सममितीय रूपांतरण: रचना, प्रकार और उदाहरण - गणित - 2025

सममितीय परिवर्तनों एक दिया आंकड़ा जो फार्म या इस के आकार को परिवर्तित न करें की स्थिति या उन्मुखीकरण के परिवर्तन होते हैं। इन परिवर्तनों को तीन प्रकारों में वर्गीकृत किया गया है: अनुवाद, रोटेशन और प्रतिबिंब (आइसोमेट्री)। सामान्य तौर पर, ज्यामितीय रूपांतरण आपको किसी दिए गए से एक नया आंकड़ा बनाने की अनुमति देते हैं।

एक ज्यामितीय आकृति में परिवर्तन का मतलब है कि, किसी तरह से, यह कुछ बदलाव आया है; यह है, यह बदल दिया गया था। विमान में मूल और समान के अर्थ के अनुसार, ज्यामितीय परिवर्तनों को तीन प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है: आइसोमेट्रिक, आइसोमॉर्फिक और एनामॉर्फिक।

विशेषताएँ

आइसोमेट्रिक रूपांतरण तब होते हैं जब खंडों के परिमाण और मूल आकृति और रूपांतरित आकृति के बीच के कोण संरक्षित होते हैं।

इस प्रकार के परिवर्तन में, न तो आकृति और न ही आकृति का आकार बदल दिया जाता है (वे अनुरूप हैं), यह केवल अपनी स्थिति में परिवर्तन है, या तो अभिविन्यास या दिशा में। इस तरह, प्रारंभिक और अंतिम आंकड़े समान और ज्यामितीय रूप से बधाई होंगे।

आइसोमेट्री समानता को संदर्भित करता है; दूसरे शब्दों में, ज्यामितीय आंकड़े सममितीय होंगे यदि उनका आकार और आकार समान हो।

सममितीय परिवर्तनों में, केवल एक चीज जो देखी जा सकती है वह है विमान में स्थिति का बदलना, एक कठोर आंदोलन होता है जिसके लिए यह आंकड़ा प्रारंभिक स्थिति से अंतिम एक तक जाता है। इस आकृति को मूल का समरूप (समान) कहा जाता है।

तीन प्रकार के आंदोलन हैं जो एक सममितीय परिवर्तन को वर्गीकृत करते हैं: अनुवाद, रोटेशन, और प्रतिबिंब या समरूपता।

प्रकार

अनुवाद द्वारा

वे वे समरूपताएं हैं जो एक निश्चित दिशा और दूरी में विमान के सभी बिंदुओं को एक सीधी रेखा में स्थानांतरित करने की अनुमति देते हैं।

जब कोई आंकड़ा अनुवाद द्वारा रूपांतरित होता है, तो यह प्रारंभिक स्थिति के संबंध में अपने अभिविन्यास को नहीं बदलता है, और न ही इसके आंतरिक उपायों, इसके कोणों और पक्षों के उपायों को खोता है। इस प्रकार के विस्थापन को तीन मापदंडों द्वारा परिभाषित किया गया है:

- एक दिशा, जो क्षैतिज, ऊर्ध्वाधर या तिरछा हो सकती है।

- एक दिशा, जो बाएं, दाएं, ऊपर या नीचे हो सकती है।

- दूरी या परिमाण, जो प्रारंभिक स्थिति से किसी भी बिंदु के अंत तक चलने वाली लंबाई है।

अनुवाद के लिए एक आइसोमेट्रिक परिवर्तन पूरा होने के लिए, निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:

- आकृति को हमेशा अपने सभी आयामों को रेखीय और कोणीय रखना चाहिए।

- आंकड़ा क्षैतिज अक्ष के संबंध में अपनी स्थिति को नहीं बदलता है; अर्थात्, इसका कोण कभी भी भिन्न नहीं होता है।

- किए गए अनुवादों की संख्या की परवाह किए बिना, अनुवाद हमेशा एक में संक्षेपित किए जाएंगे।

एक विमान में जहां केंद्र एक बिंदु ओ है, निर्देशांक (0,0) के साथ, अनुवाद एक वेक्टर टी (ए, बी) द्वारा परिभाषित किया गया है, जो प्रारंभिक बिंदु के विस्थापन को इंगित करता है। यानी:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

उदाहरण के लिए, यदि एक अनुवाद T (-4, 7) समन्वय बिंदु P (8, -2) पर लागू होता है, तो हम प्राप्त करते हैं:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

निम्नलिखित छवि में (बाएं) यह देखा जा सकता है कि डी के साथ संयोग से बिंदु C कैसे स्थानांतरित हुआ। यह एक ऊर्ध्वाधर दिशा में किया, दिशा ऊपर की ओर थी और दूरी या परिमाण सीडी 8 मीटर थी। सही छवि में त्रिभुज का अनुवाद देखा गया है:

चक्कर लगाकर

वे वे समरूपताएं हैं जो आंकड़े को एक विमान के सभी बिंदुओं को घुमाने की अनुमति देते हैं। प्रत्येक बिंदु एक चाप का अनुसरण करता है जिसमें एक निरंतर कोण और एक निश्चित बिंदु (रोटेशन का केंद्र) होता है।

यही है, सभी रोटेशन को इसके रोटेशन के कोण और कोण के केंद्र द्वारा परिभाषित किया जाएगा। जब कोई आकृति घूर्णन द्वारा रूपांतरित होती है, तो वह अपने कोणों और पक्षों का माप रखती है।

रोटेशन एक निश्चित दिशा में होता है, यह सकारात्मक होता है जब रोटेशन वामावर्त होता है (घड़ी की हाथ कैसे विपरीत दिशा में होता है) और नकारात्मक जब इसका रोटेशन दक्षिणावर्त होता है।

एक बिंदु (एक्स, वाई) मूल के संबंध में घुमाया जाता है है - यह है कि, रोटेशन के अपने केंद्र (0,0) है - 90 के कोण पर ^या 360 ^या अंक के निर्देशांक हो जाएगा:

मामले में जहां रोटेशन का मूल में केंद्र नहीं है, समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति को नए दिए गए मूल में स्थानांतरित किया जाना चाहिए, ताकि केंद्र के रूप में मूल के साथ आकृति को घुमाने में सक्षम हो।

उदाहरण के लिए, यदि P (-5,2) बिंदु 90 के रोटेशन ^या मूल के आसपास लगाया जाता है और सकारात्मक रूप से इसके नए निर्देशांक (-2.5) हैं।

प्रतिबिंब या समरूपता द्वारा

वे वे परिवर्तन हैं जो विमान के बिंदुओं और आंकड़ों को उल्टा करते हैं। यह व्युत्क्रम किसी बिंदु के संबंध में हो सकता है या यह किसी रेखा के संबंध में भी हो सकता है।

दूसरे शब्दों में, इस प्रकार के परिवर्तन में मूल आकृति का प्रत्येक बिंदु समरूप आकृति के एक अन्य बिंदु (छवि) से जुड़ा होता है, इस तरह से कि बिंदु और उसकी छवि समरूपता के अक्ष नामक रेखा से समान दूरी पर होती है। ।

इस प्रकार, आकृति का बायाँ भाग अपने आकार या आयामों को बदले बिना दाएं भाग का प्रतिबिंब होगा। समरूपता एक आकृति को दूसरे समान लेकिन विपरीत दिशा में बदल देती है, जैसा कि निम्नलिखित छवि में देखा जा सकता है:

समरूपता कई पहलुओं में मौजूद है, जैसे कि कुछ पौधों (सूरजमुखी), जानवरों (मोर) और प्राकृतिक घटनाओं (स्नोफ्लेक्स) में। इंसान इसे अपने चेहरे पर दर्शाता है, जिसे सुंदरता का कारक माना जाता है। प्रतिबिंब या समरूपता दो प्रकार की हो सकती है:

केंद्रीय समरूपता

यह वह परिवर्तन है जो एक बिंदु के संबंध में होता है, जिसमें आकृति अपने अभिविन्यास को बदल सकती है। मूल आकृति और उसकी छवि का प्रत्येक बिंदु एक बिंदु O से समान दूरी पर है, जिसे समरूपता का केंद्र कहा जाता है। समरूपता केंद्रीय है जब:

- बिंदु और उसकी छवि और केंद्र दोनों एक ही रेखा के हैं।

- केंद्र ^ओ के 180 ^{डिग्री} के रोटेशन के साथ, मूल के बराबर एक आंकड़ा प्राप्त किया जाता है।

- प्रारंभिक आकृति की रेखाएं गठित आकृति की रेखाओं के समानांतर होती हैं।

- आकृति का भाव नहीं बदलता है, यह हमेशा दक्षिणावर्त होगा।

एक रोटेशन की संरचना

दो की रचना एक ही केंद्र के साथ एक और मोड़ में परिणत होती है, जिसमें एक ही केंद्र होता है और जिसका आयाम दो मोड़ के आयाम का योग होगा।

यदि घुमावों के केंद्र में एक अलग केंद्र है, तो समान बिंदुओं के दो खंडों के द्विभाजक का कट मोड़ का केंद्र होगा।

एक समरूपता की संरचना

इस स्थिति में, यह इस बात पर निर्भर करेगा कि यह कैसे लागू होता है:

- यदि समान समरूपता को दो बार लागू किया जाता है, तो परिणाम एक पहचान होगा।

- यदि दो समरूपता को दो समानांतर अक्षों के संबंध में लागू किया जाता है, तो परिणाम एक अनुवाद होगा, और इसका विस्थापन उन अक्षों की दूरी से दोगुना है:

- यदि दो समरूपता को बिंदु O (केंद्र) पर स्थित दो अक्षों के संबंध में लागू किया जाता है, तो O पर केंद्र के साथ एक घुमाव प्राप्त किया जाएगा और इसका कोण अक्षों द्वारा निर्मित कोण से दोगुना होगा:

संदर्भ

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