पथरी में हम जिस प्रकार के अभिन्न अंग ढूंढते हैं वह अनिश्चित अभिन्न और निश्चित अभिन्न हैं। हालाँकि निश्चित इंटीग्रल्स में अनिश्चितकालीन इंटीग्रल्स की तुलना में कई अधिक एप्लिकेशन होते हैं, लेकिन पहले यह जानना आवश्यक है कि अनिश्चित इंटीग्रल्स को कैसे हल किया जाए।
निश्चित अभिन्न के सबसे आकर्षक अनुप्रयोगों में से एक क्रांति की एक ठोस की मात्रा की गणना है। दोनों प्रकार के अभिन्नों में रैखिकता के समान गुण हैं और एकीकरण तकनीक भी अभिन्न के प्रकार पर निर्भर नहीं करती है।
क्रांति का ठोस
लेकिन बहुत समान होने के बावजूद, एक मुख्य अंतर है; पहले प्रकार के अभिन्न में परिणाम एक फ़ंक्शन (जो विशिष्ट नहीं है) जबकि दूसरे प्रकार में परिणाम एक संख्या है।
मूल प्रकार के अभिन्न
इंटीग्रल्स की दुनिया बहुत व्यापक है, लेकिन इसके भीतर हम दो बुनियादी प्रकार के इंटीग्रल्स को अलग कर सकते हैं, जिनकी रोजमर्रा की जिंदगी में काफी उपयुक्तता है।
1- अनिश्चितकालीन अभिन्न
यदि F '(x) = f (x) f के डोमेन में सभी x के लिए है, तो हम कहते हैं कि F (x) एक एंटीडिवेटिव, एक आदिम, या f (x) का अभिन्न अंग है।
दूसरी ओर, आइए देखें कि (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), जिसका अर्थ है कि किसी फ़ंक्शन का अभिन्न अंग अद्वितीय नहीं है, क्योंकि निरंतर C को अलग-अलग मान देने से हम अलग-अलग प्राप्त करेंगे। antiderivatives।
इस कारण से F (x) + C को f (x) का अनिश्चितकालीन इंटीग्रल कहा जाता है और C को एकीकरण का स्थिरांक कहा जाता है और हम इसे निम्नलिखित तरीके से लिखते हैं
अनिश्चितकालीन अभिन्न
जैसा कि हम देख सकते हैं, फ़ंक्शन एफ (x) का अनिश्चितकालीन अभिन्न कार्य है।
उदाहरण के लिए, यदि आप फ़ंक्शन f (x) = 3x f के अनिश्चितकालीन इंटीग्रल को ढूंढना चाहते हैं, तो आपको पहले f (x) का एक एंटीवायरिव ढूंढना होगा।
यह देखना आसान है कि F (x) = x an एक एंटीडाइरेक्टिव है, चूंकि F '(x) = 3x² है। इसलिए, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि
∫f (x) dx = ∫3xxdx = x C. + C
2- निश्चित अभिन्न
Y = f (x) एक बंद अंतराल पर एक वास्तविक, निरंतर कार्य करते हैं और F (x) को f (x) का एक प्रतिगामी होना चाहिए। A और b की सीमाओं के बीच f (x) का निश्चित अभिन्न नंबर F (b) -F (a) कहलाता है, और इसे निम्नानुसार दर्शाया जाता है।
पथरी के मौलिक सिद्धांत
ऊपर दिखाए गए सूत्र को "कैलकुलस के मौलिक सिद्धांत" के रूप में जाना जाता है। यहाँ "a" को निचली सीमा कहा जाता है और "b" को ऊपरी सीमा कहा जाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, एक फ़ंक्शन का निश्चित अभिन्न एक संख्या है।
इस स्थिति में, यदि अंतराल में f (x) = 3x calculated की निश्चित अभिन्न गणना की जाती है, तो एक संख्या प्राप्त की जाएगी।
इस संख्या को निर्धारित करने के लिए हम F (x) = x the को f (x) = 3x² के प्रतिपक्षी के रूप में चुनते हैं। फिर, हम F (3) -F (0) की गणना करते हैं जो हमें 27-0 = 27 परिणाम देता है। अंत में, अंतराल पर f (x) की निश्चित अभिन्नता 27 है।
यह ध्यान दिया जा सकता है कि यदि G (x) = x 3 + 3 को चुना जाता है, तो G (x) F (x) से भिन्न f (x) का एक प्रतिरोधी है, लेकिन यह G (3) -G के बाद से परिणाम को प्रभावित नहीं करता है ०) = (२) + ३) - (३) = २ +। इस कारण से, एकीकरण की निरंतरता निश्चित अभिन्नताओं में प्रकट नहीं होती है।
इस प्रकार के अभिन्न के सबसे उपयोगी अनुप्रयोगों में से एक यह है कि यह हमें समतल आकृति (क्रांति का एक ठोस) के क्षेत्र (मात्रा) की गणना करने की अनुमति देता है, उपयुक्त कार्यों और एकीकरण की सीमा (और रोटेशन की एक धुरी) की स्थापना करता है।
निश्चित इंटीग्रल्स के भीतर हम इसके विभिन्न एक्सटेंशन पा सकते हैं, जैसे लाइन इंटीग्रल्स, सरफेस इंटीग्रल्स, अनुचित इंटीग्रल्स, मल्टीपल इंटीग्रल्स, अन्य सभी के साथ, विज्ञान और इंजीनियरिंग में बहुत उपयोगी अनुप्रयोग।
संदर्भ
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