वेक्टर बीजगणित: मूल सिद्धांतों, परिमाण, वैक्टर - गणित

वेक्टर बीजगणित गणित की एक शाखा है जो रेखीय समीकरण, वैक्टर, मैट्रिक्स, वेक्टर रिक्त स्थान और रैखिक परिवर्तनों के अध्ययन प्रणालियों। यह इंजीनियरिंग जैसे क्षेत्रों से संबंधित है, अंतर समीकरणों को हल करना, कार्यात्मक विश्लेषण, संचालन अनुसंधान, कंप्यूटर ग्राफिक्स, आदि।

एक और क्षेत्र जिसे रैखिक बीजगणित ने अपनाया है, वह भौतिकी है, क्योंकि इसके माध्यम से वैक्टर के उपयोग के माध्यम से उनका वर्णन करते हुए भौतिक घटनाओं के अध्ययन को विकसित करना संभव हो गया है। इससे ब्रह्मांड की बेहतर समझ संभव हुई है।

बुनियादी बातों

वेक्टर बीजगणित चतुर्धातुक्यों (वास्तविक संख्याओं के विस्तार) 1, i, j, और k, और साथ ही गिब्स और हीविसाइड द्वारा प्रवर्तित कार्टेशियन ज्यामिति के अध्ययन से उत्पन्न हुआ, जिन्होंने महसूस किया कि वैक्टर एक उपकरण के रूप में काम करेंगे। विभिन्न भौतिक घटनाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

वेक्टर बीजगणित का अध्ययन तीन मूल सिद्धांतों के माध्यम से किया जाता है:

ज्यामितीय

वैक्टर को उन रेखाओं द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें एक अभिविन्यास होता है, और संचालन जैसे कि जोड़, घटाव और गुणा वास्तविक संख्या से ज्यामितीय विधियों के माध्यम से परिभाषित होते हैं।

विश्लेषणात्मक

वैक्टर और उनके संचालन का विवरण संख्याओं के साथ किया जाता है, जिन्हें घटक कहा जाता है। इस प्रकार का विवरण एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व का परिणाम है क्योंकि एक समन्वय प्रणाली का उपयोग किया जाता है।

axiomatically

वैक्टर का एक वर्णन किया गया है, समन्वय प्रणाली या किसी भी प्रकार के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व की परवाह किए बिना।

अंतरिक्ष में आंकड़ों का अध्ययन एक संदर्भ प्रणाली में उनके प्रतिनिधित्व के माध्यम से किया जाता है, जो एक या अधिक आयामों में हो सकता है। मुख्य प्रणालियों में से हैं:

- एक आयामी प्रणाली, जो एक सीधी रेखा है जहां एक बिंदु (O) मूल का प्रतिनिधित्व करता है और दूसरा बिंदु (P) पैमाने (लंबाई) और उसकी दिशा निर्धारित करता है:

- आयताकार समन्वय प्रणाली (द्वि-आयामी), जो दो लंब रेखाओं से मिलकर बनी होती है जिसे x- अक्ष और y- अक्ष कहते हैं, जो एक बिंदु (O) मूल से होकर गुजरती है; इस तरह से विमान को चार क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है जिसे क्वाड्रंट कहा जाता है। इस स्थिति में विमान में एक बिंदु (P) उन दूरीों द्वारा दिया जाता है जो अक्ष और P के बीच मौजूद हैं।

- ध्रुवीय समन्वय प्रणाली (द्वि-आयामी)। इस स्थिति में सिस्टम एक बिंदु O (मूल) से बना होता है जिसे ध्रुव कहा जाता है और O में मूल के साथ एक किरण जिसे ध्रुवीय अक्ष कहा जाता है। इस मामले में, विमान का बिंदु P, ध्रुव और ध्रुवीय अक्ष के संदर्भ के साथ, कोण (is) द्वारा दिया जाता है, जो मूल और बिंदु P के बीच मौजूद दूरी से बनता है।

- आयताकार त्रि-आयामी प्रणाली, तीन लंब रेखाओं (x, y, z) द्वारा निर्मित होती है, जिसका उद्गम स्थान O है। तीन समन्वय विमानों का निर्माण होता है: xy, xz और yz; अंतरिक्ष को अष्टक नामक आठ क्षेत्रों में विभाजित किया जाएगा। अंतरिक्ष में एक बिंदु P का संदर्भ उन दूरियों द्वारा दिया जाता है जो विमानों और P के बीच मौजूद हैं।

परिमाण,

परिमाण एक भौतिक मात्रा है जिसे एक संख्यात्मक मान के माध्यम से गिना या मापा जा सकता है, जैसा कि कुछ भौतिक घटनाओं के मामले में; हालाँकि, कई बार संख्यात्मक के अलावा अन्य कारकों के साथ इन घटनाओं का वर्णन करने में सक्षम होना आवश्यक है। इसीलिए परिमाणों को दो प्रकारों में वर्गीकृत किया गया है:

स्केलर परिमाण

वे वे मात्राएँ हैं जो संख्यात्मक रूप से परिभाषित और प्रतिनिधित्व की जाती हैं; माप की एक इकाई के साथ एक मॉड्यूल द्वारा। उदाहरण के लिए:

ए) समय: 5 सेकंड।

बी) द्रव्यमान: 10 किलो।

c) मात्रा: 40 मिली।

डी) तापमान: 40.C।

वेक्टर परिमाण

वे वे मात्राएँ हैं जो एक इकाई के साथ-साथ एक भाव और दिशा द्वारा एक मॉड्यूल द्वारा परिभाषित और प्रस्तुत की जाती हैं। उदाहरण के लिए:

a) वेग: (5ȋ - 3ĵ) m / s।

बी) त्वरण: 13 मीटर / एस ²; एस 45 S ई।

c) बल: 280 N, 120º

डी) वजन: -40-किलो-एफ।

वेक्टर मात्रा को वैक्टर द्वारा दर्शाया जाता है।

वैक्टर क्या हैं?

वैक्टर एक वेक्टर मात्रा के चित्रमय प्रतिनिधित्व हैं; यही है, वे लाइन सेगमेंट हैं जिसमें उनका अंतिम छोर एक तीर की नोक है।

ये इसके मॉड्यूल या खंड की लंबाई से निर्धारित होते हैं, इसकी दिशा जो इसके तीर की नोक से संकेतित होती है और इसकी दिशा उस रेखा के अनुसार होती है जिससे यह संबंधित है। एक वेक्टर की उत्पत्ति को अनुप्रयोग के बिंदु के रूप में भी जाना जाता है।

एक वेक्टर के तत्व इस प्रकार हैं:

मापांक

यह एक वेक्टर के मूल से अंत तक की दूरी है, एक इकाई के साथ एक वास्तविक संख्या द्वारा दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए:

-ओम- = -ए- = ए = ६ सेमी

पता

यह कोण का माप है जो एक्स अक्ष (सकारात्मक से) और वेक्टर के बीच मौजूद है, साथ ही कार्डिनल अंक (उत्तर, दक्षिण, पूर्व और पश्चिम) का उपयोग किया जाता है।

समझ

यह वेक्टर के अंत में स्थित एरोहेड द्वारा दिया गया है, यह दर्शाता है कि यह कहां जा रहा है।

वैक्टर का वर्गीकरण

आमतौर पर, वैक्टर को इस प्रकार वर्गीकृत किया जाता है:

निश्चित वेक्टर

यह वह है जिसका आवेदन (मूल) तय हो गया है; अर्थात्, यह अंतरिक्ष में एक बिंदु से जुड़ा हुआ है, इसलिए यह इसमें स्थानांतरित नहीं हो सकता है।

मुक्त वेक्टर

यह अंतरिक्ष में स्वतंत्र रूप से घूम सकता है क्योंकि इसका मूल अपने मॉड्यूल, दिशा या दिशा को बदले बिना किसी भी बिंदु पर जाता है।

स्लाइडर वेक्टर

यह एक ऐसा है जो अपने मॉड्यूल को अपने मॉड्यूल, दिशा या दिशा को बदले बिना कार्रवाई की अपनी रेखा के साथ स्थानांतरित कर सकता है।

वैक्टर के गुण

वैक्टर के मुख्य गुणों में से निम्नलिखित हैं:

सेक्टरों की टीम

वे उन मुक्त वैक्टर हैं जिनके पास समान मॉड्यूल, दिशा (या वे समानांतर हैं) और स्लाइडिंग वेक्टर या निश्चित वेक्टर के रूप में समझ में आते हैं।

समतुल्य वैक्टर

यह तब होता है जब दो वैक्टर में एक ही दिशा (या समानांतर होती है), एक ही भावना होती है, और आवेदन के विभिन्न मॉड्यूल और बिंदु होने के बावजूद, वे एक ही प्रभाव पैदा करते हैं।

सदिश समानता

उनके पास एक ही मॉड्यूल, दिशा और भावना है, तब भी जब उनके शुरुआती बिंदु अलग होते हैं, जो एक समानांतर वेक्टर को प्रभावित किए बिना खुद को अनुवाद करने की अनुमति देता है।

विपरीत क्षेत्र

वे ऐसे हैं जिनके पास समान मॉड्यूल और दिशा है, लेकिन उनका अर्थ विपरीत है।

इकाई वेक्टर

यह एक है जिसमें मॉड्यूल यूनिट (1) के बराबर है। यह वेक्टर को उसके मॉड्यूल द्वारा विभाजित करके प्राप्त किया जाता है और इसका उपयोग बेस या सामान्यीकृत यूनिट वैक्टर का उपयोग करके, विमान या अंतरिक्ष में, वेक्टर की दिशा और भावना को निर्धारित करने के लिए किया जाता है, जो हैं:

अशक्त वेक्टर

यह वह है जिसका मापांक 0 के बराबर है; यही है, इसकी उत्पत्ति और अंत एक ही बिंदु पर मेल खाते हैं।

एक वेक्टर के घटक

एक वेक्टर के घटक संदर्भ प्रणाली के अक्षों पर वेक्टर के अनुमानों के मूल्य हैं; वेक्टर के अपघटन के आधार पर, जो दो या तीन आयामी अक्षों पर हो सकते हैं, क्रमशः दो या तीन घटक प्राप्त किए जाएंगे।

एक वेक्टर के घटक वास्तविक संख्याएं हैं, जो सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य (0) हो सकती हैं।

इस प्रकार, यदि हमारे पास एक वेक्टर a है, तो xy समतल (द्वि-आयामी) में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में उत्पत्ति के साथ, x अक्ष पर प्रक्षेपण Āx है और y अक्ष पर प्रक्षेपण Āy है। इस प्रकार, वेक्टर को इसके घटक वैक्टर के योग के रूप में व्यक्त किया जाएगा।

उदाहरण

पहला उदाहरण

हमारे पास एक वेक्टर Ā है जो मूल से शुरू होता है और इसके सिरों के निर्देशांक दिए गए हैं। इस प्रकार, वेक्टर, = (Ā _x, A _y) = (4, 5) सेमी।

यदि वेक्टर dimensional एक त्रि-आयामी त्रिकोणीय समन्वय प्रणाली (अंतरिक्ष में) x, y, z, किसी अन्य बिंदु (P) की उत्पत्ति पर कार्य करता है, तो इसके अक्षों पर अनुमान,x, Āy और Āz होंगे; इस प्रकार, वेक्टर को अपने तीन घटक वैक्टर के योग के रूप में व्यक्त किया जाएगा।

दूसरा उदाहरण

हमारे पास एक वेक्टर Ā है जो मूल से शुरू होता है और इसके सिरों के निर्देशांक दिए गए हैं। इस प्रकार, वेक्टर, = (ए _एक्स, ए _वाई, ए _जेड) = (4, 6, -3) सेमी।

वेक्टर्स जिनके आयताकार निर्देशांक हैं, उनके आधार वैक्टर के संदर्भ में व्यक्त किए जा सकते हैं। उसके लिए, प्रत्येक समन्वय को केवल अपनी संबंधित इकाई वेक्टर द्वारा गुणा किया जाना चाहिए, इस तरह से कि विमान और अंतरिक्ष के लिए वे निम्नलिखित होंगे:

विमान के लिए: Ā = A _x i + A _y j।

अंतरिक्ष के लिए: A = A _x i + A _y j + A _z k।

वेक्टर ऑपरेशन

कई मात्राएँ हैं, जिनमें एक मॉड्यूल, भाव और दिशा है, जैसे त्वरण, गति, विस्थापन, बल, अन्य।

ये विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में लागू किए जाते हैं, और उन्हें लागू करने के लिए कुछ मामलों में आवश्यक है जैसे कि जोड़, घटाव, गुणा और नसों और खोपड़ी के विभाजन।

जोड़ और घटाव वैक्टर

वैक्टर के जोड़ और घटाव को एक एकल बीजगणितीय ऑपरेशन माना जाता है क्योंकि घटाव को एक योग के रूप में लिखा जा सकता है; उदाहरण के लिए, वैक्टर be और be का घटाव इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

Ē - Ē = Ā + (-Ā)

वैक्टर के अतिरिक्त और घटाव प्रदर्शन करने के लिए अलग-अलग तरीके हैं: वे चित्रमय या विश्लेषणात्मक हो सकते हैं।

चित्रमय विधियाँ

जब एक वेक्टर में मॉड्यूल, दिशा और दिशा होती है। इसके लिए, रेखाएँ खींची जाती हैं जो एक आकृति बनाती हैं जो बाद में परिणाम निर्धारित करने में मदद करती हैं। सबसे अच्छे लोगों में निम्नलिखित हैं:

समांतर चतुर्भुज विधि

दो वैक्टरों के जोड़ या घटाव को बनाने के लिए, समन्वय अक्ष पर एक सामान्य बिंदु चुना जाता है, जो वैक्टर की उत्पत्ति के बिंदु का प्रतिनिधित्व करेगा-, इसका मॉड्यूल, दिशा और दिशा।

एक समानांतर चतुर्भुज बनाने के लिए लाइनों को वैक्टर के समानांतर खींचा जाता है। परिणामस्वरूप वेक्टर एक विकर्ण है जो दोनों वैक्टर के मूल बिंदु से समांतरभुज के शीर्ष तक जाता है:

त्रिभुज विधि

इस पद्धति में वैक्टर को उनके मॉड्यूल, दिशाओं और दिशाओं को ध्यान में रखते हुए एक के बाद एक रखा जाता है। परिणामी वेक्टर पहली वेक्टर की उत्पत्ति के साथ दूसरी वेक्टर के अंत में होगा:

विश्लेषणात्मक तरीकों

ज्यामितीय या वेक्टर विधि के माध्यम से दो या अधिक वैक्टर जोड़े या घटाए जा सकते हैं:

ज्यामितीय विधि

जब दो वैक्टर एक त्रिकोण या समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, तो m).push ({});

- स्केलर वितरण गुण: यदि एक वेक्टर को दो स्केलरों के योग से गुणा किया जाता है, तो यह प्रत्येक स्केलर के लिए वेक्टर के गुणन के बराबर होता है।

वैक्टर का गुणन

वैक्टर का गुणन या उत्पाद इसके अतिरिक्त या घटाव के रूप में किया जा सकता है, लेकिन इसे इस तरह से करने से भौतिक अर्थ खो जाता है और यह लगभग कभी भी अनुप्रयोगों में नहीं पाया जाता है। इस कारण से, सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले प्रकार के उत्पाद स्केलर और वेक्टर उत्पाद हैं।

अदिश उत्पाद

इसे दो वैक्टर के डॉट उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है। जब दो वैक्टर के मॉड्यूल को उनके बीच बने सबसे छोटे कोण के कोसाइन से गुणा किया जाता है, तो एक स्केलर प्राप्त किया जाता है। दो वैक्टर के बीच एक स्केलर उत्पाद को व्यक्त करने के लिए, उनके बीच एक बिंदु रखा जाता है, और इसे इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

दो वैक्टर के बीच मौजूद कोण का मूल्य इस बात पर निर्भर करेगा कि वे समानांतर हैं या लंबवत; इस प्रकार, आपको निम्न करना होगा:

- यदि वैक्टर समानांतर हैं और समान भाव रखते हैं, तो cosine 0 1 = 1।

- यदि वैक्टर समानांतर हैं और विपरीत दिशाएँ हैं, तो cosine 180 -1 = -1।

- यदि वैक्टर लंबवत हैं, तो cosine 90 0 = 0।

उस कोण की गणना यह जानकर भी की जा सकती है कि:

डॉट उत्पाद में निम्नलिखित गुण हैं:

- कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी: वैक्टर का क्रम स्केलर में परिवर्तन नहीं करता है।

-डिस्टिविव प्रॉपर्टी: यदि एक स्केलर को दो वैक्टर के योग से गुणा किया जाता है, तो यह प्रत्येक वेक्टर के लिए स्केलर के गुणन के बराबर होता है।

वेक्टर उत्पाद

वेक्टर गुणन, या दो वैक्टर A और B का क्रॉस उत्पाद, एक नए वेक्टर C का परिणाम देगा और वैक्टर के बीच एक क्रॉस का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है:

नए वेक्टर की अपनी विशेषताएं होंगी। उस तरफ:

- दिशा: यह नया वेक्टर विमान के लंबवत होगा, जो मूल वैक्टर द्वारा निर्धारित किया जाता है।

- दिशा: यह दाहिने हाथ के नियम से निर्धारित की जाती है, जहां वेक्टर ए को बी की ओर घुमाया जाता है, उंगलियों के साथ रोटेशन की दिशा का संकेत मिलता है, और वेक्टर की दिशा अंगूठे के साथ चिह्नित होती है।

- मॉड्यूल: यह वैक्टर एक्सबी के मॉड्यूल के गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है, इन वैक्टरों के बीच मौजूद सबसे छोटे कोण की साइन द्वारा। यह व्यक्त किया गया है:

दो वैक्टरों के बीच मौजूद कोण का मान इस बात पर निर्भर करेगा कि वे समानांतर हैं या लंबवत। तो, निम्नलिखित बताना संभव है:

- यदि वैक्टर समानांतर हैं और समान भाव रखते हैं, तो साइन 0 0 = 0 है।

- यदि वैक्टर समानांतर हैं और विपरीत दिशाएं हैं, तो साइन 180 0 = 0।

- यदि वैक्टर लंबवत हैं, तो साइन 90 1 = 1 है।

जब एक वेक्टर उत्पाद अपने बेस वैक्टर के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, तो हमारे पास है: