पुनरावृत्ति के बिना क्रमपरिवर्तन: सूत्र, प्रमाण, अभ्यास, उदाहरण - दुदास - 2025

एन तत्वों की पुनरावृत्ति के बिना एक क्रमपरिवर्तन विभिन्न तत्वों के विभिन्न समूह हैं जिन्हें किसी भी तत्व को नहीं दोहराने से प्राप्त किया जा सकता है, केवल तत्वों के प्लेसमेंट के क्रम में भिन्नता है।

पुनरावृत्ति के बिना क्रमपरिवर्तन की संख्या जानने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

Pn = n!

जिसका विस्तार Pn = n होगा! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)।

इसलिए पिछले व्यावहारिक उदाहरण में इसे निम्नानुसार लागू किया जाएगा:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 विभिन्न 4 अंकों की संख्या।

ये कुल 24 सरणियाँ हैं: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8426, 8426। 8462, 8624, 8642।

जैसा कि देखा जा सकता है, किसी भी मामले में कोई पुनरावृत्ति नहीं है, 24 विभिन्न संख्याएं हैं।

डेमो और सूत्र

24 4 अलग-अलग आंकड़ों की व्यवस्था

हम और अधिक विशेष रूप से 24 विभिन्न 4-अंकीय व्यवस्था के उदाहरण का विश्लेषण करने जा रहे हैं जो कि संख्या 2468 के अंकों के साथ बनाई जा सकती है। व्यवस्थाओं की संख्या (24) निम्नानुसार जानी जा सकती है:

आपके पास पहला अंक चुनने के लिए 4 विकल्प हैं, दूसरे को चुनने के लिए 3 विकल्प हैं। दो अंक पहले ही निर्धारित किए जा चुके हैं और तीसरे विकल्प के चयन के लिए 2 विकल्प शेष हैं। अंतिम अंक में केवल एक चयन विकल्प है।

इसलिए, पी 4 द्वारा निरूपित क्रमपरिवर्तन की संख्या, प्रत्येक स्थिति में चयन विकल्पों के उत्पाद द्वारा प्राप्त की जाती है:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 विभिन्न 4 अंकों की संख्या

सामान्य तौर पर, दिए गए सेट के सभी n तत्वों के साथ किए जाने वाले विभिन्न क्रमांकन या व्यवस्था की संख्या है:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

अभिव्यक्ति n! इसे n factorial के रूप में जाना जाता है और इसका मतलब उन सभी प्राकृतिक संख्याओं के उत्पाद से है जो संख्या n और नंबर एक के बीच स्थित हैं, जिसमें दोनों शामिल हैं।

12 2 अलग-अलग आंकड़ों की व्यवस्था

अब मान लें कि आप क्रमांक या दो अंकों की संख्या जानना चाहते हैं जो कि संख्या 2468 के अंकों के साथ बन सकती है।

ये कुल 12 व्यवस्थाएँ होंगी: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

आपके पास पहला अंक चुनने के लिए 4 विकल्प हैं, जो दूसरे को चुनने के लिए 3 अंक छोड़ता है। इसलिए, 4P2 द्वारा निरूपित दो द्वारा लिए गए 4 अंकों के क्रमपरिवर्तन की संख्या, प्रत्येक स्थिति में चयन विकल्पों के उत्पाद द्वारा प्राप्त की जाती है:

4P2 = 4 * 3 = 12 विभिन्न 2-अंकीय संख्या

सामान्य तौर पर, किसी दिए गए सेट में कुल n के तत्वों के साथ किए जा सकने वाले विभिन्न क्रमांकन या व्यवस्था की संख्या है:

nPr = n (n - 1) (n - 2)…

एन खेलने से पहले उपरोक्त अभिव्यक्ति को काट दिया गया है। एन को पूरा करने के लिए! उसमें से हमें लिखना चाहिए:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

बदले में हम जो कारक जोड़ते हैं, वे एक तथ्य का प्रतिनिधित्व करते हैं:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

इस प्रकार, n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

यहां से

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

उदाहरण

उदाहरण 1

शब्द के अक्षरों के साथ अक्षरों के कितने 5-अक्षर संयोजन का निर्माण किया जा सकता है?

हम 5 अक्षरों के विभिन्न अक्षर संयोजनों की संख्या का पता लगाना चाहते हैं, जिन्हें शब्द कुंजी के 5 अक्षरों के साथ बनाया जा सकता है; वह है, 5-अक्षर सरणियों की संख्या जिसमें सभी अक्षर शब्द में उपलब्ध हैं।

5 अक्षर शब्दों का N ° = P5 = 5! = ५ * ४ * ३ * २ * १ = १२० अलग-अलग ५-अक्षर अक्षर संयोजन।

ये होंगे: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… कुल मिलाकर 120 विभिन्न अक्षर संयोजन।

उदाहरण 2

आपके पास 15 नंबर की गेंदें हैं और आप जानना चाहते हैं कि 15 नंबर वाली गेंदों के साथ 3 गेंदों के कितने अलग-अलग समूह बनाए जा सकते हैं?

आप 3 गेंदों के समूह को ढूंढना चाहते हैं जिन्हें 15 गिने हुए गेंदों के साथ बनाया जा सकता है।

3 गेंदों के समूहों का एन ° = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

3 गेंदों के समूहों का एन ° = 15 * 14 * 13 = 2730 3 गेंदों के समूह

हल किया अभ्यास

अभ्यास 1

एक फ्रूट स्टोर में एक प्रदर्शनी स्टैंड है जिसमें प्रवेश द्वार हॉल में स्थित डिब्बों की एक पंक्ति है। एक दिन में, ग्रींग्रोइसर बिक्री के लिए प्राप्त करता है: संतरे, केले, अनानास, नाशपाती और सेब।

क) प्रदर्शनी स्टैंड के लिए आपको कितने अलग-अलग तरीके अपनाने होंगे?

ख) उल्लिखित फलों (5) के अलावा, आपको उस दिन कितने अलग-अलग तरीकों से स्टैंड का ऑर्डर देना होगा: आम, आड़ू, स्ट्रॉबेरी और अंगूर (4)?

क) हम प्रदर्शन पंक्ति में सभी फलों को ऑर्डर करने के लिए विभिन्न तरीकों की संख्या खोजना चाहते हैं; अर्थात्, उस दिन बिक्री के लिए उपलब्ध सभी फलों को शामिल करने वाले 5 फलों की व्यवस्था की संख्या।

स्टैंड की व्यवस्था का N ° = P5 = 5! = ५ * ४ * ३ * २ * १

स्टैंड की एन ° व्यवस्था = स्टैंड को पेश करने के 120 तरीके

ख) हम प्रदर्शन पंक्ति में सभी फलों को क्रमबद्ध करने के लिए अलग-अलग तरीकों की संख्या खोजना चाहते हैं यदि 4 अतिरिक्त आइटम जोड़े गए थे; अर्थात्, उस दिन बिक्री के लिए उपलब्ध सभी फलों को शामिल करने वाले 9 फलों की व्यवस्था की संख्या।

स्टैंड की व्यवस्था का N ° = P9 = 9! = ९ * 3 * 6 * ६ * ५ * ४ * ३ * २ * १

स्टैंड की व्यवस्था का N ° = 362,880 स्टैंड प्रस्तुत करने के तरीके

व्यायाम २

एक छोटे भोजन आउटलेट में 6 वाहनों को पार्क करने के लिए पर्याप्त स्थान के साथ भूमि का एक भूखंड है।

a) जमीन के प्लॉट में वाहनों को ऑर्डर करने के कितने अलग-अलग तरीके चुने जा सकते हैं?

ख) मान लीजिए कि भूमि का एक सन्निहित भूखंड अधिग्रहित किया गया है जिसके आयाम 10 वाहनों को पार्क करने की अनुमति देते हैं। वाहन व्यवस्था के कितने विभिन्न रूपों को अब चुना जा सकता है?

a) हम उन 6 वाहनों को ऑर्डर करने के विभिन्न तरीकों की संख्या का पता लगाना चाहते हैं जो भूमि के भूखंड में रखे जा सकते हैं।

6 वाहनों की व्यवस्था की संख्या = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

6 वाहनों की व्यवस्था की संख्या = 720 भूमि के भूखंड में 6 वाहनों के आदेश के विभिन्न तरीके।

b) हम उन 10 वाहनों को ऑर्डर करने के विभिन्न तरीकों की संख्या का पता लगाना चाहते हैं जो भूमि के भूखंड के विस्तार के बाद जमीन के भूखंड में रखे जा सकते हैं।

10 वाहनों की व्यवस्था का N ° = P10 = 10!

वाहन व्यवस्था की संख्या = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

10 वाहनों की व्यवस्था की संख्या = 3,628,800 अलग-अलग तरीकों से भूमि के भूखंड में 10 वाहनों के आदेश।

व्यायाम ३

एक फूलवाले के पास राष्ट्रों के फूलों के झंडे बनाने के लिए 6 अलग-अलग रंग के फूल होते हैं जिनमें केवल 3 रंग होते हैं। यदि यह ज्ञात हो कि झंडों में रंगों का क्रम महत्वपूर्ण है, a) 6 उपलब्ध रंगों के साथ 3 रंगों के कितने अलग-अलग झंडे बनाए जा सकते हैं?

ख) विक्रेता 2 अतिरिक्त रंगों के फूल खरीदता है जो पहले से ही उसके पास 6 थे, अब 3 रंगों के कितने अलग झंडे बनाए जा सकते हैं?

ग) चूंकि आपके 8 रंग हैं, आप अपने झंडे की सीमा का विस्तार करने का निर्णय लेते हैं। आप कितने अलग-अलग 4-रंग के झंडे बना सकते हैं?

d) 2 रंग कितने?

a) हम 3 रंगों के विभिन्न झंडों की संख्या का पता लगाना चाहते हैं जिन्हें 6 उपलब्ध रंगों में से चुनकर बनाया जा सकता है।

3-रंग के झंडे का एन ° = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

3-रंग के झंडे का एन ° = 6 * 5 * 4 = 120 झंडे

b) आप 3 रंगों के विभिन्न झंडों की संख्या का पता लगाना चाहते हैं जिन्हें 8 उपलब्ध रंगों में से चुनकर बनाया जा सकता है।

3-रंग के झंडे का एन ° = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

3-रंग के झंडे का एन ° = 8 * 7 * 6 = 336 झंडे

ग) 8 उपलब्ध रंगों में से चुनकर बनाए जा सकने वाले विभिन्न 4-रंग के झंडे की गणना की जानी चाहिए।

4-रंग के झंडे की संख्या = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

4-रंग के झंडे की संख्या = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 झंडे

d) आप अलग-अलग 2-रंग के झंडे की संख्या निर्धारित करना चाहते हैं जो 8 उपलब्ध रंगों में से चुनकर बनाया जा सकता है।

2-रंग के झंडे का एन ° = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

2-रंग के झंडे की संख्या = 8 * 7 = 56 झंडे

संदर्भ

1. बोदा, ए। (2017)। प्रयोगों के शिक्षण के रूप में पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन का उपयोग। विवट एकेडमिया पत्रिका। Researchgate.net से पुनर्प्राप्त किया गया।
2. कैनावोस, जी (1988)। प्रायिकता अौर सांख्यिकी। अनुप्रयोग और विधियाँ। मैकग्रा-हिल / इंटरमेरिकाना डे मेक्सिको एसए डे सीवी
3. ग्लास, जी ।; स्टेनली, जे। (1996)। सामाजिक विज्ञान के लिए सांख्यिकीय तरीके लागू नहीं होते हैं। अप्रेंटिस हॉल Hispanoamericana SA
4. स्पीगेल, एम; स्टीफेंस, एल। (2008)। सांख्यिकी। चौथा एड। मैकग्रा-हिल / इंटरमेरिकाना डे मेक्सिको एसए
5. वालपोल, आर; मायर्स, आर।; मायर्स, एस।; ये, का। (2007)। इंजीनियरों और वैज्ञानिकों के लिए संभाव्यता और सांख्यिकी। आठवां संस्करण। पियर्सन एजुकेशन इंटरनेशनल प्रेंटिस हॉल।
6. वेबस्टर, ए। (2000)। व्यवसाय और अर्थव्यवस्था के लिए सांख्यिकी लागू। तीसरा एड। मैकग्रा-हिल / इंटरमेरेरिकाना एसए
7. (2019)। क्रमपरिवर्तन। En.wikipedia.org से पुनर्प्राप्त।