं।
प्रस्ताव
प्रस्तावक तर्क के आवश्यक तत्व प्रस्ताव हैं। प्रस्ताव ऐसे बयान हैं जिनके बारे में आप कह सकते हैं कि वे मान्य हैं या नहीं, लेकिन जो एक ही समय में सही या गलत नहीं हो सकते। इस मामले में कोई अस्पष्टता नहीं होनी चाहिए।
जिस तरह संख्याओं को जोड़, घटाव, गुणा और भाग के संचालन के माध्यम से जोड़ा जा सकता है, वैसे ही प्रस्ताव को प्रसिद्ध तार्किक संयोजकों (या कनेक्टर्स) के माध्यम से संचालित किया जा सकता है: नकार (¬, "नहीं"), अव्यवस्था (वी), "या"), संयुग्मन (Ʌ, "और"), सशर्त (→, "अगर…, फिर…") और द्विसंयोजक (↔, "यदि, और केवल अगर")।
आमतौर पर अधिक काम करने के लिए, विशिष्ट प्रस्तावों पर विचार करने के बजाय, प्रस्तावक चर जो किसी भी प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करते हैं, पर विचार किया जाता है, और उन्हें आमतौर पर लोअरकेस अक्षर p, q, r, s, आदि के साथ निरूपित किया जाता है।
एक प्रोपोज़ल फॉर्मूला तार्किक संयोजकों में से कुछ के द्वारा प्रोपोज़ल वैरिएबल का संयोजन है। दूसरे शब्दों में, यह प्रस्तावनीय चर की एक रचना है। उन्हें आमतौर पर ग्रीक अक्षरों से दर्शाया जाता है।
यह कहा जाता है कि एक प्रस्ताव का सूत्र तार्किक रूप से एक और अर्थ निकालता है जब उत्तरार्द्ध प्रत्येक बार पूर्व सत्य होता है। इसके द्वारा निरूपित किया गया है:
जब दो प्रपोज़ल फ़ार्मुलों के बीच तार्किक निहितार्थ पारस्परिक होता है - अर्थात, जब पिछला निहितार्थ विपरीत अर्थों में भी मान्य होता है - फ़ार्मुलों को तार्किक रूप से समतुल्य कहा जाता है, और इसे निरूपित किया जाता है
लॉजिकल तुल्यता एक प्रकार का प्रोपोजल फॉर्मूले के बीच समानता है और आवश्यकता पड़ने पर दूसरे को प्रतिस्थापित करने की अनुमति देता है।
मॉर्गन के नियम
मॉर्गन के नियमों में दो प्रस्तावक रूपों के बीच दो तार्किक समानताएँ शामिल हैं, अर्थात्:
ये क़ानून एक अव्यवस्था या संयोजन की उपेक्षा को अलग करने की अनुमति देते हैं, जैसे कि इसमें शामिल चर की उपेक्षा।
पहले को निम्नानुसार पढ़ा जा सकता है: एक विघटन की अवहेलना नकारात्मकताओं के संयोजन के बराबर है। और दूसरा इस तरह से पढ़ता है: एक संयुग्मन की उपेक्षा नकारात्मकता का विघटन है।
दूसरे शब्दों में, दो प्रस्तावनीय चरों के विघटन से इनकार करना, दोनों चरों के निषेधों के संयोजन के बराबर है। इसी तरह, दो प्रस्तावनीय चर के संयोजन को नकारना दोनों चर की उपेक्षा के बराबर है।
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, इस तार्किक समतुल्य को प्रतिस्थापित करने से अन्य मौजूदा निष्कर्ष नियमों के साथ, महत्वपूर्ण परिणाम साबित करने में मदद मिलती है। इनके साथ आप कई प्रस्ताव सूत्रों को सरल बना सकते हैं, ताकि वे काम करने के लिए अधिक उपयोगी हों।
निम्नलिखित एक गणितीय प्रमाण का एक उदाहरण है जिसका उपयोग अनुमान नियमों का उपयोग करते हुए किया जाता है, जिसमें मॉर्गन के कानून भी शामिल हैं। विशेष रूप से, यह दिखाया गया है कि सूत्र:
यह इसके बराबर है:
उत्तरार्द्ध समझने और विकसित करने के लिए सरल है।
प्रदर्शन
यह उल्लेखनीय है कि मॉर्गन के कानूनों की वैधता का गणितीय रूप से प्रदर्शन किया जा सकता है। एक तरीका आपकी सत्य सारणी की तुलना करके है।
सेट
अनुमानों के समान नियमों और प्रस्तावों पर लागू तर्क की धारणाओं को भी सेट मानकर विकसित किया जा सकता है। यह वही है जो गणितज्ञ जॉर्ज बोले के बाद बुलियन बीजगणित के रूप में जाना जाता है।
मामलों को अलग करने के लिए, सेट करने के लिए संकेतन और हस्तांतरण को बदलना आवश्यक है, जो पहले से ही प्रस्तावित तर्क की सभी देखी गई धारणाएं हैं।
एक सेट वस्तुओं का एक संग्रह है। सेट को अपरकेस अक्षर A, B, C, X,… और एक सेट के तत्वों को निचले अक्षरों a, b, c, x, आदि के साथ निरूपित किया जाता है। जब कोई तत्व एक सेट X से संबंधित होता है, तो इसे निम्न द्वारा दर्शाया जाता है:
जब यह X से संबंधित नहीं है, तो संकेतन है:
सेट का प्रतिनिधित्व करने का तरीका उनके तत्वों को ब्रेसिज़ के अंदर रखकर है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के समूह को निम्न द्वारा दर्शाया गया है:
सेट को उनके तत्वों की एक स्पष्ट सूची लिखे बिना भी दर्शाया जा सकता है। उन्हें फॉर्म {:} में व्यक्त किया जा सकता है। बृहदान्त्र को "ऐसा" पढ़ा जाता है। दो बिंदुओं के बाईं ओर एक चर रखा जाता है जो सेट के तत्वों का प्रतिनिधित्व करता है, और दाईं ओर उस संपत्ति या स्थिति को रखा जाता है जो आपको संतुष्ट करती है। ये है:
उदाहरण के लिए, -4 से अधिक पूर्ण संख्याओं के सेट को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
या समकक्ष, और अधिक संक्षिप्त रूप में:
इसी तरह, निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ क्रमशः विषम और सम संख्याओं के समुच्चयों का प्रतिनिधित्व करती हैं:
संघ, चौराहे, और सेट के पूरक
आगे हम सेटों के मामले में तार्किक संयोजकों के एनालॉग्स देखेंगे, जो सेटों के बीच बुनियादी संचालन का हिस्सा हैं।
संघ और चौराहा
संघ और सेट का अंतर क्रमशः इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
उदाहरण के लिए, सेट पर विचार करें:
तो, आपको निम्न करना होगा:
पूरक हैं
एक सेट का पूरक उन तत्वों से बनता है जो उक्त सेट से संबंधित नहीं हैं (उसी प्रकार का जो मूल का प्रतिनिधित्व करता है)। एक सेट ए के पूरक, द्वारा निरूपित किया जाता है:
उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के भीतर, सम संख्याओं के समुच्चय का पूरक विषम संख्याओं का होता है, और इसके विपरीत।
एक सेट के पूरक का निर्धारण करने के लिए, विचाराधीन तत्वों का सार्वभौमिक या प्रमुख सेट शुरुआत से स्पष्ट होना चाहिए। उदाहरण के लिए, यह तर्कसंगत संख्याओं की तुलना में प्राकृतिक संख्याओं के एक सेट के पूरक पर विचार करने के लिए समान नहीं है।
निम्न तालिका उन संबंधों या सादृश्य को दर्शाती है जो पहले से परिभाषित सेटों पर परिचालन के बीच मौजूद हैं, और प्रस्तावक तर्क के संयोजक:
सेट्स के लिए मॉर्गन के नियम
अंत में, सेट पर मॉर्गन के नियम हैं:
शब्दों में: एक संघ का पूरक बस्तियों का चौराहा है, और एक चौराहे का पूरक पूरक संघ है।
पहली समानता का गणितीय प्रमाण निम्नलिखित होगा:
दूसरे का प्रमाण सादृश्य है।
संदर्भ
- अल्मागुएर, जी। (2002)। गणित 1. संपादकीय लिमूसा।
- आयल्विन, सीयू (2011)। लॉजिक, सेट्स और नंबर। मेरेडा - वेनेजुएला: प्रकाशन परिषद, यूनिवर्सिडैड डे लॉस एंडीज।
- बैरेंटेस, एच।, डिआज़, पी।, मुरिलो, एम।, और सोटो, ए। (1998)। संख्या सिद्धांत का परिचय। EUNED।
- Castañeda, एस (2016)। संख्या सिद्धांत का मूल पाठ्यक्रम। उत्तरी विश्वविद्यालय।
- कॉफ़्रे, ए।, और तापिया, एल। (1995)। गणितीय तार्किक तर्क का विकास कैसे करें। यूनिवर्सिटी पब्लिशिंग हाउस।
- ग्वेरा, एमएच (एनडी)। संख्याओं का सिद्धांत। EUNED।
- ज़रागोज़ा, एसी (एसएफ)। संख्या सिद्धांत संपादकीय विजन लिब्रोस।