योगात्मक सिद्धांत: इसमें क्या हैं और उदाहरण हैं - गणित - 2025

Additive सिद्धांत एक प्रायिकता गणना तकनीक है कि हम में मापने के लिए कितने तरीकों से एक गतिविधि किया जा सकता है, जो, बारी में, कई विकल्प है, बाहर ले जाया गया जिनमें से केवल एक एक समय में चुना जा सकता है की अनुमति देता है। इसका एक उत्कृष्ट उदाहरण है जब आप एक स्थान से दूसरे स्थान पर जाने के लिए परिवहन लाइन का चयन करना चाहते हैं।

इस उदाहरण में, विकल्प उन सभी संभावित परिवहन लाइनों के अनुरूप होंगे जो वांछित मार्ग को कवर करती हैं, या तो वायु, समुद्र या भूमि। हम एक साथ परिवहन के दो साधनों का उपयोग करके एक जगह पर नहीं जा सकते हैं; हमें केवल एक को चुनने की आवश्यकता है।

एडिटिव सिद्धांत हमें बताता है कि इस यात्रा को करने के लिए हमारे पास जितने रास्ते हैं, वे प्रत्येक वैकल्पिक (परिवहन के साधन) के योग के अनुरूप होंगे, जो कि वांछित स्थान पर जाने के लिए मौजूद है, इसमें परिवहन के साधन भी शामिल होंगे जो कहीं न कहीं रोक-टोक करते हैं (या स्थान) बीच में।

जाहिर है, पिछले उदाहरण में हम हमेशा सबसे आरामदायक विकल्प का चयन करेंगे जो हमारी संभावनाओं के लिए सबसे अच्छा है, लेकिन संभावित रूप से यह जानना बहुत महत्वपूर्ण है कि किसी घटना को कितने तरीकों से अंजाम दिया जा सकता है।

संभावना

सामान्य तौर पर, संभावना गणित का क्षेत्र है जो घटनाओं या घटनाओं और यादृच्छिक प्रयोगों के अध्ययन के लिए जिम्मेदार है।

एक प्रयोग या यादृच्छिक घटना एक ऐसी कार्रवाई है जो हमेशा एक ही परिणाम नहीं देती है, भले ही यह प्रारंभिक प्रक्रिया में कुछ भी बदल दिए बिना, एक ही प्रारंभिक शर्तों के साथ किया जाता हो।

एक यादृच्छिक प्रयोग क्या है यह समझने के लिए एक क्लासिक और सरल उदाहरण एक सिक्का या पासा उछालने की क्रिया है। कार्रवाई हमेशा एक ही होगी, लेकिन हमें हमेशा "सिर" या "छह" नहीं मिलेगा, उदाहरण के लिए।

संभाव्यता यह निर्धारित करने के लिए तकनीक प्रदान करने के लिए जिम्मेदार है कि किसी दिए गए यादृच्छिक घटना कितनी बार हो सकती है; अन्य इरादों में, मुख्य भविष्य की संभावित घटनाओं की भविष्यवाणी करना है जो अनिश्चित हैं।

किसी घटना की संभावना

विशेष रूप से, एक घटना ए होने की संभावना शून्य और एक के बीच एक वास्तविक संख्या है; अर्थात्, अंतराल से संबंधित एक संख्या। इसे P (A) द्वारा दर्शाया गया है।

यदि पी (ए) = 1 है, तो घटना ए होने की संभावना 100% है, और यदि यह शून्य है तो इसके होने की कोई संभावना नहीं है। नमूना स्थान सभी संभावित परिणामों का एक सेट है जिसे यादृच्छिक प्रयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

मामले के आधार पर संभावना के कम से कम चार प्रकार या अवधारणाएं हैं: शास्त्रीय संभावना, लगातार संभावना, व्यक्तिपरक संभावना और स्वयंसिद्ध संभावना। हर एक अलग-अलग मामलों पर ध्यान केंद्रित करता है।

शास्त्रीय संभावना उस मामले को शामिल करती है जिसमें नमूना स्थान में तत्वों की सीमित संख्या होती है।

इस मामले में, एक घटना ए की संभावना वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए उपलब्ध विकल्पों की संख्या होगी (यानी, सेट ए में तत्वों की संख्या), नमूना स्थान में तत्वों की संख्या से विभाजित।

यहां यह माना जाना चाहिए कि नमूना स्थान के सभी तत्व समान रूप से संभावित होने चाहिए (उदाहरण के लिए, किसी दिए गए के रूप में जो बदल नहीं है, जिसमें किसी भी छह संख्याओं को प्राप्त करने की संभावना समान है)।

उदाहरण के लिए, क्या संभावना है कि एक मरने पर एक विषम संख्या मिलेगी? इस स्थिति में, सेट ए 1 और 6 के बीच सभी विषम संख्याओं से बना होगा, और नमूना स्थान 1 से 6 तक सभी संख्याओं से बना होगा। इसलिए, ए में 3 तत्व हैं और नमूना स्थान 6. है। इसलिए, पी (ए) = 3/6 = 1/2।

योगात्मक सिद्धांत क्या है?

जैसा कि पहले कहा गया है, संभावना मापता है कि कितनी बार एक निश्चित घटना होती है। इस आवृत्ति को निर्धारित करने में सक्षम होने के नाते, यह जानना महत्वपूर्ण है कि इस घटना को कितने तरीकों से अंजाम दिया जा सकता है। योगात्मक सिद्धांत हमें एक विशेष मामले में यह गणना करने की अनुमति देता है।

योगात्मक सिद्धांत निम्नलिखित को स्थापित करता है: यदि A एक ऐसी घटना है जिसमें "प्रदर्शन किए जाने के तरीके" हैं, और B एक अन्य घटना है, जिसमें "b" तरीके निष्पादित किए जा रहे हैं, और यदि इसके अलावा केवल A या B ही हो सकते हैं और दोनों एक ही समय में नहीं हो सकते हैं उसी समय, तब A या B (A deB) का एहसास होने के तरीके a + b हैं।

सामान्य तौर पर, यह सेट की एक परिमित संख्या के संघ के लिए कहा जाता है (2 से अधिक या इसके बराबर)।

उदाहरण

पहला उदाहरण

यदि कोई बुकस्टोर साहित्य, जीव विज्ञान, चिकित्सा, वास्तुकला और रसायन विज्ञान पर किताबें बेचता है, जिसमें से साहित्य पर 15 अलग-अलग प्रकार की किताबें हैं, जीव विज्ञान पर 25, चिकित्सा पर 12, वास्तुकला पर 8 और रसायन विज्ञान पर 10, कितने विकल्प एक व्यक्ति करता है एक वास्तुकला पुस्तक या जीव विज्ञान पुस्तक का चयन करने के लिए?

योजक सिद्धांत हमें बताता है कि इस विकल्प को बनाने के लिए विकल्पों या तरीकों की संख्या 8 + 25 = 33 है।

इस सिद्धांत को उस घटना में भी लागू किया जा सकता है जिसमें एक भी घटना शामिल होती है, जिसके बदले अलग-अलग विकल्प होते हैं।

मान लीजिए कि आप एक निश्चित गतिविधि या घटना ए करना चाहते हैं, और इसके लिए कई विकल्प हैं, एन कहते हैं।

बदले में, पहले विकल्प के ₁ तरीके होते हैं, दूसरे विकल्प के होने के ₂ तरीके होते हैं, और इसी तरह, वैकल्पिक संख्या n को _n तरीकों से किया जा सकता है।

Additive सिद्धांत कहता है कि इवेंट A को ₁ + से ₂ +… + _n तरीकों से किया जा सकता है।

दूसरा उदाहरण

मान लीजिए कि कोई व्यक्ति एक जोड़ी जूते खरीदना चाहता है। जब वह जूते की दुकान पर आता है, तो उसे अपने जूते के आकार के केवल दो अलग-अलग मॉडल मिलते हैं।

एक के दो उपलब्ध रंग हैं, और दूसरे के पांच उपलब्ध रंग हैं। इस खरीदारी को करने के कितने तरीके हैं? योगात्मक सिद्धांत द्वारा उत्तर 2 + 5 = 7 है।

योगात्मक सिद्धांत का उपयोग तब किया जाना चाहिए जब आप एक घटना या दूसरे को करने के तरीके की गणना करना चाहते हैं, न कि दोनों एक साथ।

किसी घटना को एक साथ करने के विभिन्न तरीकों की गणना करने के लिए ("और") दूसरे के साथ - अर्थात, दोनों घटनाओं को एक साथ घटित होना चाहिए - गुणक सिद्धांत का उपयोग किया जाता है।

योगात्मक सिद्धांत की व्याख्या प्रायिकता के रूप में भी की जा सकती है: संभावना कि एक घटना A या एक घटना B होती है, जिसे P (A∪B) द्वारा निरूपित किया जाता है, यह जानते हुए कि A एक साथ B से घटित नहीं हो सकता है, P (A∪B) = P (A) + P (B) द्वारा दिया जाता है।

तीसरा उदाहरण

सिक्का उछालने पर मरने या सिर को रोल करते समय 5 पाने की संभावना क्या है?

जैसा कि ऊपर देखा गया है, सामान्य तौर पर किसी भी संख्या को मरने के समय प्राप्त करने की संभावना 1/6 है।

विशेष रूप से, 5 प्राप्त करने की संभावना भी 1/6 है। इसी तरह, सिक्का उछालने पर सिर मिलने की संभावना 1/2 है। इसलिए, पिछले प्रश्न का उत्तर P (A)B) = 1/6 + 1/2 = 2/3 है।

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