समांतर कोश: विशेषताएँ, प्रकार, क्षेत्र, आयतन - गणित - 2025

एक समानांतर चतुर्भुज छह चेहरों से बना एक ज्यामितीय शरीर है, जिसकी मुख्य विशेषता यह है कि इसके सभी चेहरे समानांतर चतुर्भुज हैं और यह भी कि इसके विपरीत चेहरे एक दूसरे के समानांतर हैं। यह हमारे दैनिक जीवन में एक आम पॉलीहेड्रॉन है, क्योंकि हम इसे जूते के बक्से, एक ईंट के आकार, एक माइक्रोवेव के आकार, आदि में पा सकते हैं।

पॉलीहेड्रॉन होने के नाते, पैरालीपाइप्ड एक परिमित मात्रा को संलग्न करता है और इसके सभी चेहरे सपाट होते हैं। यह प्रिज्म के समूह का हिस्सा है, जो कि पॉलीहेड्रा हैं जिसमें इसके सभी कोने दो समानांतर विमानों में समाहित हैं।

समांतर कोश के तत्व

चेहरे के

वे समांतर चतुर्भुज द्वारा गठित प्रत्येक क्षेत्र हैं जो समांतर कोश को सीमित करते हैं। एक समानांतर चतुर्भुज में छह चेहरे होते हैं, जहां प्रत्येक चेहरे में चार आसन्न चेहरे होते हैं और एक विपरीत होता है। इसके अलावा, प्रत्येक चेहरा इसके विपरीत के साथ समानांतर है।

किनारों

वे दो चेहरे के सामान्य पक्ष हैं। कुल में, एक समानांतर चतुर्भुज के बारह किनारे हैं।

शिखर

यह तीन चेहरों का सामान्य बिंदु है जो एक दूसरे से दो-दो से सटे हुए हैं। एक समानांतर चतुर्भुज में आठ कोने होते हैं।

विकर्ण

एक दूसरे के विपरीत एक समानांतर चतुर्भुज के दो चेहरों को देखते हुए, हम एक पंक्ति खंड खींच सकते हैं जो एक चेहरे के शीर्ष से दूसरे के विपरीत शीर्ष पर जाता है।

इस खंड को समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण के रूप में जाना जाता है। प्रत्येक समानांतर चतुर्भुज में चार विकर्ण होते हैं।

केंद्र

यह वह बिंदु है जिस पर सभी विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं।

समानता के लक्षण

जैसा कि हमने पहले ही उल्लेख किया है, इस ज्यामितीय शरीर में बारह किनारे, छह चेहरे और आठ कोने हैं।

एक समानांतर चतुर्भुज में, चार किनारों द्वारा गठित तीन सेटों की पहचान की जा सकती है, जो एक दूसरे के समानांतर हैं। इसके अलावा, उक्त सेटों के किनारों में भी समान लंबाई होने का गुण होता है।

एक अन्य गुण जो समानता का गुण रखता है, वह है उत्तल, यानी यदि हम समांतर चतुर्भुज के आंतरिक से संबंधित किसी भी बिंदु को लेते हैं, तो कहा गया है कि उक्त जोड़ी द्वारा निर्धारित खंड भी समांतर चतुर्भुज के भीतर होगा।

इसके अलावा, समानांतर चतुर्भुज को उत्तल पॉलीहेड्रा पोलीहेड्रा के लिए यूलर प्रमेय का अनुपालन करता है, जो हमें चेहरे की संख्या, किनारों की संख्या और कोने की संख्या के बीच एक संबंध देता है। यह संबंध निम्नलिखित समीकरण के रूप में दिया गया है:

सी + वी = ए + २

इस विशेषता को यूलर विशेषता के रूप में जाना जाता है।

जहाँ C, चेहरों की संख्या, V संख्याओं की संख्या और A के किनारों की संख्या है।

प्रकार

हम निम्नलिखित प्रकारों में उनके चेहरे के आधार पर समानताएं वर्गीकृत कर सकते हैं:

Orthohedron

वे समानताएं हैं जहां उनके चेहरे छह आयतों द्वारा बनते हैं। प्रत्येक आयत उन लोगों के लिए लंबवत है जो एक धार साझा करते हैं। वे हमारे दैनिक जीवन में सबसे आम हैं, यह जूता बक्से और ईंटों का सामान्य रूप है।

नियमित घन या हेक्साहेड्रॉन

यह पिछले एक का एक विशेष मामला है, जहां प्रत्येक चेहरा एक वर्ग है।

क्यूब भी ज्यामितीय निकायों का हिस्सा है जिसे प्लेटोनिक ठोस कहा जाता है। एक प्लैटोनिक सॉलिड एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन है, जिससे इसके चेहरे और आंतरिक कोण दोनों एक दूसरे के बराबर होते हैं।

Rhombohedron

यह अपने चेहरे के लिए rhombuses के साथ एक समानता है। ये rhombuses सभी एक दूसरे के बराबर हैं, क्योंकि वे किनारों को साझा करते हैं।

Rhombohedron

इसके छह चेहरे rhomboids हैं। स्मरण करो कि एक रुबॉइड एक बहुभुज है जिसमें चार भुजाएँ और चार कोण हैं जो दो-दो के बराबर हैं। रम्बोइड समांतर चतुर्भुज हैं जो न तो वर्ग हैं, न ही आयताकार हैं, न ही रंबल हैं।

दूसरी ओर, ओब्लिक पैरेल्लेपिपेड वे हैं जिनमें कम से कम एक ऊंचाई उनके किनारे से सहमत नहीं है। इस वर्गीकरण में हम rhombohedra और rhombohedra को शामिल कर सकते हैं।

विकर्णों की गणना

एक ऑर्थोहेड्रोन के विकर्ण की गणना करने के लिए हम आर ^{3 के} लिए पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं ।

स्मरण करो कि एक ortohedron की विशेषता है कि प्रत्येक पक्ष एक किनारे को साझा करने वाले पक्षों के लिए लंबवत है। इस तथ्य से हम यह निकाल सकते हैं कि प्रत्येक किनारे उन लोगों के लिए लंबवत है जो एक शीर्ष साझा करते हैं।

एक ऑर्थोहेड्रोन के विकर्ण की लंबाई की गणना करने के लिए हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं:

1. हम एक चेहरे के विकर्ण की गणना करते हैं, जिसे हम आधार के रूप में डालेंगे। इसके लिए हम पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करते हैं। आइए इस विकर्ण का नाम d _b ।

2. फिर d _{b के} साथ हम एक नया सही त्रिकोण बना सकते हैं, जैसे कि कहा गया त्रिभुज का कर्ण विकर्ण D जिसे हम खोज रहे हैं।

3. हम फिर से पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करते हैं और हमारे पास इस विकर्ण की लंबाई है:

अधिक ग्राफिक तरीके से विकर्णों की गणना करने का एक और तरीका मुफ्त वैक्टर के अतिरिक्त के साथ है।

याद रखें कि वेक्टर ए की नोक के साथ वेक्टर बी की पूंछ रखकर दो मुक्त वैक्टर ए और बी जोड़े जाते हैं।

वेक्टर (A + B) वह है जो A की पूंछ से शुरू होता है और B के सिरे पर समाप्त होता है।

आइए हम एक समानता पर विचार करें जिसके लिए हम एक विकर्ण की गणना करना चाहते हैं।

हम किनारों को सुविधाजनक रूप से उन्मुख वैक्टर के साथ पहचानते हैं।

फिर हम इन वैक्टर को जोड़ते हैं और परिणामस्वरूप वेक्टर समानांतर चतुर्भुज का विकर्ण होगा।

क्षेत्र

एक समानता का क्षेत्र उसके चेहरों के प्रत्येक क्षेत्र के योग द्वारा दिया जाता है।

यदि हम आधार के रूप में किसी एक पक्ष को निर्धारित करते हैं, A _L + 2A _B = कुल क्षेत्रफल

जहां A _L आधार से सटे सभी पक्षों के क्षेत्रों के योग के बराबर है, जिसे पार्श्व क्षेत्र कहा जाता है और A _B आधार का क्षेत्र है।

हम जिस समानता के साथ काम कर रहे हैं, उसके आधार पर हम इस सूत्र को फिर से लिख सकते हैं।

एक ortohedron का क्षेत्र

यह सूत्र द्वारा दिया गया है

A = 2 (ab + bc + ca)।

उदाहरण 1

निम्नलिखित orthohedron को देखते हुए, पक्षों के साथ = a 6 सेमी, b = 8 सेमी और c = 10 सेमी, समांतरभुज के क्षेत्र और इसके विकर्ण की लंबाई की गणना करें।

एक ortohedron के क्षेत्र के लिए सूत्र का उपयोग करना हमारे पास है

ए = 2 = 2 = 2 = 376 सेमी ² ।

ध्यान दें कि चूंकि यह एक ऑर्थोहेड्रोन है, इसके चार विकर्णों में से किसी की लंबाई समान है।

अंतरिक्ष के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करना हमारे पास है

डी = (6 ² + 8 ² + 10 ²) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

एक घन का क्षेत्र

चूंकि प्रत्येक किनारे की लंबाई समान है, इसलिए हमारे पास एक = बी और ए = सी है। हमारे पास पिछले सूत्र में स्थानापन्न

अ = २ (आ + आ + आ) = २ (३ अ ^२) = ६ अ ^२

ए = ६ ए ^२

उदाहरण 2

गेम कंसोल का बॉक्स क्यूब के आकार का है। अगर हम इस बॉक्स को गिफ्ट रैप के साथ लपेटना चाहते हैं, तो हम यह जानकर कितना कागज खर्च करेंगे कि क्यूब के किनारों की लंबाई 45 सेमी है?

क्यूब के क्षेत्र के लिए सूत्र का उपयोग करके हम इसे प्राप्त करते हैं

ए = 6 (45 सेमी) ² = 6 (2025 सेमी ²) = 12150 सेमी ²

एक rhombohedron का क्षेत्र

चूंकि उनके सभी चेहरे समान हैं, बस उनमें से एक के क्षेत्र की गणना करें और इसे छह से गुणा करें।

हमारे पास यह है कि एक समचतुर्भुज के क्षेत्र की गणना निम्न सूत्र के साथ इसके विकर्णों के माध्यम से की जा सकती है

A _R = (Dd) / 2

इस फार्मूले का उपयोग करते हुए यह निम्नानुसार है कि रोमोब्हेड्रॉन का कुल क्षेत्रफल है

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3 डी।

उदाहरण 3

निम्नलिखित rhombohedron के चेहरे एक rhombus द्वारा निर्मित होते हैं जिनके विकर्ण D = 7 सेमी और d = 1 सेमी होते हैं। आपका क्षेत्र होगा

ए = 3 (7 सेमी) (4 सेमी) = 84 सेमी ² ।

एक rhombohedron का क्षेत्र

एक rhombohedron के क्षेत्र की गणना करने के लिए हमें उस रचना के क्षेत्र की गणना करनी चाहिए जो इसे बनाता है। चूंकि समानांतर चतुर्भुज संपत्ति को पूरा करता है कि विपरीत पक्षों का एक ही क्षेत्र है, हम पक्षों को तीन जोड़े में जोड़ सकते हैं।

इस तरह से हमारे पास आपका क्षेत्र होगा

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

जहां b _i, पक्षों के साथ जुड़े हुए आधार हैं और h _i इन आधारों के अनुरूप उनकी सापेक्ष ऊंचाई है।

उदाहरण 4

निम्नलिखित समानता पर विचार करें,

जहां ए और साइड ए '(इसके विपरीत पक्ष) का आधार b = 10 और ऊंचाई h = 6. चिह्नित क्षेत्र का मान होगा

ए _१ = २ (१०) (६) = १२०

B और B 'के पास b = 4 और h = 6 है, इसलिए

एक ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC और C 'में b = 10 और h = 5 है

ए _३ = २ (१०) (५) = १००

अंत में rhombohedron का क्षेत्र है

ए = 120 + 48 + 100 = 268।

एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन

वह सूत्र जो हमें एक समांतर चतुर्भुज का आयतन प्रदान करता है, उस चेहरे के अनुरूप ऊँचाई से उसके किसी एक चेहरे के क्षेत्र का गुणनफल है।

वी = ए _सी एच _सी

समानांतर चतुर्भुज के प्रकार के आधार पर, यह सूत्र सरल किया जा सकता है।

इस प्रकार हमारे पास उदाहरण है कि एक ऑर्थोएड्रोन की मात्रा द्वारा दिया जाएगा

वी = एबीसी।

जहां ए, बी और सी ऑर्थोहेड्रोन के किनारों की लंबाई का प्रतिनिधित्व करते हैं।

और क्यूब के विशेष मामले में है

वी = एक ^३

उदाहरण 1

कुकी बक्से के लिए तीन अलग-अलग मॉडल हैं और आप जानना चाहते हैं कि आप इनमें से किस मॉडल में अधिक कुकीज स्टोर कर सकते हैं, यानी किस बॉक्स में सबसे बड़ी मात्रा है।

पहला एक घन है जिसके किनारे की लंबाई = 10 सेमी है

इसकी मात्रा V = 1000 सेमी ^{3 होगी}

दूसरे में किनारा बी = 17 सेमी, सी = 5 सेमी, डी = 9 सेमी है

और इसलिए इसकी मात्रा V = 765 सेमी ^{3 है}

और तीसरे में ई = 9 सेमी, एफ = 9 सेमी और जी = 13 सेमी है

और इसकी मात्रा V = 1053 सेमी ^{3 है}

इसलिए, सबसे बड़ी मात्रा वाला बॉक्स तीसरा है।

एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन प्राप्त करने का एक अन्य तरीका वेक्टर बीजगणित का उपयोग करना है। विशेष रूप से, ट्रिपल डॉट उत्पाद।

ज्यामितीय व्याख्याओं में से एक जो ट्रिपल स्केलर उत्पाद है, वह समांतर चतुर्भुज की मात्रा है, जिसके किनारे तीन वैक्टर हैं जो एक ही बिंदु के रूप में एक ही शीर्ष साझा करते हैं।

इस तरह, अगर हमारे पास एक समानता है और हम जानना चाहते हैं कि इसकी मात्रा क्या है, तो यह आर ³ में एक समन्वय प्रणाली में इसका प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त है, इसके एक कोने को मूल के साथ मिलाकर बनाया गया है।

फिर हम किनारों को दर्शाते हैं जो वैक्टर के साथ मूल में मेल खाते हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

और इस तरह से हमारे पास यह है कि उक्त समांतर कोश की मात्रा किसके द्वारा दी गई है

वी = - एक्सबी-सी-

या, समकक्ष रूप से, वॉल्यूम 3 × 3 मैट्रिक्स का निर्धारक है, जो किनारे के वैक्टर के घटकों द्वारा गठित है।

उदाहरण 2

आर ³ में निम्नलिखित समानताएं का प्रतिनिधित्व करते समय हम देख सकते हैं कि यह निर्धारित करने वाले वैक्टर निम्नलिखित हैं

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) और w = (-0.25, -4, 4)

ट्रिपल स्केलर उत्पाद का उपयोग करना हमारे पास है

वी = - (uxv)-w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) = w = (0,0, - 15) -0 (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि V = 60

आइए अब आर 3 में निम्नलिखित समानताएं पर विचार करें जिनके किनारों को वैक्टर द्वारा निर्धारित किया जाता है

ए = (2, 5, 0), बी = (6, 1, 0) और सी = (3, 4, 4)

निर्धारकों का उपयोग करना हमें देता है

इस प्रकार हमारे पास कहा गया है कि कहा गया समानता का आयतन 112 है।

दोनों मात्रा की गणना के समान तरीके हैं।

बिल्कुल सही समानता है

एक ऑर्थोहेड्रॉन को एक यूलर ईंट (या यूलर के ब्लॉक) के रूप में जाना जाता है जो उस संपत्ति को पूरा करता है जो इसके किनारों की लंबाई और इसके प्रत्येक चेहरे के विकर्णों की लंबाई पूरी संख्याएं हैं।

यद्यपि इस संपत्ति को पूरा करने वाले ऑर्थोहेड्रा का अध्ययन करने वाला यूलर पहला वैज्ञानिक नहीं था, लेकिन उसने उनके बारे में दिलचस्प नतीजे निकाले।

सबसे छोटी यूलर ईंट की खोज पॉल हैल्के ने की थी और इसके किनारों की लंबाई a = 44, b = 117 और c = 240 है।

संख्या सिद्धांत में एक खुली समस्या इस प्रकार है

वहाँ सही ortohedra हैं?

वर्तमान में, इस सवाल का जवाब नहीं दिया गया है, क्योंकि यह साबित करना संभव नहीं है कि इस तरह के शरीर मौजूद नहीं हैं, लेकिन दोनों में से कोई भी नहीं मिला है।

अब तक जो दिखाया गया है वह सही समानता है। सबसे पहले खोजे जाने वाले किनारों की लंबाई 103, 106 और 271 है।

ग्रन्थसूची

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