बीजगणित की संपत्ति लॉक करें: सबूत, उदाहरण - गणित - 2025

बीजगणित की लॉक संपत्ति एक घटना है जो एक ऑपरेशन के साथ सेट के दो तत्वों से संबंधित है, जहां आवश्यक स्थिति यह है कि, 2 तत्वों को उक्त ऑपरेशन के तहत संसाधित करने के बाद, परिणाम भी प्रारंभिक सेट के अंतर्गत आता है।

उदाहरण के लिए, यदि हम सम संख्या और समुच्चय को एक संक्रिया के रूप में लेते हैं, तो हम योग के संबंध में उस समुच्चय का ताला प्राप्त करते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि 2 सम संख्याओं का योग हमेशा एक और सम संख्या प्राप्त करेगा, इस प्रकार लॉक स्थिति को पूरा करेगा।

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विशेषताएँ

कई गुण हैं जो बीजीय रिक्त स्थान या निकायों को निर्धारित करते हैं, जैसे संरचनाएं या छल्ले। हालाँकि, लॉक प्रॉपर्टी बेसिक बीजगणित में सबसे अच्छी तरह से जानी जाती है।

इन गुणों के सभी अनुप्रयोग संख्यात्मक तत्वों या घटनाओं पर आधारित नहीं हैं। कई दैनिक उदाहरणों को शुद्ध बीजगणितीय-सैद्धांतिक दृष्टिकोण से काम किया जा सकता है।

एक उदाहरण किसी ऐसे देश के नागरिक हो सकते हैं जो किसी भी तरह के कानूनी रिश्ते को मानते हैं, जैसे कि वाणिज्यिक साझेदारी या दूसरों के बीच विवाह। इस ऑपरेशन या प्रबंधन को अंजाम देने के बाद वे देश के नागरिक बने रहते हैं। इस तरह दो नागरिकों के संबंध में नागरिकता और प्रबंधन संचालन एक लॉक का प्रतिनिधित्व करते हैं।

संख्यात्मक बीजगणित

संख्याओं के संबंध में, कई पहलू हैं जो गणित और बीजगणित की विभिन्न धाराओं में अध्ययन का विषय रहे हैं। इन अध्ययनों से बड़ी संख्या में स्वयंसिद्ध और प्रमेय उभरे हैं जो समकालीन अनुसंधान और कार्य के लिए सैद्धांतिक आधार के रूप में कार्य करते हैं।

यदि हम संख्यात्मक सेट के साथ काम करते हैं तो हम लॉक संपत्ति के लिए एक और वैध परिभाषा स्थापित कर सकते हैं। एक सेट A को दूसरे सेट B का लॉक कहा जाता है यदि A सबसे छोटा सेट है जिसमें B के सभी सेट और ऑपरेशन शामिल हैं।

प्रदर्शन

वास्तविक संख्या आर के सेट में मौजूद तत्वों और संचालन के लिए लॉक प्रूफ लगाया जाता है।

A और B दो संख्याएँ हैं जो सेट R से संबंधित हैं, इन तत्वों को बंद करना R में निहित प्रत्येक ऑपरेशन के लिए परिभाषित किया गया है।

योग

- सम: Sum ए ∈ बी: आर → ए + बी = सी। आर

यह कहने का बीजगणितीय तरीका है कि सभी ए और बी के लिए जो वास्तविक संख्याओं से संबंधित हैं, हमारे पास है कि ए प्लस बी का योग सी के बराबर है, जो वास्तविक लोगों से भी संबंधित है।

यह जाँचना आसान है कि क्या यह प्रस्ताव सत्य है; यह किसी भी वास्तविक संख्या के बीच की राशि निकालने के लिए पर्याप्त है और सत्यापित करें कि क्या परिणाम भी वास्तविक संख्याओं से संबंधित है।

3 + 2 = 5। आर

-2 + (-7) = -9 (आर

-3 + 1/3 = -8/3 1/ आर

5/2 + (-2/3) = 11/6 -2 R

यह देखा गया है कि वास्तविक संख्या और योग के लिए लॉक की शर्त पूरी होती है। इस तरह यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है: वास्तविक संख्याओं का योग एक बीजीय ताला है।

गुणन

- गुणन:: A ip B A. R → A बी = सी = आर

सभी ए और बी के लिए जो कि वास्तविक से संबंधित है, हमारे पास है कि ए द्वारा बी का गुणा सी के बराबर है, जो कि वास्तविक से भी संबंधित है।

पिछले उदाहरण के समान तत्वों के साथ सत्यापन करते समय, निम्न परिणाम देखे जाते हैं।

3 x 2 = 6। आर

-2 x (-7) = 14। आर

-3 x 1/3 = -1। आर

5/2 x (-2/3) = -5/3 -2 R

यह निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त सबूत है कि: वास्तविक संख्याओं का गुणा एक बीजीय ताला है।

इस परिभाषा को वास्तविक संख्याओं के सभी परिचालनों तक बढ़ाया जा सकता है, हालांकि हमें कुछ अपवाद मिलेंगे।

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विशेष मामलों में आर

विभाजन

पहला विशेष मामला विभाजन है, जहां निम्न अपवाद देखा जाता है:

∀ ए ∀ बी ∈ आर → ए / बी ↔ आर 0 बी = ०

सभी ए और बी के लिए जो आर से संबंधित हैं, हमारे पास है कि ए बी के बीच के दायरे से संबंधित नहीं है अगर और केवल अगर बी शून्य के बराबर है।

यह मामला शून्य से विभाजित करने में सक्षम नहीं होने के प्रतिबंध को संदर्भित करता है। क्योंकि शून्य वास्तविक संख्याओं से संबंधित है, तो यह निम्नानुसार है: विभाजन वास्तविक पर एक ताला नहीं है।

फाइलिंग

पोटेंशिएशन ऑपरेशन भी होते हैं, विशेष रूप से रेडिकलाइजेशन के, जहाँ अपवाद को भी इंडेक्स की कट्टरपंथी शक्तियों के लिए प्रस्तुत किया जाता है:

सभी ए के लिए जो कि वास्तविक से संबंधित है, ए की मूल जड़ वास्तविक से संबंधित है, यदि और केवल यदि ए सकारात्मक धरातल से संबंधित है तो एक ऐसे सेट से जुड़ा है जिसका एकमात्र तत्व शून्य है।

इस तरह से यह माना जाता है कि यहां तक ​​कि जड़ें केवल सकारात्मक वास्तविक पर लागू होती हैं और यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि पोटेंशियल आर में लॉक नहीं है।

लोगारित्म

एक समरूप तरीके से इसे लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के लिए देखा जा सकता है, जिसे शून्य से कम या उसके बराबर के मूल्यों के लिए परिभाषित नहीं किया गया है। यह जांचने के लिए कि क्या लघुगणक R का ताला है, निम्नानुसार आगे बढ़ें:

सभी ए के लिए जो कि वास्तविक से संबंधित है, ए का लघुगणक वास्तविक से संबंधित है, यदि और केवल यदि सकारात्मक धरातल से संबंधित है।

नकारात्मक मानों और शून्य को छोड़कर जो कि R से संबंधित हैं, यह कहा जा सकता है कि:

लघुगणक वास्तविक संख्याओं का ताला नहीं है।

उदाहरण

प्राकृतिक संख्याओं के जोड़ और घटाव के लिए लॉक की जाँच करें:

एन में योग

पहली बात यह है कि दिए गए सेट के विभिन्न तत्वों के लिए लॉक की स्थिति की जांच करना, जहां अगर यह देखा जाए कि स्थिति के साथ कुछ तत्व टूट जाता है, तो लॉक के अस्तित्व को स्वचालित रूप से नकारा जा सकता है।

यह संपत्ति ए और बी के सभी संभावित मूल्यों के लिए सही है, जैसा कि निम्नलिखित कार्यों में देखा गया है:

1 + 3 = 4 ∈ एन

5 + 7 = 12 ∈ एन

1000 + 10000 = 11000 000 एन

कोई प्राकृतिक मूल्य नहीं हैं जो ताला की स्थिति को तोड़ते हैं, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला गया है:

योग N में एक ताला है।

एन में घटाना

स्थिति को तोड़ने में सक्षम प्राकृतिक तत्वों की मांग की जाती है; A - B मूल निवासी है।

संचालन करना उन प्राकृतिक तत्वों के जोड़े को ढूंढना आसान है जो लॉक स्थिति को पूरा नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए:

7 - 10 = -3 = ए एन

इस तरह हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

घटाव प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर एक ताला नहीं है।

प्रस्तावित अभ्यास

1-दिखाओ कि संचालन के अलावा, घटाव, गुणन और विभाजन के लिए तर्कसंगत संख्या क्यू के सेट के लिए ताला संपत्ति पूरी हो गई है।

2-स्पष्ट करें कि क्या वास्तविक संख्याओं का समूह संपूर्ण संख्याओं के समुच्चय का ताला है।

3-निर्धारित करें कि कौन सा संख्यात्मक सेट वास्तविक संख्याओं का ताला हो सकता है।

4-इसके अलावा, घटाव, गुणा और भाग के बारे में काल्पनिक संख्याओं के सेट के लिए लॉक की संपत्ति साबित करें।

संदर्भ

1. शुद्ध गणित का पैनोरमा: बॉर्बाकवादी विकल्प। जीन डुडोने। रेवरटे, 1987।
2. बीजगणितीय संख्या सिद्धांत। एलेजांद्रो जे। डिआज़ बार्रीगा, एना इरेने रामिरेज़, फ्रांसिस्को टॉमस। नेशनल ऑटोनॉमस यूनिवर्सिटी ऑफ मेक्सिको, 1975।
3. रेखीय बीजगणित और इसके अनुप्रयोग। सैंड्रा इबेट ओचोआ गार्सिया, एडुआर्डो गुतिएरेज़ गोंज़ालेज़।
4. बीजगणितीय संरचनाएं V: शरीर सिद्धांत। हेक्टर ए। मर्कलेन। अमेरिकी राज्यों का संगठन, जनरल सेक्रेटरी, 1979।
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