नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग: विधियाँ और अभ्यास - गणित - 2025

Nonlinear प्रोग्रामिंग एक समारोह है कि कई स्वतंत्र चर, जो बारी में प्रतिबंधों के अधीन हैं पर निर्भर करता है के अनुकूलन की प्रक्रिया है।

यदि एक या अधिक बाधाएं, या यदि फ़ंक्शन को अधिकतम या न्यूनतम (उद्देश्य फ़ंक्शन कहा जाता है), चर के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त नहीं किया जाता है, तो आपको एक nonlinear प्रोग्रामिंग समस्या है।

चित्रा 1. नॉनलाइनर प्रोग्रामिंग समस्या (एनएलपी)। जहां G, (गैर-रेखीय) हरे रंग के क्षेत्र में अनुकूलन करने का कार्य करता है, जो बाधाओं द्वारा निर्धारित होता है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

और इसलिए रैखिक प्रोग्रामिंग की प्रक्रियाओं और विधियों का उपयोग नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, सुप्रसिद्ध सिम्प्लेक्स विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है, जो केवल तब लागू होता है जब उद्देश्य फ़ंक्शन और बाधाएं समस्या में चर के सभी रैखिक संयोजन होते हैं।

रैखिक प्रोग्रामिंग के तरीके

गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग समस्याओं के लिए उपयोग किए जाने वाले मुख्य तरीके हैं:

1.- ग्राफिक तरीके।

2.- समाधान क्षेत्र की सीमा का पता लगाने के लिए मल्टीप्लायरों की व्यवस्था करें।

3.- वस्तुनिष्ठ फ़ंक्शन के चरम का पता लगाने के लिए ढाल की गणना।

4.- शून्य ढाल बिंदुओं को खोजने के लिए अवरोही चरणों की विधि।

5.- लाग्रेंज मल्टीप्लायरों की संशोधित विधि (करुश-कुह्न-टकर स्थिति के साथ)।

चित्रमय विधि के साथ समाधान का उदाहरण

चित्रमय विधि के साथ समाधान का एक उदाहरण वह है जिसे आकृति 2 में देखा जा सकता है:

चित्रा 2. गैर-रैखिक प्रतिबंध और इसके चित्रमय समाधान के साथ एक गैर-रैखिक समस्या का उदाहरण। स्रोत: एफ। ज़पाटा

अभ्यास

- व्यायाम 1 (ग्राफिक विधि)

एक निश्चित कंपनी का लाभ G, उत्पाद X की बेची गई राशि और उत्पाद Y की बेची गई राशि पर निर्भर करता है, इसके अलावा, लाभ निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

G = 2 (X - 2) ² + 3 (Y - 3) ²

एमाउंट एक्स और वाई को निम्नलिखित प्रतिबंधों के लिए जाना जाता है:

X≥0; Y0 और X + Y + 7

एक्स और वाई के मूल्यों को निर्धारित करें जो अधिकतम लाभ प्राप्त करते हैं।

चित्रा 3. एक फर्म के लाभ को गणितीय रूप से गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग का उपयोग करके अधिकतम लाभ खोजने के लिए तैयार किया जा सकता है। स्रोत: पिक्साबे

उपाय

इस समस्या में वस्तुनिष्ठ क्रिया गैर-रैखिक होती है, जबकि असमानताएं जो बाधाओं को परिभाषित करती हैं। यह एक nonlinear प्रोग्रामिंग समस्या है।

इस समस्या के समाधान के लिए, ग्राफिक पद्धति को चुना जाएगा।

सबसे पहले, समाधान क्षेत्र निर्धारित किया जाएगा, जो प्रतिबंधों द्वारा दिया गया है।

X As0 के रूप में; Y0, समाधान XY विमान के पहले चतुर्थांश में पाया जाना है, लेकिन चूंकि यह भी सच होना चाहिए कि X + Y + 7, समाधान लाइन X + Y = 7 के निचले आधे विमान में है।

समाधान क्षेत्र लाइन के निचले आधे विमान के साथ पहले चतुर्थांश का चौराहा है, जिसके परिणामस्वरूप एक त्रिकोणीय क्षेत्र होता है जहां समाधान पाया जाता है। यह आकृति 1 में बताए अनुसार ही है।

दूसरी ओर, लाभ जी को कार्टेशियन विमान में भी दर्शाया जा सकता है, क्योंकि इसका समीकरण केंद्र (2,3) वाले दीर्घवृत्त का है।

जी के विभिन्न मूल्यों के लिए दीर्घवृत्त को चित्र 1 में दिखाया गया है। जी का मूल्य जितना अधिक होगा, उतना अधिक लाभ होगा।

ऐसे समाधान हैं जो क्षेत्र से संबंधित हैं, लेकिन अधिकतम G मान नहीं देते हैं, जबकि अन्य, जैसे G = 92.4, ग्रीन ज़ोन के बाहर हैं, यानी समाधान क्षेत्र।

फिर, G का अधिकतम मान, जैसे कि X और Y समाधान क्षेत्र से संबंधित हैं:

जी = 77 (अधिकतम लाभ), जो एक्स = 7 और वाई = 0 के लिए दिया जाता है।

दिलचस्प है, अधिकतम लाभ तब होता है जब उत्पाद Y की बिक्री राशि शून्य होती है, जबकि उत्पाद X की मात्रा इसके उच्चतम संभव मूल्य तक पहुंच जाती है।

- व्यायाम 2 (विश्लेषणात्मक विधि: लग्र गुणक)

क्षेत्र x (x, y) = x ² + 2y ² को क्षेत्र g (x, y) = x ² + y ² - 1 = 0 में अधिकतम करने वाला हल (x, y) ज्ञात कीजिए ।

उपाय

यह स्पष्ट रूप से एक गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या है, क्योंकि दोनों उद्देश्य फ़ंक्शन f (x, y) और प्रतिबंध जी (x, y) = 0, चर x और y के रैखिक संयोजन नहीं हैं।

लैग्रेग मल्टीप्लायर विधि का उपयोग किया जाएगा, जिसे पहले लैग्रेंज फ़ंक्शन एल (x, y, λ) को परिभाषित करने की आवश्यकता होती है:

L (x, y, λ) = f (x, y) - λ g (x, y) = x ² + 2y ² - λ (x ² + y ² - 1)

जहां λ एक पैरामीटर है, जिसे लैग्रेंज गुणक कहा जाता है।

उद्देश्य फ़ंक्शन च के चरम मूल्यों को निर्धारित करने के लिए, प्रतिबंध जी (x, y) = 0 द्वारा दिए गए समाधान क्षेत्र में, इन चरणों का पालन करें:

-X, y, λ के संबंध में लैगरेंज फ़ंक्शन एल के आंशिक डेरिवेटिव को निर्धारित करें।

प्रत्येक व्युत्पन्न को शून्य में बदलें।

यहाँ इन कार्यों का क्रम है:

1. ∂L / ∂x = 2x - 2λx = 0
2. ∂L / ∂y = 4y - 2λy = 0
3. ∂L / ∂λ = - (x ² + y ² - 1) = 0

संभव प्रणाली समाधान

इस प्रणाली का एक संभावित समाधान λ = 1 है ताकि पहला समीकरण संतुष्ट हो, जिस स्थिति में y = 0 ताकि दूसरा संतुष्ट हो।

इस समाधान से तात्पर्य है कि तीसरे समीकरण के संतुष्ट होने के लिए x = 1 या x = -1। इस तरह, S1 और S2 के दो समाधान प्राप्त हुए हैं:

S1: (x = 1, y = 0)

S2: (x = -1, y = 0)।

दूसरा विकल्प यह है कि λ = 2 ताकि y मान की परवाह किए बिना दूसरा समीकरण संतुष्ट हो।

इस मामले में, पहले समीकरण के संतुष्ट होने का एकमात्र तरीका x = 0 है। तीसरे समीकरण को ध्यान में रखते हुए, केवल दो संभावित समाधान हैं, जिसे हम S3 और S4 कहेंगे:

S3: (x = 0, y = 1)

S4: (x = 0, y = -1)

यह जानने के लिए कि इनमें से कौन सा या कौन सा समाधान उद्देश्य फ़ंक्शन को अधिकतम करता है, हम f (x, y) में स्थानापन्न करते हैं:

S1: f (1, 0) = 1 ² + 2.0 ² = 1

S2: f (-1, 0) = (-1) ² + 2.0 ² = 1

S3: f (0, 1) = 0 ² + 2.1 ² = 2

S4: f (0, -1) = 0 ² + 2 (-1) ² = 2

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि x और y, परिधि g (x, y) = 0 से समाप्‍त होने वाले समाधान S3 और S4 हैं।

समाधान क्षेत्र g (x, y) = 0 में मानों की जोड़ी (x = 0, y = 1) और (x = 0, y = -1) अधिकतम f (x, y) है।

- व्यायाम 3 (अशक्त ढाल)

उद्देश्य फ़ंक्शन के लिए समाधान (x, y) खोजें:

f (x, y) = x ² + 2 y ²

आज्ञा दें क्षेत्र में अधिकतम हो (x, y) = x ² + y ² - 1 in 0।

उपाय

यह अभ्यास 2 व्यायाम के समान है, लेकिन समाधान (या प्रतिबंध) क्षेत्र परिधि g (x, y) = 0 के आंतरिक क्षेत्र तक फैला है, जिसे सर्कल g (x, y) say 0. कहना है। परिधि और उसके आंतरिक क्षेत्र के लिए।

सीमा पर समाधान पहले से ही अभ्यास 2 में निर्धारित किया गया है, लेकिन आंतरिक क्षेत्र का पता लगाया जाना बाकी है।

ऐसा करने के लिए, फ़ंक्शन f (x, y) के ग्रेडिएंट को गणना और शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए, ताकि समाधान क्षेत्र में चरम मान मिल सके। यह क्रमशः x और y के संबंध में f के आंशिक डेरिवेटिव की गणना करने और शून्य के बराबर सेट करने के बराबर है:

∂f / ∂x = 2 x = 0

∂f / ∂y = 4 y = 0

समीकरणों की इस प्रणाली का एकमात्र समाधान (x = 0, y = 0) है जो सर्कल g (x, y) has 0 से संबंधित है।

फ़ंक्शन के परिणाम में इस मान को प्रतिस्थापित करना:

f (0, 0) = 0

निष्कर्ष में, समाधान क्षेत्र में फ़ंक्शन का अधिकतम मान 2 है और मानों के लिए समाधान क्षेत्र की सीमा पर होता है (x = 0, y = 1) और (x = 0, y = -1) ।

संदर्भ

1. एविरियल, एम। 2003. नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग। प्रकाशन प्रकाशन।
2. Bazaraa। 1979. नॉनलाइनर प्रोग्रामिंग। जॉन विले एंड संस।
3. बर्टसेकस, डी। 1999। नॉनलाइनर प्रोग्रामिंग: 2 डी संस्करण। एथेना वैज्ञानिक।
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5. विकिपीडिया। नॉनलाइनर प्रोग्रामिंग। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com