यंग मॉड्यूल: कलन, अनुप्रयोग, उदाहरण, अभ्यास - शारीरिक - 2025

यंग मापांक या लोचदार मापांक तन्य या संबंधित वृद्धि या लंबाई में कमी इन बलों के तहत वस्तु होने के साथ संपीड़न संबंधित निरंतर है।

वस्तुओं पर लागू बाहरी बल न केवल उनकी गति की स्थिति को बदल सकते हैं, बल्कि उनके आकार को बदलने या उन्हें तोड़ने या भंग करने में भी सक्षम हैं।

चित्रा 1. बिल्ली की चाल लोच और अनुग्रह से भरी हुई है। स्रोत: पिक्साबे

युवा के मापांक का उपयोग किसी सामग्री में उत्पन्न परिवर्तनों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है जब एक तन्य या संपीड़ित बल बाहरी रूप से लगाया जाता है। यह इंजीनियरिंग या आर्किटेक्चर जैसे विषयों में बहुत उपयोगी है।

मॉडल का नाम ब्रिटिश वैज्ञानिक थॉमस यंग (1773-1829) के नाम पर रखा गया है, जो विभिन्न सामग्रियों की कठोरता के माप का प्रस्ताव रखने वाली सामग्रियों का अध्ययन किया था।

यंग का मॉडल क्या है?

यंग का मॉडल कठोरता का एक उपाय है। कम कठोरता (लाल) वाली सामग्रियों में विस्तार या संपीड़न भार के तहत अधिक विकृति होती है। तिगराँ / सीसी BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

किसी वस्तु को कितना विकृत किया जा सकता है? यह कुछ ऐसा है जो इंजीनियर अक्सर जानना चाहते हैं। उत्तर सामग्री के गुणों और उसके आयामों पर निर्भर करेगा।

उदाहरण के लिए, आप एल्यूमीनियम से बने दो सलाखों की विभिन्न आयामों से तुलना कर सकते हैं। प्रत्येक में एक अलग क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र और लंबाई है, और दोनों एक ही तन्यता बल के अधीन हैं।

अपेक्षित व्यवहार निम्नलिखित होगा:

- बार की मोटाई (क्रॉस सेक्शन) जितनी अधिक होगी, उतना ही कम खिंचाव।

- जितनी लंबी लंबाई होगी, अंतिम खिंचाव उतना ही अधिक होगा।

यह समझ में आता है, क्योंकि आखिरकार, अनुभव से पता चलता है कि एक रबर बैंड को ख़राब करने की कोशिश करना एक स्टील की छड़ी के साथ करने की कोशिश के समान नहीं है।

सामग्री के लोच के मापांक नामक एक पैरामीटर इसकी लोचदार प्रतिक्रिया का एक संकेत है।

इसकी गणना कैसे की जाती है?

एक डॉक्टर होने के नाते, यंग रक्त परिसंचरण के अच्छे प्रदर्शन में धमनियों की लोच की भूमिका जानना चाहता था। अपने अनुभवों से उन्होंने निम्नलिखित आनुभविक संबंध का निष्कर्ष निकाला:

यह तनाव के आवेदन के तहत एक सामग्री के व्यवहार का रेखांकन संभव है, जैसा कि निम्नलिखित आंकड़े में दिखाया गया है।

चित्रा 2. सामग्री के लिए तनाव बनाम तनाव का ग्राफ। स्रोत: स्व बनाया

उत्पत्ति से बिंदु ए तक

पहले खंड में, जो मूल से बिंदु A तक जाता है, ग्राफ एक सीधी रेखा है। हुक का नियम वहां मान्य है:

एफ = केएक्स

जहां F उस बल का परिमाण है जो सामग्री को उसकी मूल स्थिति में लौटाता है, x इसके द्वारा अनुभव की गई विकृति है और k एक स्थिरांक है जो तनाव के अधीन वस्तु पर निर्भर करता है।

यहां माना जाने वाला विकृति छोटा है और व्यवहार पूरी तरह से लोचदार है।

अ से ब तक

ए से बी तक सामग्री भी शाश्वत रूप से व्यवहार करती है, लेकिन तनाव और तनाव के बीच संबंध अब रैखिक नहीं है।

B से C तक

अंक बी और सी के बीच, सामग्री स्थायी विरूपण से गुजरती है, अपने मूल राज्य में वापस जाने में असमर्थ।

C से

यदि सामग्री बिंदु C से आगे बढ़ना जारी रखती है, तो यह अंततः टूट जाती है।

गणितीय रूप से, यंग की टिप्पणियों को इस प्रकार संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

तनाव ress तनाव

जहां आनुपातिकता की निरंतरता सामग्री की लोच के मापांक से होती है:

तनाव = लोच एक्स विरूपण का मापांक

सामग्री को ख़राब करने के कई तरीके हैं। किसी वस्तु के अधीन होने वाले तीन सबसे सामान्य प्रकार के तनाव हैं:

- तनाव या खिंचाव।

- संपीड़न।

- कट या कतरनी।

एक तनाव जो सामग्री आमतौर पर सिविल निर्माण या मोटर वाहन भागों में उदाहरण के लिए दिया जाता है, कर्षण है।

सूत्र

जब L की किसी वस्तु को फैला या तनाव दिया जाता है, तो उसे एक कर्षण के अधीन किया जाता है जो उसकी लंबाई में भिन्नता का कारण बनता है। इस स्थिति का एक चित्र आकृति 3 में दर्शाया गया है।

इसके लिए आवश्यक है कि परिमाण F के बल को प्रति इकाई क्षेत्र में इसके सिरों पर लगाया जाए, जिससे स्ट्रेचिंग हो सके, इस तरह से कि इसकी नई लंबाई L + DL हो जाए।

वस्तु को विकृत करने के लिए किया गया प्रयास प्रति इकाई क्षेत्र में सिर्फ यह बल होगा, जबकि अनुभव किया गया तनाव /L / L है।

चित्रा 3. कर्षण या खिंचाव के अधीन एक वस्तु, बढ़ाव का अनुभव करती है। स्रोत: स्व बनाया

यंग के मापांक को Y के रूप में और ऊपर के अनुसार दर्शाते हुए:

उत्तर इस तथ्य में निहित है कि तनाव मूल लंबाई के संबंध में सापेक्ष तनाव को इंगित करता है। यह एक 1 मीटर बार के समान नहीं है या 1 सेमी तक सिकुड़ता है, क्योंकि 100 मीटर लंबा एक संरचना 1 सेमी के बराबर है।

भागों और संरचनाओं के समुचित कार्य के लिए, स्वीकार्य सापेक्ष विकृति के बारे में सहिष्णुता है।

विरूपण की गणना करने के लिए समीकरण

यदि उपरोक्त समीकरण का विश्लेषण इस प्रकार है:

- क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र जितना अधिक होगा, कम विरूपण होगा।

- लंबाई जितनी अधिक होगी, विकृति उतनी ही अधिक होगी।

- यंग मापांक जितना ऊंचा होगा, विरूपण उतना ही कम होगा।

तनाव की इकाइयां न्यूटन / वर्ग मीटर (एन / एम ²) के अनुरूप हैं । वे दबाव की इकाइयां भी हैं, जो इंटरनेशनल सिस्टम में पास्कल के नाम पर हैं। दूसरी ओर तनाव isL / L, आयाम रहित है क्योंकि यह दो लंबाई के बीच का भागफल है।

अंग्रेजी प्रणाली की इकाइयाँ lb / ^{2 में हैं} और बहुत बार उपयोग की जाती हैं। एक से दूसरे में जाने का रूपांतरण कारक है: 14.7 lb / in ² = 1.01325 x 10 ⁵ Pa

इससे यंग के मापांक में भी दबाव की इकाइयाँ होती हैं। अंत में, उपरोक्त समीकरण को Y के हल के लिए व्यक्त किया जा सकता है:

सामग्री विज्ञान में, विभिन्न प्रयासों के लिए इनकी लोचदार प्रतिक्रिया प्रत्येक अनुप्रयोग के लिए सबसे उपयुक्त का चयन करने के लिए महत्वपूर्ण है, चाहे वह हवाई जहाज के पंख का निर्माण हो या मोटर वाहन का असर। उपयोग की जाने वाली सामग्री की विशेषताएं इसके अपेक्षित प्रतिक्रिया में निर्णायक हैं।

सबसे अच्छी सामग्री चुनने के लिए, उन तनावों को जानना आवश्यक है जिनके लिए एक निश्चित टुकड़ा अधीन होने जा रहा है; और फलस्वरूप उस सामग्री का चयन करें जिसमें डिजाइन के अनुरूप गुण हैं।

उदाहरण के लिए, एक हवाई जहाज का पंख मजबूत, हल्का और फ्लेक्स करने में सक्षम होना चाहिए। इमारतों के निर्माण में प्रयुक्त सामग्री को काफी हद तक भूकंपीय आंदोलनों का विरोध करना चाहिए, लेकिन उनके पास कुछ लचीलापन भी होना चाहिए।

इंजीनियर जो हवाई जहाज के पंखों को डिजाइन करते हैं, और जो लोग निर्माण सामग्री चुनते हैं, उन्हें तनाव-तनाव ग्राफ का उपयोग करना चाहिए जैसे कि चित्र 2 में दिखाया गया है।

किसी सामग्री के सबसे प्रासंगिक लोचदार गुणों को निर्धारित करने के लिए माप विशेष प्रयोगशालाओं में किए जा सकते हैं। इस प्रकार, ऐसे मानकीकृत परीक्षण होते हैं जिनसे नमूने लिए जाते हैं, जिनसे विभिन्न तनावों को लागू किया जाता है, और परिणामस्वरूप विरूपताओं को मापा जाता है।

उदाहरण

जैसा कि पहले ही ऊपर उल्लेख किया गया है, वाई वस्तु के आकार या आकार पर नहीं, बल्कि सामग्री की विशेषताओं पर निर्भर करता है।

एक और बहुत महत्वपूर्ण नोट: लागू होने के लिए ऊपर दिए गए समीकरण के लिए, सामग्री को आइसोट्रोपिक होना चाहिए, अर्थात इसके गुणों को पूरे अपरिवर्तित रहना चाहिए।

सभी सामग्री आइसोट्रोपिक नहीं हैं: ऐसे हैं जिनकी लोचदार प्रतिक्रिया कुछ निश्चित दिशात्मक मापदंडों पर निर्भर करती है।

पिछले खंडों में विश्लेषण की गई विकृति केवल उन कई में से एक है, जिनके लिए एक सामग्री का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संपीड़ित तनाव के संदर्भ में, यह तन्यता तनाव के विपरीत है।

दिए गए समीकरण दोनों मामलों पर लागू होते हैं, और वाई के मूल्य लगभग हमेशा समान (आइसोट्रोपिक सामग्री) होते हैं।

एक उल्लेखनीय अपवाद ठोस या सीमेंट है, जो कर्षण से बेहतर संपीड़न का विरोध करता है। इसलिए स्ट्रेचिंग के प्रतिरोध की आवश्यकता होने पर इसे प्रबलित किया जाना चाहिए। स्टील इसके लिए संकेतित सामग्री है, क्योंकि यह स्ट्रेचिंग या कर्षण को बहुत अच्छी तरह से तैयार करता है।

तनाव के अधीन संरचनाओं के उदाहरणों में कई प्राचीन और आधुनिक सभ्यताओं में इमारत स्तंभ और मेहराब, क्लासिक भवन तत्व शामिल हैं।

चित्र 4. दक्षिणी फ्रांस में 3 ईसा पूर्व से एक रोमन निर्माण, पोंट जूलियन।

हल किया अभ्यास

अभ्यास 1

एक संगीत वाद्ययंत्र में 2.0 मीटर लंबी स्टील की तार में 0.03 मिमी की त्रिज्या होती है। जब केबल 90 एन के तनाव में है: इसकी लंबाई कितनी बदलती है? डेटा: स्टील का यंग मापांक 200 x 10 ⁹ N / m ^{2 है}

उपाय

क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र ए = =R ² = the की गणना करना आवश्यक है । (0.03 x 10 ^-3 m) ² = 2.83 x 10 ^-9 मीटर ²

तनाव प्रति इकाई क्षेत्र में तनाव है:

चूंकि स्ट्रिंग तनाव में है, इसका मतलब है कि यह लंबा हो जाता है।

नई लंबाई एल = एल _ओ + डीएल है, जहां एल _ओ प्रारंभिक लंबाई है:

एल = 2.32 मीटर

व्यायाम २

एक संगमरमर का स्तंभ, जिसका पार-अनुभागीय क्षेत्र 2.0 मीटर ^{2 है,} 25,000 किलोग्राम के द्रव्यमान का समर्थन करता है। खोजें:

ए) रीढ़ में प्रयास।

b) तनाव।

c) यदि स्तंभ की ऊंचाई 12 मीटर है तो कितना छोटा है?

उपाय

क) 25000 किलो वजन के कारण स्तंभ में प्रयास है:

पी = मिलीग्राम = 25000 किग्रा x 9.8 एम / एस ² = 245,000 एन

इसलिए प्रयास है:

बी) तनाव ΔL / L है:

ग) ΔL लंबाई की भिन्नता है, इसके द्वारा दिए गए:

ΔL = 2.45 x 10 ^-6 x 12 m = 2.94 x10 ^-5 m = 0.0294 मिमी।

संगमरमर के स्तंभ के काफी सिकुड़ने की उम्मीद नहीं है। ध्यान दें कि हालांकि यंग का मापांक स्टील की तुलना में संगमरमर में कम है, और यह कि स्तंभ बहुत अधिक बल का समर्थन करता है, इसकी लंबाई लगभग भिन्न नहीं होती है।

दूसरी ओर, पिछले उदाहरण की रस्सी में भिन्नता अधिक प्रशंसनीय है, हालांकि स्टील में यंग का मापांक अधिक है।

इसका बड़ा पार-अनुभागीय क्षेत्र स्तंभ में हस्तक्षेप करता है, और इसलिए यह बहुत कम विकृत है।

थॉमस यंग के बारे में

1822 थॉमस यंग का चित्र। थॉमस लॉरेंस / सार्वजनिक डोमेन

लोच का मापांक थॉमस यंग (1773-1829) के नाम पर रखा गया है, जो एक बहुमुखी ब्रिटिश वैज्ञानिक थे, जिन्होंने कई क्षेत्रों में विज्ञान में महान योगदान दिया।

एक भौतिक विज्ञानी के रूप में, यंग ने न केवल प्रकाश की लहर प्रकृति का अध्ययन किया, प्रसिद्ध डबल-स्लिट प्रयोग से पता चला, बल्कि वह एक चिकित्सक, भाषाविद भी थे, और यहां तक ​​कि प्रसिद्ध रोसेर स्टोन पर मिस्र के कुछ चित्रलिपि को समझने में भी मदद की।

वह रॉयल सोसायटी, रॉयल स्वीडिश एकेडमी ऑफ साइंसेज, अमेरिकन एकेडमी ऑफ आर्ट्स एंड साइंसेज या फ्रेंच अकादमी ऑफ साइंसेज, अन्य महान वैज्ञानिक संस्थानों में से एक सदस्य थे।

हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि मॉडल की अवधारणा पहले लियोनार यूलर (1707-1873) द्वारा विकसित की गई थी, और यह कि Giordano Riccati (1709-1790) जैसे वैज्ञानिकों ने पहले ही एक प्रयोग किया था जिसने यंग के मॉडल को व्यवहार में लाया होगा। ।

संदर्भ

1. बाउर, डब्ल्यू। 2011. भौतिकी और इंजीनियरिंग के लिए विज्ञान। वॉल्यूम 1. मैक ग्रे हिल। 422-527।
2. जियानकोली, डी। 2006. भौतिकी: आवेदन के साथ सिद्धांत। छठा संस्करण। शागिर्द कक्ष। 238-249।