यह पता लगाने के लिए कि लगातार दो संख्याओं के वर्गों का योग क्या है, एक सूत्र मिल सकता है, जिसके साथ परिणाम प्राप्त करने के लिए शामिल संख्याओं को प्रतिस्थापित करना पर्याप्त है।
यह सूत्र सामान्य तरीके से पाया जा सकता है, अर्थात, इसे किसी भी संख्या में लगातार संख्याओं के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।
"लगातार संख्याएँ" कहकर, आप स्पष्ट रूप से कह रहे हैं कि दोनों संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ हैं। और "चौकों" द्वारा वह प्रत्येक संख्या को चुकता करने की बात कर रहा है।
उदाहरण के लिए, यदि संख्या 1 और 2 को माना जाता है, तो उनके वर्ग 1 1 = 1 और 2 if = 4 हैं, इसलिए, वर्गों का योग 1 + 4 = 5 है।
दूसरी ओर, यदि संख्या 5 और 6 को लिया जाए, तो उनके वर्ग 5 25 = 25 और 6² = 36 हैं, जिसके साथ वर्गों का योग 25 + 36 = 61 है।
दो लगातार संख्याओं के वर्गों का योग क्या है?
लक्ष्य अब सामान्यीकृत करना है जो पिछले उदाहरणों में किया गया था। ऐसा करने के लिए, पूर्णांक और इसके लगातार पूर्णांक को लिखने के लिए एक सामान्य तरीका खोजना आवश्यक है।
यदि आप दो लगातार पूर्णांक देखते हैं, उदाहरण के लिए 1 और 2, तो आप देख सकते हैं कि 2 को 1 + 1 के रूप में लिखा जा सकता है। इसके अलावा, यदि संख्या 23 और 24 देखी जाती है, तो यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि 24 को 23 + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।
नकारात्मक पूर्णांकों के लिए यह व्यवहार सत्यापित भी किया जा सकता है। वास्तव में, अगर -35 और -36 को माना जाता है, तो यह देखा जा सकता है कि -35 = -36 + 1।
इसलिए, यदि कोई पूर्णांक "n" चुना जाता है, तो "n" से लगातार पूर्णांक "n + 1" है। इस प्रकार, दो लगातार पूर्णांकों के बीच एक संबंध पहले ही स्थापित हो चुका है।
वर्गों का योग क्या है?
दो लगातार पूर्णांक "n" और "n + 1" को देखते हुए, फिर उनके वर्ग "n inte" और "(n + 1) +" हैं। उल्लेखनीय उत्पादों के गुणों का उपयोग करते हुए, इस अंतिम शब्द को निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n 2 + 2n + 1 ।
अंत में, दो लगातार संख्याओं के वर्गों का योग अभिव्यक्ति द्वारा दिया जाता है:
n + n² + 2n + 1 = 2n 2 + 2n +1 = 2n (n + 1) +1 ।
यदि पिछले सूत्र को विस्तृत किया गया है, तो यह देखा जा सकता है कि केवल सबसे छोटा पूर्णांक "n" जानने के लिए पर्याप्त है, यह जानने के लिए कि वर्गों का योग क्या है, अर्थात यह दो पूर्णांकों में से सबसे छोटे का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है।
प्राप्त सूत्र का एक और परिप्रेक्ष्य है: चुने गए संख्याओं को गुणा किया जाता है, फिर प्राप्त परिणाम 2 से गुणा किया जाता है और अंत में 1 जोड़ा जाता है।
दूसरी ओर, दाईं ओर पहला जोड़ एक सम संख्या है, और 1 जोड़ने पर परिणाम विषम हो जाएगा। यह कहता है कि दो लगातार संख्याओं के वर्गों को जोड़ने का परिणाम हमेशा एक विषम संख्या होगा।
यह भी ध्यान दिया जा सकता है कि चूंकि दो संख्याओं को जोड़ा जा रहा है, इसलिए यह परिणाम हमेशा सकारात्मक रहेगा।
उदाहरण
1.- पूर्णांक 1 पर विचार करें और 2. सबसे छोटा पूर्णांक है। 1. पिछले सूत्र का उपयोग करके, यह निष्कर्ष निकाला गया है कि वर्गों का योग है: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. जो शुरुआत में की गई गणना से सहमत है।
२.- यदि पूर्णांक ५ और ६ को लिया जाता है, तो वर्गों का योग २ * ५ * ६ + १ = ६० + १ = ६१ होगा, जो शुरुआत में प्राप्त परिणाम से भी मेल खाता है।
3.- यदि पूर्णांक -10 और -9 को चुना जाता है, तो उनके वर्गों का योग है: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181।
4.- इस अवसर में पूर्णांकों को -1 और 0 होने दें, फिर उनके वर्ग का योग 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1 द्वारा दिया जाता है।
संदर्भ
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