क्रॉस उत्पाद: गुण, अनुप्रयोग और अभ्यास - गणित - 2025

पार उत्पाद या वेक्टर उत्पाद दो या अधिक वैक्टर गुणा करने का एक तरीका है। वैक्टर को गुणा करने के तीन तरीके हैं, लेकिन इनमें से कोई भी शब्द के सामान्य अर्थों में गुणा नहीं है। इन रूपों में से एक वेक्टर उत्पाद के रूप में जाना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक तीसरा वेक्टर होता है।

क्रॉस उत्पाद, जिसे क्रॉस उत्पाद या बाहरी उत्पाद भी कहा जाता है, में विभिन्न बीजीय और ज्यामितीय गुण होते हैं। ये गुण विशेष रूप से भौतिकी के अध्ययन के संदर्भ में बहुत उपयोगी हैं।

परिभाषा

वेक्टर उत्पाद की एक औपचारिक परिभाषा निम्नलिखित है: यदि A = (a1, a2, a3) और B = (b1, b2, b3) वैक्टर हैं, तो A और B का वेक्टर उत्पाद, जिसे हम AxB के रूप में निरूपित करेंगे:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - abb3, a1b2 - a2b1)

एक्सबी नोटेशन के कारण, इसे "ए क्रॉस बी" के रूप में पढ़ा जाता है।

बाहरी उत्पाद का उपयोग करने का एक उदाहरण है कि यदि A = (1, 2, 3) और B = (3, -2, 4) वैक्टर हैं, तो हमारे पास एक वेक्टर उत्पाद की परिभाषा का उपयोग करना होगा:

एक्सबी = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

एक्सबी = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8)।

वेक्टर उत्पाद को व्यक्त करने का एक और तरीका निर्धारकों के अंकन द्वारा दिया गया है।

एक दूसरे आदेश निर्धारक की गणना निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:

इसलिए, परिभाषा में दिए गए क्रॉस उत्पाद का सूत्र निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

यह आमतौर पर तीसरे क्रम के निर्धारक में सरल किया जाता है:

जहाँ i, j, k वे वैक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं जो R ³ का आधार बनाते हैं ।

क्रॉस उत्पाद को व्यक्त करने के इस तरीके का उपयोग करते हुए, हमारे पास यह है कि पिछले उदाहरण को फिर से लिखा जा सकता है:

गुण

वेक्टर उत्पाद के कुछ गुण निम्नलिखित हैं:

संपत्ति १

यदि A R ³ में कोई वेक्टर है, तो हमारे पास है:

- अक्ष = ०

- अक्ष ० = ०

- 0xA = 0

इन गुणों को केवल परिभाषा का उपयोग करके जांचना आसान है। यदि A = (a1, a2, a3) हमारे पास है:

एक्सा = (a2a3 - a3a2, a3a1 - aaa3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0।

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0।

यदि i, j, k R ³ की इकाई आधार का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो हम उन्हें निम्नानुसार लिख सकते हैं:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

के = (0, 0, 1)

इसलिए, हमारे पास यह है कि निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

एक सर्वव्यापी नियम के रूप में, निम्नलिखित चक्र का उपयोग अक्सर इन गुणों को याद रखने के लिए किया जाता है:

वहाँ हमें ध्यान देना चाहिए कि कोई भी वेक्टर अपने आप को वेक्टर 0 देता है, और बाकी उत्पादों को निम्नलिखित नियम से प्राप्त किया जा सकता है:

घड़ी की दिशा में दो लगातार वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद अगले वेक्टर को देता है; और जब काउंटर-दक्षिणावर्त दिशा पर विचार किया जाता है, तो परिणाम निम्न वेक्टर एक नकारात्मक संकेत के साथ होता है।

इन गुणों के लिए धन्यवाद हम देख सकते हैं कि वेक्टर उत्पाद सराहनीय नहीं है; उदाहरण के लिए, बस ध्यान दें कि ixj, jx i। निम्नलिखित संपत्ति हमें बताती है कि एक्सबी और बीएक्सए सामान्य रूप से कैसे संबंधित हैं।

संपत्ति २

यदि A और B R ^{3 के} वैक्टर हैं, तो हमारे पास हैं:

एक्सबी = - (बीएक्सए)।

प्रदर्शन

यदि A = (a1, a2, a3) और B = (b1, b2, b3) बाहरी उत्पाद की परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - abb3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA)।

हम यह भी देख सकते हैं कि यह उत्पाद निम्नलिखित उदाहरण के साथ संबद्ध नहीं है:

ix (ixj) = ixk = - j लेकिन (ixi) xj = 0xj = 0

इससे हम देख सकते हैं कि:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

संपत्ति ३

यदि A, B, C R ^{3 के} वैक्टर हैं और r एक वास्तविक संख्या है, तो निम्नलिखित सत्य है:

- एक्स (बी + सी) = एक्सबी + एक्ससी

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

इन गुणों के लिए धन्यवाद हम बीजगणित के नियमों का उपयोग करके वेक्टर उत्पाद की गणना कर सकते हैं, बशर्ते कि आदेश का सम्मान किया जाए। उदाहरण के लिए:

यदि ए = (1, 2, 3) और बी = (3, -2, 4), तो हम उन्हें आर ³ के विहित आधार के संदर्भ में फिर से लिख सकते हैं ।

इस प्रकार, A = i + 2j + 3k और B = 3i - 2j + 4k। फिर, पिछले गुणों को लागू करना:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - २ (ixj) + ४ (ixk) + ६ (jxi) - ४ (jxj) + i (jxk) + ९ (kxi) - ६ (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8)।

संपत्ति 4 (ट्रिपल डॉट उत्पाद)

जैसा कि हमने शुरुआत में उल्लेख किया है, वेक्टर उत्पाद के अलावा वैक्टर को गुणा करने के अन्य तरीके हैं। इन तरीकों में से एक अदिश उत्पाद या आंतरिक उत्पाद है, जिसे ए whose बी के रूप में दर्शाया गया है और जिसकी परिभाषा है:

यदि A = (a1, a2, a3) और B = (b1, b2, b3), तो A b B = a1b1 + a2b2 + a3b3

वह संपत्ति जो दोनों उत्पादों से संबंधित है, को ट्रिपल स्केलर उत्पाद के रूप में जाना जाता है।

यदि A, B, और C R ^{3 के} वैक्टर हैं, तो A C BxC = AxB। C

एक उदाहरण के रूप में, आइए देखते हैं कि, ए = (1, 1, - 2), बी = (- 3, 4, 2) और सी = (- 5, 1, - 4), यह संपत्ति संतुष्ट है।

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 9k

ए - बीएक्ससी = (1, 1, - 2) - (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) = (17) = - 74

दूसरी ओर:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

एक्सबी ∙ सी = (10, 4, 7) - (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

एक और ट्रिपल उत्पाद एक्स (बीएक्ससी) है, जिसे ट्रिपल वेक्टर उत्पाद के रूप में जाना जाता है।

संपत्ति 5 (ट्रिपल वेक्टर उत्पाद)

यदि A, B और C R ^{3 के} वैक्टर हैं, तो:

कुल्हाड़ी (बीएक्ससी) = (ए B सी) बी - (ए C बी) सी

एक उदाहरण के रूप में, आइए देखते हैं कि, ए = (1, 1, - 2), बी = (- 3, 4, 2) और सी = (- 5, 1, - 4), यह संपत्ति संतुष्ट है।

पिछले उदाहरण से हम जानते हैं कि BxC = (- 18, - 22, 17)। आइए एक्स (बीएक्ससी) की गणना करें:

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

दूसरी ओर, हमें निम्न करना होगा:

A) C = (1, 1, - 2) - (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) + (- 1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A) B = (1, 1, - 2) - (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

इस प्रकार, हमें निम्न करना होगा:

(A) C) B - (A C B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3,) - 12) = (- 27,19, -4)

संपत्ति ६

यह वैक्टर के ज्यामितीय गुणों में से एक है। यदि A और B R ³ में दो वैक्टर हैं और then उनके बीच का कोण है, तो:

- एएक्सबी-- = - ए ---- बी - पाप (,), जहां - den - एक वेक्टर के मापांक या परिमाण को दर्शाता है।

इस संपत्ति की ज्यामितीय व्याख्या इस प्रकार है:

A = PR और B = PQ करें। तो वैक्टर A और B द्वारा निर्मित कोण त्रिभुज RQP का कोण P है, जैसा कि निम्न आकृति में दिखाया गया है।

इसलिए, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसमें PR और PQ आसन्न भुजाओं के रूप में है - A ---- B - sin (the), क्योंकि हम आधार के रूप में --A-- ले सकते हैं और इसकी ऊँचाई इसके द्वारा दी गई है - बी - पाप (ϴ)।

इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि - AxB-- उक्त समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र है।

उदाहरण

चतुर्भुज P (1, -2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) और S (5,7, -3) के निम्नलिखित सिरों को देखते हुए कहा कि चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है और इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

इसके लिए हम पहले वैक्टर का निर्धारण करते हैं जो चतुर्भुज के पक्षों की दिशा निर्धारित करते हैं। ये है:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

बी = पीआर = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

सी = आरएस = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

जैसा कि हम देख सकते हैं, ए और सी में एक ही निर्देशक वेक्टर है, जिसके लिए हमारे पास यह है कि दोनों समानांतर हैं; वही बी और डी के साथ होता है। इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।

इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल होने के लिए, हम BxA की गणना करते हैं:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - ६ आई - २ जे -। के।

इसलिए, क्षेत्र चुकता किया जाएगा:

- बीएक्सए-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89।

यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि समानांतर चतुर्भुज क्षेत्र 89 का वर्गमूल होगा।

संपत्ति 7

दो वैक्टर ए और बी आर ³ में समानांतर हैं यदि और केवल अगर एक्सबी = 0

प्रदर्शन

यह स्पष्ट है कि यदि A या B अशक्त वेक्टर है, तो यह पूर्ण हो जाता है कि AxB = 0. क्योंकि शून्य वेक्टर किसी अन्य वेक्टर के समानांतर है, तो संपत्ति वैध है।

यदि दोनों वैक्टर में से कोई भी शून्य वेक्टर नहीं है, तो हमारे पास यह है कि उनके परिमाण शून्य से अलग हैं; वह है, दोनों - A-- and 0 और --B-- A 0, इसलिए हमारे पास होगा - AxB-- = 0 यदि और केवल यदि पाप (ϴ) = 0, और यह तब होता है और यदि केवल Π = π या ϴ = 0।

इसलिए, हम एक्सबी = 0 को समाप्त कर सकते हैं यदि और केवल अगर π = ϴ या can = 0, जो केवल तब होता है जब दोनों वैक्टर एक दूसरे के समानांतर होते हैं।

संपत्ति 8

यदि R ³ में A और B दो वैक्टर हैं, तो AxB A और B दोनों के लिए लंबवत है।

प्रदर्शन

इस प्रमाण के लिए आइए याद रखें कि दो वैक्टर लंबवत हैं यदि A equal B शून्य के बराबर है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि:

A but AxB = AxA, B, लेकिन AxA 0. के बराबर है। इसलिए, हमारे पास:

ए = एक्सबी = 0 = बी = 0।

इसके द्वारा हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि A और AxB एक दूसरे के लंबवत हैं। इसके अनुरूप, हमें निम्न करना होगा:

एक्सबी। बी = ए x बीएक्सबी।

BxB = 0 के बाद से, हमारे पास:

एक्सबी। बी = ए = ० = ०।

इसलिए, एक्सबी और बी एक दूसरे के लंबवत हैं और इसके साथ ही संपत्ति का प्रदर्शन किया जाता है। यह हमारे लिए बहुत उपयोगी है, क्योंकि वे हमें एक समतल के समीकरण को निर्धारित करने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण 1

P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) और R (2, 1, 3) के बीच से गुजरने वाले समतल का एक समीकरण प्राप्त करें।

A = QR = (2 - 3.1 + 2, 3 - 2) और B = PR = (2 - 1.1 - 3, 3 - 2)। फिर A = - i + 3j + k और B = i - 2j + k। इन तीन बिंदुओं द्वारा निर्मित विमान को खोजने के लिए, यह एक वेक्टर को खोजने के लिए पर्याप्त है जो विमान के लिए सामान्य है, जो कि एक्ससीबी है।

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k।

इस वेक्टर के साथ, और बिंदु P (1, 3, 2) को लेते हुए, हम विमान का समीकरण निम्नानुसार निर्धारित कर सकते हैं:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

इस प्रकार, हमारे पास है कि विमान का समीकरण 5x + 2y - z - 9 = 0 है।

उदाहरण 2

उस विमान का समीकरण ज्ञात करें जिसमें बिंदु P (4, 0, - 2) है और जो कि प्रत्येक विमान x - y + z = 0 और 2x + y - 4z - 5 = 0 में से प्रत्येक के लंबवत है।

यह जानते हुए कि एक हवाई जहाज़ कुल्हाड़ी से + cz + d = 0 एक सामान्य वेक्टर (a, b, c) है, हमारे पास वह (1, -1,1) x - y + z = 0 y () का एक सामान्य वेक्टर है 2,1, - 4) 2x + y - 4z - 5 = 0 का एक सामान्य वेक्टर है।

इसलिए मांगे गए विमान का एक सामान्य वेक्टर (1, -1,1) और (2, 1, - 4) के लिए लंबवत होना चाहिए। यह वेक्टर है:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k।

फिर, हमारे पास यह है कि मांगने वाला विमान वह है जिसमें बिंदु P (4,0, - 2) होता है और इसमें वेक्टर (3,6,3) सामान्य वेक्टर के रूप में होता है।

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0।

अनुप्रयोग

एक समानांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना

एक अनुप्रयोग जिसमें ट्रिपल स्केलर उत्पाद है, एक समानांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना करने में सक्षम है, जिसके किनारों को वैक्टर A, B और C द्वारा दिया गया है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:

हम इस एप्लिकेशन को निम्नानुसार घटा सकते हैं: जैसा कि हमने पहले कहा, वेक्टर एक्सबी एक वेक्टर है जो ए और बी के विमान के लिए सामान्य है। हमारे पास यह भी है कि वेक्टर - (एक्सबी) उस विमान के लिए एक और वेक्टर सामान्य है।

हम सामान्य वेक्टर चुनते हैं जो वेक्टर सी के साथ सबसे छोटा कोण बनाता है; सामान्यता के नुकसान के बिना, एक्सबी को वेक्टर माना जाता है जिसका सी के साथ कोण सबसे छोटा है।

हमारे पास है कि एक्सबी और सी दोनों में एक ही शुरुआती बिंदु है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जो समांतर चतुर्भुज का आधार है, वह है - AxB--। इसलिए, यदि समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई h द्वारा दी गई है, तो हमारे पास इसकी मात्रा होगी:

वी = - एएक्सबी - एच।

दूसरी ओर, आइए एक्सबी और सी के बीच डॉट उत्पाद पर विचार करें, जिसे निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

हालाँकि, त्रिकोणमितीय गुणों से हमारे पास h = --C - cos (ϴ) है, इसलिए हमारे पास है:

इस तरह, हमारे पास यह है:

सामान्य शब्दों में, हमारे पास यह है कि एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन ट्रिपल स्केलर उत्पाद AxB Ax C के पूर्ण मान द्वारा दिया जाता है।

हल किया अभ्यास

अभ्यास 1

P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) और S = (2, 6, 9) के बिंदुओं को देखते हुए, ये बिंदु एक समानांतर रेखा बनाते हैं जिनके किनारों वे पीक्यू, पीआर और पीएस हैं। उक्त समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए।

उपाय

यदि हम लेते हैं:

- ए = पीक्यू = (-1, 6, 1)

- बी = पीआर = (-4, 4, 2)

- सी = पीएस = (-3, 2, 2)

ट्रिपल स्केलर उत्पाद संपत्ति का उपयोग करना, हमारे पास है:

एक्सबी = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20)।

एक्सबी ∙ सी = (8, -2, 20) -3 (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52।

इसलिए, हमारे पास कहा गया है कि कहा गया आयताकार का आयतन 52 है।

व्यायाम २

एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए जिसके किनारे A = PQ, B = PR और C = PS द्वारा दिए गए हैं, जहाँ बिंदु P, Q, R और S हैं (1, 3, 4), (3, 5, 3)। (2, 1, 6) और (2, 2, 5), क्रमशः।

उपाय

पहले हमारे पास ए = (2, 2, -1), बी = (1, -2, 2), सी = (1, -1, 1) है।

हम एक्सबी = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6) की गणना करते हैं।

तब हम एक्सबी: सी की गणना करते हैं:

एक्सबी) सी = (2, -5, -6) 1 (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1।

इस प्रकार हम निष्कर्ष निकालते हैं कि कहा गया समानांतर चतुर्भुज की मात्रा 1 घन इकाई है।

संदर्भ

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