समानता के गुण - गणित - 2025

समानता के गुण, दो गणितीय वस्तुओं के लिए संदर्भित किये चाहे वे नंबर या वेरिएबल हैं। इसे "=" प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, जो हमेशा इन दो वस्तुओं के बीच जाता है। इस अभिव्यक्ति का उपयोग यह स्थापित करने के लिए किया जाता है कि दो गणितीय ऑब्जेक्ट एक ही वस्तु का प्रतिनिधित्व करते हैं; दूसरे शब्दों में, दो वस्तुएं एक ही चीज हैं।

ऐसे मामले हैं जहां समानता का उपयोग करना तुच्छ है। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि 2 = 2। हालांकि, जब यह चर की बात आती है तो यह अब तुच्छ नहीं है और इसके विशिष्ट उपयोग हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास y = x है और दूसरी ओर x = 7 है, तो हम उस y = 7 को भी समाप्त कर सकते हैं।

उपरोक्त उदाहरण समानता के गुणों में से एक पर आधारित है, जैसा कि आप शीघ्र ही देखेंगे। ये गुण समीकरणों (चर शामिल समानताएं) को हल करने के लिए आवश्यक हैं, जो गणित का एक बहुत महत्वपूर्ण हिस्सा बनाते हैं।

समानता के गुण क्या हैं?

चिंतनशील संपत्ति

समानता के मामले में, प्रतिवर्ती संपत्ति, कहती है कि प्रत्येक संख्या स्वयं के बराबर है और किसी भी वास्तविक बी के लिए b = b के रूप में व्यक्त की जाती है।

समानता के विशेष मामले में यह संपत्ति स्पष्ट प्रतीत होती है, लेकिन संख्याओं के बीच अन्य प्रकार के संबंधों में यह नहीं है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक वास्तविक संख्या संबंध इस संपत्ति से नहीं मिलता है। उदाहरण के लिए, संबंध का ऐसा मामला "से कम" (<); कोई संख्या स्वयं से कम नहीं है।

सममित गुण

समानता के लिए सममित संपत्ति कहती है कि अगर a = b, तो b = a। कोई बात नहीं क्या चर में आदेश का उपयोग किया जाता है, यह समानता संबंध द्वारा संरक्षित किया जाएगा।

कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी के साथ इस संपत्ति का एक निश्चित सादृश्य इसके अतिरिक्त के मामले में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, इस संपत्ति के कारण यह y = 4 या 4 = y लिखने के बराबर है।

सकर्मक संपत्ति

समानता पर सकर्मक संपत्ति बताती है कि यदि a = b और b = c है, तो a = c है। उदाहरण के लिए, 2 + 7 = 9 और 9 = 6 + 3; इसलिए, सकर्मक संपत्ति से हमारे पास 2 + 7 = 6 + 3 है।

एक साधारण आवेदन निम्नलिखित है: मान लीजिए कि जूलियन 14 साल का है और मारियो रोजा की तरह ही है। यदि रोजा जूलियन के रूप में एक ही उम्र का है, तो मारियो कितना पुराना है?

इस परिदृश्य के पीछे सकर्मक संपत्ति का उपयोग दो बार किया जाता है। गणितीय रूप से इसकी व्याख्या इस प्रकार की जाती है: "a" मारियो की आयु हो, "b" रोजा की आयु हो और "c" जूलियन की आयु हो। यह ज्ञात है कि b = c और वह c = 14 है।

सकर्मक संपत्ति से हमारे पास वह बी = 14 है; यानी रोजा 14 साल की है। चूंकि a = b और b = 14, सकर्मक संपत्ति का उपयोग करके फिर से हमारे पास है कि a = 14; यानी मारियो की उम्र भी 14 साल की है।

समान संपत्ति

समरूप संपत्ति यह है कि यदि किसी समानता के दोनों पक्षों को एक ही राशि में जोड़ा या गुणा किया जाता है, तो समानता संरक्षित है। उदाहरण के लिए, यदि 2 = 2, तो 2 + 3 = 2 + 3, जो स्पष्ट है, 5 = 5 के बाद से। समीकरण को हल करने की कोशिश करते समय यह संपत्ति सबसे उपयोगी होती है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आपको समीकरण x-2 = 1 को हल करने के लिए कहा गया है। यह याद रखना सुविधाजनक है कि एक समीकरण को हल करने में स्पष्ट रूप से निर्धारित चर (या चर) का निर्धारण होता है, जो एक विशिष्ट संख्या या पहले से निर्दिष्ट चर पर आधारित होता है।

समीकरण x-2 = 1 पर वापस जाने पर, आपको जो करना है, वह स्पष्ट रूप से पता चलता है कि कितना x मूल्य है। ऐसा करने के लिए, चर को साफ़ करना होगा।

यह गलत तरीके से सिखाया गया है कि इस मामले में, चूंकि नंबर 2 नकारात्मक है, यह सकारात्मक संकेत के साथ समानता के दूसरी तरफ से गुजरता है। लेकिन इसे इस तरह से कहना सही नहीं है।

मूल रूप से, आप जो कर रहे हैं वह समान संपत्ति को लागू कर रहा है, जैसा कि हम नीचे देखेंगे। विचार "x" को साफ़ करना है; यही है, इसे समीकरण के एक तरफ अकेले छोड़ दें। अधिवेशन के द्वारा आमतौर पर इसे बाईं ओर छोड़ दिया जाता है।

इस उद्देश्य के लिए, "समाप्त" करने की संख्या -2 है। इसे करने का तरीका 2 जोड़कर होगा, चूंकि -2 + 2 = 0 और x + 0 = 0। समानता में बदलाव किए बिना ऐसा करने के लिए, उसी ऑपरेशन को दूसरी तरफ लागू किया जाना चाहिए।

यह हमें समान संपत्ति का एहसास करने की अनुमति देता है: चूंकि x-2 = 1, यदि संख्या 2 को समानता के दोनों किनारों पर जोड़ा जाता है, तो वर्दी संपत्ति कहती है कि यह परिवर्तित नहीं हुई है। फिर हमारे पास वह x-2 + 2 = 1 + 2 है, जो कि x = 3 कहने के बराबर है। इससे समीकरण हल हो जाएगा।

इसी प्रकार, यदि आप समीकरण (1/5) y-1 = 9 को हल करना चाहते हैं, तो आप निम्नानुसार एकसमान संपत्ति का उपयोग करके आगे बढ़ सकते हैं:

आम तौर पर, निम्नलिखित कथन दिए जा सकते हैं:

- अगर अब = सीबी, तो ए = सी।

- अगर xb = y, तो x = y + b।

- यदि (1 / a) z = b, तो z = a ×

- यदि (1 / c) a = (1 / c) b, तो a = b

रद्द करने की संपत्ति

रद्दीकरण संपत्ति एक समान संपत्ति का मामला है, विशेष रूप से घटाव और विभाजन के मामले पर विचार (जो, मूल रूप से, इसके अलावा और गुणन के अनुरूप है)। यह संपत्ति इस मामले को अलग से मानती है।

उदाहरण के लिए, यदि 7 + 2 = 9, तो 7 = 9-2। या यदि 2y = 6, तो y = 3 (दोनों तरफ दो से भाग देना)।

पिछले मामले के अनुरूप, रद्दीकरण संपत्ति के माध्यम से निम्नलिखित कथनों को स्थापित किया जा सकता है:

- यदि a + b = c + b, तो a = c

- यदि x + b = y, तो x = yb।

- यदि az = b, तो z = b / a।

- यदि सीए = सीबी, तो ए = बी।

स्थानापन्न संपत्ति

यदि हम किसी गणितीय वस्तु के मूल्य को जानते हैं, तो प्रतिस्थापन संपत्ति कहती है कि इस मूल्य को किसी समीकरण या अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि b = 5 और a = bx है, तो दूसरी समानता में "b" के मान को प्रतिस्थापित करने के लिए हमारे पास a = 5x है।

एक अन्य उदाहरण निम्नलिखित है: यदि "m" "n" को विभाजित करता है और "n" को "m" से विभाजित करता है, तो हमारे पास वह m = n होना चाहिए।

वास्तव में, यह कहना कि "m" "n" को विभाजित करता है (या समकक्ष रूप से, "m" "n" का भाजक है) का अर्थ है कि विभाजन m is n सटीक है; वह है, "m" को "n" से विभाजित करने से एक संपूर्ण संख्या मिलती है, दशमलव नहीं। यह कहकर व्यक्त किया जा सकता है कि एक पूर्णांक "k" मौजूद है जैसे कि m = k × n।

चूंकि "एन" "एम" को भी विभाजित करता है, तो एक पूर्णांक "पी" मौजूद है जैसे कि एन = पी × एम। प्रतिस्थापन संपत्ति के कारण, हमारे पास वह n = p × k × n है, और ऐसा होने के लिए दो संभावनाएँ हैं: n = 0, जिस स्थिति में हमारी पहचान होगी 0 = 0; op × k = 1, इसलिए पहचान n = n।

मान लीजिए "n" नॉनवेज है। फिर आवश्यक रूप से p × k = 1; इसलिए, पी = 1 और के = 1। प्रतिस्थापन गुण का उपयोग करके, समानता = m × k × n (या समतुल्य, p = 1 n n = p × m) में k = 1 को प्रतिस्थापित करके, हम अंत में उस m = n को प्राप्त करते हैं, जिसे हम सिद्ध करना चाहते थे।

एक समानता में बिजली संपत्ति

जैसा कि पहले देखा गया था कि यदि एक ऑपरेशन जैसे जोड़, गुणा, घटाव या विभाजन एक समानता के दोनों शब्दों में किया जाता है, तो इसे संरक्षित किया जाता है, उसी तरह अन्य ऑपरेशन जो एक समानता को नहीं बदलते हैं, को लागू किया जा सकता है।

कुंजी हमेशा समानता के दोनों किनारों पर इसे करने के लिए है और अग्रिम में सुनिश्चित करें कि ऑपरेशन किया जा सकता है। ऐसा है सशक्तीकरण का मामला; यदि किसी समीकरण के दोनों पक्षों को समान शक्ति के लिए उठाया जाता है, तो भी हमारे पास एक समानता है।

उदाहरण के लिए, 3 = 3 के बाद से, इसलिए 3 ² = 3 ² (9 = 9)। सामान्य तौर पर, एक पूर्णांक "n" दिया जाता है, यदि x = y, तो x ⁿ = y ⁿ ।

एक समानता में जड़ संपत्ति

यह सशक्तीकरण का एक विशेष मामला है और इसे तब लागू किया जाता है जब शक्ति एक गैर-पूर्णांक परिमेय संख्या होती है, जैसे कि the, जो वर्गमूल का प्रतिनिधित्व करती है। इस संपत्ति में कहा गया है कि यदि एक ही जड़ को एक समानता के दोनों किनारों पर लागू किया जाता है (जब भी संभव हो), समानता को संरक्षित किया जाता है।

पिछले मामले के विपरीत, यहां आपको लागू होने वाली जड़ की समता के साथ सावधान रहना चाहिए, क्योंकि यह अच्छी तरह से ज्ञात है कि एक नकारात्मक संख्या की जड़ भी अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है।

इस मामले में कि कट्टरपंथी सम है, कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि x ³ = -8, भले ही यह एक समानता है, आप उदाहरण के लिए, दोनों तरफ एक वर्गमूल लागू नहीं कर सकते। हालाँकि, यदि आप एक घनमूल को लागू कर सकते हैं (जो कि और भी सुविधाजनक है यदि आप स्पष्ट रूप से x का मूल्य जानना चाहते हैं), तो इस प्रकार उस x = -2 को प्राप्त करना।

संदर्भ

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