यौगिक आनुपातिकता: स्पष्टीकरण, तीन का यौगिक नियम, अभ्यास - गणित - 2025

समग्र या एक से अधिक समानता दो से अधिक परिमाण के अनुपात, जो सीधे देखा जा सकता है और डेटा और अज्ञात के बीच उलटा समानता है। यह सरल आनुपातिकता का अधिक उन्नत संस्करण है, हालांकि दोनों प्रक्रियाओं में उपयोग की जाने वाली तकनीक समान हैं।

उदाहरण के लिए, यदि 7 लोगों को 3 घंटे में 10 टन माल उतारने की आवश्यकता होती है, तो यौगिक आनुपातिकता का उपयोग यह गणना करने के लिए किया जा सकता है कि 4 घंटे में 15 टन उतारने में कितने लोगों को लगेगा।

स्रोत: pixabay.com

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, परिमाण और अज्ञातताओं का अध्ययन करने और संबंधित करने के लिए मूल्यों की एक तालिका बनाना सुविधाजनक है।

हम प्रत्येक परिमाण और वर्तमान अज्ञात के बीच संबंधों के प्रकार का विश्लेषण करने के लिए आगे बढ़ते हैं, जो इस मामले के लिए उन लोगों की संख्या से मेल खाती है जो काम करेंगे।

जैसे-जैसे माल का वजन बढ़ता है, वैसे-वैसे इसे उतारने के लिए जरूरी लोगों की संख्या बढ़ जाती है। इस वजह से, वजन और श्रमिकों के बीच संबंध प्रत्यक्ष है।

दूसरी ओर, जैसे-जैसे श्रमिकों की संख्या बढ़ती है, काम के घंटे कम होते जाते हैं। इसके कारण, लोगों और काम के घंटों के बीच का संबंध विलोम प्रकार का होता है।

यौगिक आनुपातिकता की गणना कैसे करें

उपरोक्त एक जैसे उदाहरणों को हल करने के लिए, तीन विधि के यौगिक नियम का उपयोग किया जाता है। इसमें मात्राओं और अज्ञात के बीच संबंधों के प्रकारों को स्थापित करना और फिर अंशों के बीच एक उत्पाद का प्रतिनिधित्व करना शामिल है।

प्रारंभिक उदाहरण के संबंध में, मूल्यों की तालिका से संबंधित अंश निम्नानुसार व्यवस्थित हैं:

लेकिन अज्ञात को हल करने और हल करने से पहले, व्युत्क्रम संबंध के अनुरूप भिन्न होने चाहिए। जो इस मामले के लिए चर समय के अनुरूप है। इस तरह, हल करने के लिए ऑपरेशन होगा:

जिसका केवल अंतर समय चर 4/3 के अनुसार भिन्न का व्युत्क्रम है। हम एक्स के मूल्य को संचालित करने और खाली करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

इस प्रकार, ग्यारह से अधिक लोगों को 4 घंटे या उससे कम समय में 15 टन माल उतारने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

व्याख्या

आनुपातिकता मात्राओं के बीच निरंतर संबंध है जो परिवर्तन के अधीन हैं, जो कि शामिल प्रत्येक मात्रा के लिए सममित होगा। सीधे और विपरीत आनुपातिक संबंध हैं, इस प्रकार सरल या यौगिक आनुपातिकता के मापदंडों को परिभाषित करते हैं।

तीन का प्रत्यक्ष नियम

इसमें चर के बीच एक अनुपात संबंध होता है, जो संशोधित होने पर समान व्यवहार दिखाते हैं। यह एक सौ से अधिक परिमाणों का उल्लेख करते हुए प्रतिशत की गणना में अक्सर होता है, जहां इसकी मौलिक संरचना की सराहना की जाती है।

एक उदाहरण के रूप में, 63 में से 15% की गणना की जा सकती है। पहली नज़र में, इस प्रतिशत को आसानी से सराहा नहीं जा सकता है। लेकिन तीन के नियम को लागू करते हुए, निम्नलिखित संबंध बनाया जा सकता है: यदि 100% 63 है, तो 15%, कितना होगा?

100% ---- 63

15% --- एक्स

और इसी ऑपरेशन है:

(15%। 63) / 100% = 9.45

जहां प्रतिशत संकेत सरल किए जाते हैं और आंकड़ा 9.45 प्राप्त होता है, जो 63 में से 15% का प्रतिनिधित्व करता है।

तीन का उलटा नियम

जैसा कि इसके नाम से संकेत मिलता है, इस मामले में चर के बीच संबंध विपरीत है। गणना से आगे बढ़ने से पहले उलटा संबंध स्थापित किया जाना चाहिए। इसकी प्रक्रिया तीन के प्रत्यक्ष नियम के अनुसार है, जो अंश में निवेश को छोड़कर गणना की जाती है।

उदाहरण के लिए, एक दीवार को खत्म करने के लिए 3 चित्रकारों को 5 घंटे चाहिए। 4 चित्रकार इसे कितने घंटे में पूरा करेंगे?

इस मामले में, संबंध उलटा है, चूंकि चित्रकारों की संख्या बढ़ जाती है, काम का समय कम होना चाहिए। संबंध स्थापित हो जाता है;

3 चित्रकार - 5 घंटे

4 चित्रकार - एक्स घंटे

जैसा कि संबंध उलटा है, ऑपरेशन का क्रम उलट है। यह सही तरीका है;

(३ चित्रकार)। (5 घंटे) / 4 चित्रकार = 3.75 घंटे

चित्रकार शब्द को सरल बनाया गया है, और परिणाम 3.75 घंटे है।

स्थिति

एक यौगिक या कई आनुपातिकता की उपस्थिति में होने के लिए, परिमाण और चर के बीच दोनों प्रकार के संबंधों को खोजना आवश्यक है।

- प्रत्यक्ष: चर में अज्ञात के समान व्यवहार होता है। अर्थात्, जब कोई बढ़ता या घटता है, तो दूसरे को समान रूप से बदल दिया जाता है।

- उलटा: चर में अज्ञात के प्रति एक अनैच्छिक व्यवहार होता है। भिन्न की तालिका में चर को परिभाषित करने वाले अंश को उलटा किया जाना चाहिए, ताकि चर और अज्ञात के बीच विपरीत आनुपातिक संबंध का प्रतिनिधित्व किया जा सके।

परिणामों का सत्यापन

यौगिक आनुपातिकता के साथ काम करते समय मात्राओं के क्रम को भ्रमित करना बहुत सामान्य है, इसके विपरीत सामान्य अनुपात गणनाओं में क्या होता है, जिसकी प्रकृति ज्यादातर तीन के एक सरल नियम के माध्यम से प्रत्यक्ष और हल करने योग्य है।

इस कारण से, परिणामों के तार्किक क्रम की जांच करना महत्वपूर्ण है, तीन के यौगिक नियम द्वारा उत्पादित आंकड़ों की सुसंगतता की पुष्टि करना।

प्रारंभिक उदाहरण में, ऐसी गलती करने पर परिणाम 20 हो जाएगा। यानी 4 घंटे में 15 टन माल उतारने के लिए 20 लोग।

पहली नज़र में यह एक पागल परिणाम की तरह नहीं लगता है, लेकिन यह कर्मचारियों में लगभग 200% की वृद्धि (7 से 20 लोगों से) है जब माल की वृद्धि 50% है, और यहां तक ​​कि समय के बड़े मार्जिन के साथ बाहर ले जाने के लिए उत्सुक है काम।

इस प्रकार, परिणामों का तार्किक सत्यापन तीन के यौगिक नियम को लागू करने में एक महत्वपूर्ण कदम का प्रतिनिधित्व करता है।

निकासी

यद्यपि गणितीय प्रशिक्षण के संबंध में प्रकृति में अधिक बुनियादी है, निकासी आनुपातिकता के मामलों में एक महत्वपूर्ण कदम है। एक गलत निकासी तीन के सरल या मिश्रित नियम में प्राप्त किसी भी परिणाम को अमान्य करने के लिए पर्याप्त है।

इतिहास

विभिन्न लेखकों द्वारा प्रकाशन के साथ, अरबों के माध्यम से पश्चिम में तीन का शासन ज्ञात हुआ। इनमें अल-जवारीज़मी और अल-बिरूनी।

अल-बिरूनी, अपने बहुसांस्कृतिक ज्ञान के लिए धन्यवाद, भारत की अपनी यात्रा में इस अभ्यास के संबंध में विशाल जानकारी तक पहुंच थी, तीन के शासन पर सबसे व्यापक प्रलेखन के लिए जिम्मेदार था।

वह अपने शोध में कहते हैं कि भारत पहला स्थान था जहां तीन के शासन का उपयोग आम हो गया था। लेखक ने आश्वासन दिया कि यह एक तरल तरीके से अपने प्रत्यक्ष, उलटा और यहां तक ​​कि रचित संस्करणों में किया गया था।

सही तिथि जब तीन का नियम भारत के गणितीय ज्ञान का हिस्सा बन गया, अभी भी अज्ञात है। हालाँकि, इस अभ्यास को संबोधित करने वाला सबसे पुराना दस्तावेज, बख्शाली पांडुलिपि, 1881 में खोजा गया था। यह वर्तमान में ऑक्सफोर्ड में है।

गणित के कई इतिहासकारों का दावा है कि यह पांडुलिपि वर्तमान युग की शुरुआत से है।

हल किया अभ्यास

अभ्यास 1

एक एयरलाइन में 1,535 लोग होने चाहिए। यह ज्ञात है कि 3 विमानों के साथ अंतिम यात्री को गंतव्य तक पहुंचने में 12 दिन लगेंगे। एयरलाइन में 450 और लोग आ चुके हैं और 2 विमानों को इस काम में मदद करने के लिए मरम्मत करने का आदेश दिया गया है। प्रत्येक अंतिम यात्री को अपने गंतव्य पर स्थानांतरित करने में एयरलाइन को कितने दिन लगेंगे?

लोगों की संख्या और काम के दिनों के बीच का संबंध प्रत्यक्ष है, क्योंकि लोगों की संख्या जितनी अधिक होगी, उतने अधिक दिन इस कार्य को करने में लगेंगे।

दूसरी ओर, हवाई जहाज और दिनों के बीच का संबंध व्युत्क्रमानुपाती होता है। जैसे ही हवाई जहाज की संख्या बढ़ती है, सभी यात्रियों को परिवहन करने के लिए आवश्यक दिन कम हो जाते हैं।

इस मामले का संदर्भ देने वाले मूल्यों की तालिका बनाई गई है।

प्रारंभिक उदाहरण में विस्तृत रूप से, अंश और हर को अज्ञात के संबंध में व्युत्क्रम चर के संगत अंश में उल्टा होना चाहिए। ऑपरेशन इस प्रकार है:

X = 71460/7675 = 9.31 दिन

5 विमानों का उपयोग करने वाले 1985 लोगों को स्थानांतरित करने के लिए, 9 दिनों से अधिक समय लगता है।

व्यायाम २

माल ट्रकों में 25 टन मकई की फसल ली जाती है। यह ज्ञात है कि पिछले वर्ष इसमें 150 श्रमिकों के वेतन के साथ 8 घंटे का समय लगा था। यदि इस वर्ष के लिए पेरोल में 35% की वृद्धि हुई, तो उन्हें कार्गो ट्रकों को 40 टन की फसल से भरने में कितना समय लगेगा?

मूल्यों की तालिका का प्रतिनिधित्व करने से पहले, इस वर्ष के लिए श्रमिकों की संख्या को परिभाषित किया जाना चाहिए। 150 कर्मचारियों के शुरुआती आंकड़े से यह 35% बढ़ गया। इसके लिए तीन का सीधा नियम प्रयोग किया जाता है।

100% ---- 150

35% --- एक्स

X = (35,100) / 100 = 52.5। यह पिछले वर्ष के संबंध में अतिरिक्त श्रमिकों की संख्या है, प्राप्त राशि को गोल करने के बाद, 203 के कुल श्रमिकों को प्राप्त करना।

हम संबंधित डेटा टेबल को परिभाषित करने के लिए आगे बढ़ते हैं

इस मामले के लिए, वजन अज्ञात समय से सीधे संबंधित एक चर का प्रतिनिधित्व करता है। दूसरी ओर, श्रमिक चर का समय के साथ उलटा संबंध होता है। श्रमिकों की संख्या जितनी अधिक होगी, कार्य दिवस उतना ही कम होगा।

इन विचारों को ध्यान में रखते हुए और श्रमिकों के चर के अनुरूप अंश को सम्मिलित करते हुए, हम गणना करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

X = 40600/6000 = 6.76 घंटे

यात्रा में सिर्फ 7 घंटे का समय लगेगा।

प्रस्तावित अभ्यास

- 2875 का 73% परिभाषित करें।

- टेरेसा को सोने के लिए घंटों की संख्या की गणना करें, यदि यह ज्ञात है कि वह दिन के लिए कुल का केवल 7% सोती है। परिभाषित करें कि आप एक सप्ताह में कितने घंटे सोते हैं।

- एक अखबार हर 5 घंटे में 2000 प्रतियां प्रकाशित करता है, केवल 2 प्रिंटिंग मशीनों का उपयोग करके। यदि वह 7 मशीनों का उपयोग करता है, तो वह 1 घंटे में कितनी प्रतियों का उत्पादन करेगा? 4 मशीनों का उपयोग करके 10,000 प्रतियों का उत्पादन करने में कितना समय लगेगा?

संदर्भ

1. विश्वकोश अल्वारेज़-दीक्षा। ए। अल्वारेज़, एंटोनियो अल्वारेज़ पेरेज़। EDAF, 2001।
2. प्राथमिक और उच्च प्राथमिक अनुदेश का पूरा मैनुअल: इच्छुक शिक्षकों और विशेष रूप से प्रांत के सामान्य विद्यालयों के छात्रों के उपयोग के लिए, खंड 1. जोकविन एवेन्डानो। डी। डियोनिसियो हिडाल्गो का मुद्रण, 1844।
3. वास्तविक कार्यों का तर्कसंगत अनुमोदन। पीपी पेत्रुशेव, वासिल एटानासोव पोपोव। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 3 मार्च। 2011।
4. मध्य अमेरिका में स्कूलों और कॉलेजों में पढ़ाने के लिए प्राथमिक अंकगणित। डारियो गोंजालेज। टिप। आर्नल्स, 1926।
5. गणित का अध्ययन: गणित के अध्ययन और कठिनाइयों पर। ऑगस्टस डी मॉर्गन। बाल्डविन और क्रैडॉक, 1830।