सशर्त संभावना: सूत्र और समीकरण, गुण, उदाहरण - दुदास - 2025

सशर्त संभावना एक निश्चित घटना के घटित होने की संभावना को देखते हुए एक और एक शर्त के रूप में होता है। यह अतिरिक्त जानकारी इस धारणा को संशोधित कर सकती है (या नहीं भी) कि कुछ घटित होगा।

उदाहरण के लिए, हम खुद से पूछ सकते हैं: "क्या संभावना है कि आज बारिश होगी, यह देखते हुए कि दो दिनों तक बारिश नहीं हुई है?" जिस घटना के लिए हम संभावना जानना चाहते हैं, वह यह है कि आज बारिश होती है, और अतिरिक्त जानकारी जो जवाब देती है कि "दो दिनों से बारिश नहीं हुई है।"

चित्र 1. आज होने वाली बारिश की संभावना यह देखते हुए कि कल हुई बारिश भी सशर्त संभाव्यता का एक उदाहरण है। स्रोत: पिक्साबे

संभाव्यता स्थान को Ω (नमूना स्थान), the (यादृच्छिक घटनाओं) और P (प्रत्येक घटना की संभावना), और साथ ही घटनाओं A और B से बना होने दें।

सशर्त संभावना है कि A होता है, यह देखते हुए कि B हुआ, जिसे P (A probB) के रूप में निरूपित किया गया है, इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

P (A)B) = P (A∩B) / P (B) = P (A और B) / P (B)

जहाँ: P (A) A, P (B) के होने की संभावना है, घटना B की संभावना है और 0 से भिन्न है, और P (A∩B) A और B के बीच के चौराहे की संभावना है, अर्थात्।, संभावना है कि दोनों घटनाओं (संयुक्त संभावना) होती हैं।

यह बेयर्स प्रमेय के लिए एक अभिव्यक्ति है जो दो घटनाओं पर लागू होती है, जिसे 1763 में अंग्रेजी धर्मशास्त्री और गणितज्ञ थॉमस थॉमस द्वारा प्रस्तावित किया गया था।

गुण

-सभी सशर्त संभावना 0 और 1 के बीच है:

०। पी (A│B) │ १

घटना ए घटित होने की संभावना, यह कहते हुए कि घटना घटित होती है, स्पष्ट रूप से 1 है:

P (A)A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-अगर दो घटनाएँ अनन्य हैं, अर्थात्, ऐसी घटनाएं जो एक साथ नहीं हो सकती हैं, तो सशर्त संभावना है कि उनमें से एक होता है 0, क्योंकि चौराहा शून्य है:

P (A)B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-यदि बी A का सबसेट है, तो सशर्त संभाव्यता भी 1 है:

P (B)A) = P (A∩B) / P (A) = 1

जरूरी

P (A (B) आमतौर पर P (B)A) के बराबर नहीं होता है, इसलिए हमें सशर्त संभाव्यता का पता लगाते समय घटनाओं को इंटरचेंज नहीं करना चाहिए।

गुणन का सामान्य नियम

कई बार आप सशर्त संभाव्यता के बजाय संयुक्त संभाव्यता P (A)B) को खोजना चाहते हैं। फिर, निम्नलिखित प्रमेय के माध्यम से हमारे पास:

P (A)B) = P (A और B) = P (A)B)। पी (बी)

प्रमेय को तीन घटनाओं A, B और C के लिए बढ़ाया जा सकता है:

P (A andB (C) = P (A और B और C) = P (A) P (B│A) P (C)A (B)

और विभिन्न घटनाओं के लिए भी, जैसे कि ए ₁, ए ₂, ए ₃ और अधिक, इसे निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

P (A _{1 2} A _{2 3} A ₃ …) A _n) = P (A ₁)। पी (ए ₂ │A ₁)। P (A ₃ 1A _{1 2} A ₂)… P (A _n ∩A _{1 2} A _{2 1} … A _n-1)

जब यह अनुक्रम में और विभिन्न चरणों के माध्यम से होने वाली घटनाओं का मामला है, तो डेटा को आरेख या तालिका में व्यवस्थित करना सुविधाजनक है। इससे अनुरोधित संभावना तक पहुँचने के विकल्पों की कल्पना करना आसान हो जाता है।

उदाहरण पेड़ के आरेख और आकस्मिक तालिका हैं। उनमें से एक से आप दूसरे का निर्माण कर सकते हैं।

सशर्त संभाव्यता के उदाहरण

आइए कुछ स्थितियों को देखें जिनमें एक घटना की संभावनाओं को दूसरे की घटना से बदल दिया जाता है:

- उदाहरण 1

मिठाई की दुकान में दो प्रकार के केक बेचे जाते हैं: स्ट्रॉबेरी और चॉकलेट। दोनों लिंगों के 50 ग्राहकों की प्राथमिकताओं को दर्ज करके, निम्नलिखित मूल्य निर्धारित किए गए थे:

-27 महिलाएं, जिनमें से 11 स्ट्रॉबेरी केक और 16 चॉकलेट पसंद करती हैं।

-23 पुरुष: 15 चॉकलेट और 8 स्ट्रॉबेरी चुनें।

एक ग्राहक जो चॉकलेट केक चुनता है उसकी संभावना लाप्लास नियम लागू करके निर्धारित की जा सकती है, जिसके अनुसार किसी भी घटना की संभावना है:

पी = अनुकूल घटनाओं की संख्या / घटनाओं की कुल संख्या

इस मामले में, 50 ग्राहकों में से, कुल 31 चॉकलेट पसंद करते हैं, इसलिए संभावना P = 31/50 = 0.62 होगी। यानी 62% ग्राहक चॉकलेट केक पसंद करते हैं।

लेकिन अगर ग्राहक महिला है तो क्या यह अलग होगा? यह सशर्त संभाव्यता का मामला है।

आकस्मिक तालिका

इस तरह एक आकस्मिक तालिका का उपयोग करते हुए, योग आसानी से प्रदर्शित होते हैं:

तब अनुकूल मामले देखे जाते हैं और लाप्लास नियम लागू होता है, लेकिन सबसे पहले हम घटनाओं को परिभाषित करते हैं:

-बी "महिला ग्राहक" घटना है।

-एक महिला के रूप में "पसंद चॉकलेट केक" घटना है।

हम "महिलाओं" लेबल वाले कॉलम पर जाते हैं और वहां हम देखते हैं कि कुल 27 हैं।

फिर "चॉकलेट" पंक्ति में अनुकूल मामला मांगा गया है। इन घटनाओं में से 16 हैं, इसलिए मांगी गई संभावना है, सीधे:

P (A9B) = 16/27 = 0.5924

59.24% महिला ग्राहक चॉकलेट केक पसंद करती हैं।

यह मान तब मेल खाता है जब हम इसे सशर्त संभाव्यता की शुरुआत में दी गई परिभाषा से विपरीत करते हैं:

P (A)B) = P (A∩B) / P (B)

हम लाप्लास नियम और तालिका मानों का उपयोग करना सुनिश्चित करते हैं:

पी (बी) = 27/50

पी (ए और बी) = 16/50

जहां पी (ए और बी) संभावना है कि ग्राहक चॉकलेट पसंद करता है और एक महिला है। अब मूल्यों को प्रतिस्थापित किया जाता है:

P (A)B) = P (A और B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0.5924।

और यह सिद्ध है कि परिणाम समान है।

- उदाहरण २

इस उदाहरण में गुणा का नियम लागू होता है। मान लीजिए कि एक स्टोर में प्रदर्शन पर तीन आकारों में पैंट हैं: छोटे, मध्यम और बड़े।

कुल 24 पैंटों के साथ, जिनमें से प्रत्येक के आकार के 8 हैं और सभी मिश्रित हैं, उनमें से दो को निकालने की संभावना क्या होगी और वे दोनों छोटे थे?

यह स्पष्ट है कि पहले प्रयास में एक छोटी पैंट को हटाने की संभावना 8/24 = 1/3 है। अब, पहली घटना पर दूसरा निष्कर्षण सशर्त है, जब पैंट की एक जोड़ी को निकालते हैं, तो अब 24 नहीं होते हैं, लेकिन 23. और अगर एक छोटी पैंट को हटा दिया जाता है, तो 8 के बजाय 7 होते हैं।

इवेंट ए एक छोटी पैंट को खींच रहा है, पहली कोशिश में दूसरे को खींच लिया है। और इवेंट बी पहली बार छोटी पैंट के साथ एक है। इस प्रकार:

पी (बी) = 1/3; P (A│B) = 7/24

अंत में, गुणन नियम का उपयोग कर:

P (A.B) = (7/24)। (1/3) = 7/72 = 0.097

व्यायाम हल किया

वाणिज्यिक हवाई उड़ानों पर समय की पाबंदी के अध्ययन में, निम्नलिखित आंकड़े उपलब्ध हैं:

-पी (बी) = 0.83, संभावना है कि एक विमान समय पर उड़ान भरता है।

-पी (ए) = 0.81, समय पर लैंडिंग की संभावना है।

-पी (BabilityA) = 0.78 संभावना है कि उड़ान समय पर उड़ान भरने के समय पर आती है।

यह गणना करने के लिए कहा जाता है:

क) क्या संभावना है कि विमान समय पर उतरेगा कि उसने समय पर उड़ान भरी?

ख) क्या उपरोक्त संभावना वही है जो आपने समय पर छोड़ी थी यदि आप समय पर उतरने में कामयाब रहे?

ग) और अंत में: क्या संभावना है कि यह समय पर पहुंचेगा जो इसे समय पर नहीं छोड़ा गया था?

चित्रा 2. वाणिज्यिक उड़ानों पर समय की पाबंदी महत्वपूर्ण है, क्योंकि देरी से लाखों डॉलर का नुकसान होता है। स्रोत: पिक्साबे

का हल

प्रश्न का उत्तर देने के लिए सशर्त संभाव्यता की परिभाषा का उपयोग किया जाता है:

P (A)B) = P (A∩B) / P (B) = P (A और B) / P (B) = 0.78 / 0.83 = 0.9398

समाधान b

इस मामले में परिभाषा में घटनाओं का आदान-प्रदान किया जाता है:

P (B)A) = P (A∩B) / P (A) = P (A और B) / P (A) = 0.78 / 0.81 = 0.9630

ध्यान दें कि यह संभावना पिछले एक से थोड़ी अलग है, जैसा कि हमने पहले बताया।

समाधान c

समय पर नहीं छोड़ने की संभावना 1 है - पी (बी) = 1 - 0.83 = 0.17, हम इसे पी (बी ^सी) कहेंगे, क्योंकि यह समय पर उतारने के लिए पूरक घटना है। मांगी गई सशर्त संभावना है:

P (A∩B ^C) = P (A│B ^C) / P (B ^C) = P (A और B ^C) / P (B ^C)

दूसरी ओर:

P (A timeB ^C) = P (समय पर उतरना) - P (समय पर उतरना और समय पर उतरना) = 0.81-0.78 = 0.03

इस मामले में मांगी गई सशर्त संभावना है:

P (A17B ^C) = 0.03 / 0.17 = 0.1765

संदर्भ

1. Canavos, जी। 1988. संभाव्यता और सांख्यिकी: अनुप्रयोग और विधियाँ। मैकग्रा हिल।
2. डेवोर, जे। 2012. इंजीनियरिंग और विज्ञान के लिए संभावना और सांख्यिकी। 8। संस्करण। Cengage।
3. लिप्सकुट्ज़, एस। 1991. शेम सीरीज़: प्रायिकता। मैकग्रा हिल।
4. ओब्रेगॉन, आई। 1989. संभाव्यता का सिद्धांत। संपादकीय लिमूसा।
5. Walpole, R. 2007. इंजीनियरिंग और विज्ञान के लिए संभावना और सांख्यिकी। पियर्सन।
6. विकिपीडिया। सशर्त संभाव्यता। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.org।