विकसित संकेतन: यह क्या है, उदाहरण और अभ्यास - गणित - 2025

विकसित अंकन होता है जिसमें एक संख्यात्मक आंकड़े राशि है, जिसमें कि निर्माण करता है प्रत्येक अंक के स्थान पर मूल्य संख्या को ध्यान में रखा जाता है के रूप में व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण के लिए, जब आप 2345 जैसी आकृति लिखते हैं, तो उसमें प्रत्येक अंक में एक पदानुक्रम होता है। चरम दाएं अंक से बाईं ओर पढ़ना, पदानुक्रम या मान बढ़ता है।

चित्रा 1. नौ अंगूरों के साथ किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करना संभव है।

आंकड़ा 2345 में, अंक 5 पांच इकाइयों का प्रतिनिधित्व करता है, अंक 4 चार दहाई का प्रतिनिधित्व करता है, 3 बाएं से दाएं तीसरे स्थान से मेल खाता है और इसलिए 3 तीन सैकड़ों का प्रतिनिधित्व करता है, अंत में 2 दो हजारों का प्रतिनिधित्व करता है। दूसरे शब्दों में, विकसित या विस्तारित संकेतन में, आंकड़ा 2345 इस तरह से लिखा गया है:

2345 = 2 हजारों + 3 सैकड़ों + 4 दहाई + 5 वाले

लेकिन इसे निम्न तरीके से भी व्यक्त किया जा सकता है:

2345 = 2 x 1000 + 3 x 100 + 4 x 10 + 5 x 1।

इसके अलावा आंकड़ा 2345 को 10 की शक्तियों के योग के रूप में लिखा जा सकता है:

2345 = 2 x 10 ^ 3 + 3 x 10 ^ 2 + 4 x 10 ^ 1 + 5 x 10 ^ 0

जहां circumflex ^ का अर्थ है संकेतित घातांक तक बढ़ाना। उदाहरण के लिए, 10 ^ 3 = 10 x 10 x 10 = 1000। एक सुपरस्क्रिप्ट का उपयोग करके घातांक लिखने का एक और तरीका है:

2345 = 2 x 10 ³ + 3 x 10 ² + 4 x 10 ¹ + 5 x 10 ⁰

स्थिति निर्धारण प्रणाली

अरबी अंक प्रणाली दुनिया के अधिकांश महाद्वीपों और देशों में दैनिक संख्या का उपयोग किया जाता है। अरबी अंक एक आधार 10 प्रणाली है क्योंकि किसी भी संख्या को लिखने के लिए दस प्रतीकों या अंगूर का उपयोग किया जाता है। ये दस प्रतीक हैं:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

इनमें से सिर्फ एक प्रतीक के साथ, शून्य से नौ के बीच के आंकड़े व्यक्त किए जा सकते हैं। नौ से अधिक के आंकड़े व्यक्त करने के लिए, बेस दस में स्थितीय प्रणाली का उपयोग किया जाता है। संख्या 10 एक दस और शून्य वाले हैं। संख्या 11 एक दस और एक इकाई है। 123 (एक सौ तेईस) संख्या एक सौ, दो दसियों और तीन हैं। दस नंबर 123 की शक्तियों के रूप में लिखा जाएगा:

1 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 3 × 10 ^ 0

कहाँ पे:

10 ^ 2 = 10 x 10 = 100

10 ^ 1 = 10

10 ^ 0 = 1।

इस उदाहरण के साथ यह स्पष्ट है कि चरम दाईं ओर अंक की स्थिति 0 है और इकाइयों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, दायें से बाएं दूसरे अंक की स्थिति 1 है और दहाई की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, तीसरा अंक (दाएं से) बाएं) की स्थिति 2 है और सैकड़ों का प्रतिनिधित्व करता है।

चित्रा 2. चित्रा 123 का विकसित अंकन।

आंशिक या दशमलव संख्या

दशमलव स्थिति प्रणाली के साथ संख्या या आंकड़े का प्रतिनिधित्व करना भी संभव है जो इकाई से कम हैं या जो इकाई से अधिक हैं लेकिन पूर्णांक नहीं हैं, अर्थात, उनके पास इकाई के अंश हैं।

अरबी दशमलव प्रणाली में प्रतिनिधित्व करने के लिए अंश ½, अर्थात इकाई का आधा भाग लिखा जाता है:

½ = 0.5

हमारे बेस 10 सिस्टम में इस अभिव्यक्ति पर पहुंचने के लिए, निम्नलिखित ऑपरेशनों को स्पष्ट रूप से किया गया है:

1- अंश और हर को 5 से गुणा किया जाता है जिसके बराबर का भाग 5/10 = 1/2 होता है।

2- 10 से विभाजित करना घातांक माइनस एक (10 ^ -1) के साथ बेस टेन में शक्ति से गुणा करने के बराबर है, अर्थात 5/10 = 5 × 10 ^ -1।

3- ऋणात्मक घातांक इंगित करता है कि कितनी बार संकेतित अंक को स्थानांतरित किया गया है या इकाई स्थिति से दाईं ओर स्थित किया गया है, हमारे मामले में यह 0.5 होगा।

4- this = 0.5 को विस्तारित संकेतन में इस तरह लिखा गया है:

0.5 = 0x10 ^ 0 + 5 × 10 ^ -1

जहां 10 ^ -1 = 0.1 एक दसवां है (10 समान भागों में विभाजित इकाई के अनुरूप अंश)।

इस तरह, संख्या 0.5 पांच दहाई से मेल खाती है, लेकिन 0.05 संख्या 5 सौवें और 0.005 से 5 हजार से मेल खाती है।

विस्तारित संकेतन के उदाहरण

उदाहरण 1

मानक अंकन में आंकड़ा 40201 को देखते हुए, इसे विस्तारित संकेतन में परिवर्तित करें।

उपाय:

4 × 10000 + 0x1000 + 2 × 100 + 0x10 + 1 × 1 = 40201

उदाहरण 2

विस्तारित संकेतन में अंश ¾ लिखिए।

उपाय:

इस मामले में आपके पास इकाई का तीन-चौथाई हिस्सा है।

3/4 = 15/20 = 75/100 = 0.75 = 7/10 + 5/100 =

7 × 10 ^ -1 + 5 × 10 ^ -2।

शब्दों में यह इस तरह दिखेगा:

अंश hundred सात दशांश से अधिक और पाँच सौवें भाग से मेल खाता है।

विकसित संकेतन अभ्यास

अभ्यास 1

उदाहरण 1 से संख्या 40201 की विस्तारित अभिव्यक्ति को शब्दों में कहें।

उपाय:

विकसित संकेतन इस तरह दिखता है:

40201 = 4 × 10000 + 0x1000 + 2 × 100 + 0x10 + 1 × 1

उस भाषा में यह कहा जाता है:

चार दसियों, प्लस शून्य हजारों, प्लस दो सौ, प्लस शून्य दसियों, प्लस एक इकाई।

व्यायाम २

पिछले आंकड़े को शब्दों में व्यक्त करें और विस्तारित रूप में संबंधित वाक्य को तोड़ दें।

उपाय:

शब्दों में आंकड़ा 40201 इस तरह व्यक्त किया गया है:

चालीस हजार दो सौ एक

पिछले वाक्य को इस प्रकार विकसित किया जा सकता है:

40 × 1000 + 2 × 100 + 1

यह कहा जा सकता है कि आंकड़ों के उच्चारण का तरीका इसे व्यक्त करने का एक अर्ध-विकसित तरीका है।

व्यायाम ३

संख्या 7/3 को विस्तारित रूप में लिखें।

उपाय:

यह एक अनुचित अंश के रूप में व्यक्त किया गया आंकड़ा है, क्योंकि चूंकि अंश भाजक से अधिक है, इसलिए आंकड़ा एकता से अधिक है।

यह अनुचित अंश 6/3 + 1/3 अंशों के योग के रूप में विघटित हो सकता है। भिन्नों का पहला पूर्णांक 2 में परिणाम होता है, जबकि 1/3 = 0.333333, जहां अंक 3 अनिश्चित काल तक दोहराता है। तो आकृति 7/3 की विस्तारित दशमलव अभिव्यक्ति हमेशा एक अनुमानित अभिव्यक्ति होगी:

7/3 = 2 + 1/3 + 2 + 0.333 = 2 + 3 × 10 ^ -1 + 3 × 10 ^ -2 + 3 × 10 ^ -3।

व्यायाम ६

मानक अंकन में लिखें और फिर विस्तारित रूप में संख्या: तेईस अरब दो सौ पचास मिलियन पांच सौ छब्बीस हजार तीन सौ पच्चीस और तीन तेईस हजार।

उपाय:

यह याद रखना चाहिए कि एक बिलियन एक बिलियन के बराबर है। बिलियन वेनेजुएला के राष्ट्रपति राफेल काल्डेरा के अनुरोध पर रॉयल स्पैनिश अकादमी द्वारा भाषा के वेनेजुएला के एकेडमी के सदस्य के रूप में शब्द को स्वीकार किया गया। उस स्थिति में, मानक अंकन में अभ्यास के लिए आंकड़ा इस तरह लिखा जाता है:

23,2501526,325,023

23 बिलियन + 250 मिलियन + 526 हजार + 325 यूनिट + 23 हजार।

23 × 10 ^ 9 + 250 × 10 ^ 6 + 526 × 10 ^ 3 + 325 × 10 ^ 0 + 23 × 10 ^ -3

अंत में यह आंकड़ा विस्तारित संकेतन में लिखा गया है:

2 × 10 ^ 10 + 3 × 10 ^ 9 + 2 × 10 ^ 8 + 5 × 10 ^ 7 + 0x10 ^ 6 + 5 × 10 ^ 5 + 2 × 10 ^ 4 + 6 × 10 ^ 3 + 3 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 5 × 10 ^ 0 + 0x10 ^ -1 + 2 × 10 ^ -2 + 3 × 10 ^ -3।

संदर्भ

1. खान अकादमी। मूल्य चार्ट रखें। से पुनर्प्राप्त: es.khanacademy.org
2. खान अकादमी। विस्तारित रूप (वीडियो) में एक संख्या लिखें। से पुनर्प्राप्त: es.khanacademy.org
3. इफरा, जोगेस (1998): आंकड़ों का सार्वभौमिक इतिहास। एस्पासा कैलपे एसए
4. विकिपीडिया। स्थिति संबंधी संकेतन। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com
5. विकिपीडिया। अरब। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com