इम्प्लांट डेरिवेटिव: वे कैसे हल किए जाते हैं और अभ्यास से हल किया जाता है - गणित - 2024

अंतर्निहित डेरिवेटिव एक differencing तकनीक कार्यों के लिए लागू में इस्तेमाल उपकरण हैं। उन्हें लागू किया जाता है जब यह संभव नहीं होता है, नियमित तरीकों के तहत, आश्रित चर के लिए हल करने के लिए। यह निकासी स्वतंत्र चर के एक समारोह के रूप में की जाती है।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 3xy ³ - 2y + xy ² = xy, "y" को "x" के फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित करने वाली अभिव्यक्ति प्राप्त नहीं की जा सकती है। ताकि डिफरेंस एक्सप्रेशन से डाई / dx प्राप्त किया जा सके।

अंतर्निहित व्युत्पन्न कैसे हल किए जाते हैं?

एक निहित व्युत्पन्न को हल करने के लिए, हम एक निहित अभिव्यक्ति के साथ शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. यह पहले से ही सही ढंग से हल हो गया है, हालांकि ऐसा करना x के संबंध में y के व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए एक आवश्यक शर्त नहीं है। फिर, प्रत्येक तत्व मिश्रित कार्यों के लिए श्रृंखला नियम का सम्मान करता है:

3xy ³ 2 चर से बना है, इसलिए d (3xy ³) को कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न के रूप में माना जाएगा।

d (3xy ³) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

जहां तत्व y 'को "y Prime" के रूप में जाना जाता है और डाई / dx का प्रतिनिधित्व करता है

-2 यह कानून केयू = केयू के अनुसार लिया गया है।

d (-2y) = -2 y '

xy ² फ़ंक्शन के एक उत्पाद द्वारा रचित एक और अंतर को दबाता है

d (xy ²) = y ² + 2xy y '

-xy का इलाज घरेलू तरीके से किया जाता है

d (-xy) = -y - x y '

उन्हें समानता में प्रतिस्थापित किया जाता है, यह जानते हुए कि शून्य का व्युत्पन्न शून्य है।

3y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

जिन तत्वों में y शब्द है, उन्हें समानता के एक तरफ वर्गीकृत किया गया है

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

सामान्य कारक y 'को समानता के दाईं ओर से निकाला जाता है

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

अंत में यह शब्द 'y' गुणा हो जाता है। इस प्रकार एक्स के संबंध में y के निहित व्युत्पन्न के अनुरूप अभिव्यक्ति प्राप्त करना।

y '= dy / dx = (3y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

श्रृंखला नियम

निहित व्युत्पत्ति में चेन नियम का हमेशा सम्मान किया जाता है। सभी अंतर अभिव्यक्तियों को स्वतंत्र चर एक्स के एक फ़ंक्शन के रूप में दिया जाएगा। इसलिए एक्स के अलावा हर चर।, व्युत्पन्न होने के बाद शब्द d after / dx को शामिल करना चाहिए।

यह शब्द केवल पहली डिग्री में या 1 के बराबर एक घातांक के साथ दिखाई देगा। यह गुणवत्ता पारंपरिक फैक्टरिंग विधियों के तहत इसे पूरी तरह से स्पष्ट करती है। इस प्रकार, विभेदक d d / dx को परिभाषित करने वाली अभिव्यक्ति प्राप्त करना संभव है।

श्रृंखला नियम भेदभाव या व्युत्पन्न प्रक्रिया की प्रगतिशील प्रकृति को दर्शाता है। जहां हर यौगिक कार्य f के लिए, हमारे पास है कि f का अंतर अभिव्यक्ति होगा

संचालन क्रम

लागू किए जाने वाले व्युत्पत्ति के प्रत्येक सूत्र या कानून में, चर के आदेश को ध्यान में रखा जाना चाहिए। स्वतंत्र चर के साथ इसके सहसंबंध को बदलने के बिना, स्वतंत्र चर के साथ जुड़े मानदंड का सम्मान किया जाता है।

व्युत्पत्ति के समय आश्रित चर का संबंध सीधे लिया जाता है; इस अपवाद के साथ कि यह एक दूसरा कार्य माना जाएगा, यही वजह है कि मिश्रित कार्यों के लिए चेन नियम मानदंड लागू किया जाता है।

इसे 2 से अधिक चरों वाले अभिव्यक्तियों में विकसित किया जा सकता है। एक ही सिद्धांत के तहत, आश्रित चर का जिक्र करने वाले सभी अंतर को निरूपित किया जाएगा।

आलेखीय रूप से, वही मानदंड जो व्युत्पन्न को परिभाषित करता है उसे संभाला जाता है। जबकि व्युत्पन्न विमान में वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा का ढलान है, शेष आश्रित चर (डाई / dx, dz / dx) से संबंधित विभेदक कई चर कार्यों द्वारा वर्णित वेक्टर निकायों के स्पर्शरेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अंतर्निहित

एक फ़ंक्शन को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है यदि अभिव्यक्ति y = f (x) को एक बहु चर फ़ंक्शन F (x, y) = 0 के रूप में दर्शाया जा सकता है जब तक कि R ² विमान में एफ को परिभाषित किया गया हो ।

3xy ³ - 2y + xy ² = xy को फॉर्म में लिखा जा सकता है 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

समारोह को y = f (x) स्पष्ट करने की असंभवता को देखते हुए।

इतिहास

विभेदक कलन का नाम सत्रहवीं शताब्दी के आसपास विभिन्न गणितीय शोधकर्ताओं ने रखा। पहली बार इसका उल्लेख न्यूटन और लिबनीज के योगदान के माध्यम से किया गया था। दोनों ने अलग-अलग दृष्टिकोणों से अंतर पथरी का इलाज किया, लेकिन अपने परिणामों में परिवर्तित किया।

जबकि न्यूटन ने गति या परिवर्तन की दर के रूप में भेदभाव पर ध्यान केंद्रित किया, लिबनीज का दृष्टिकोण अधिक ज्यामितीय था। यह कहा जा सकता है कि न्यूटन ने पेरोल के अपोलोनियस और लिबनीज द्वारा फरमेट के ज्यामितीय विचारों द्वारा छोड़े गए अनुमानों पर हमला किया।

अंतर और अभिन्न समीकरणों पर विचार करते हुए निहित व्युत्पत्ति तुरंत दिखाई देती है। ये लीबनिज़ की ज्यामितीय अवधारणा को आर ³ तक बढ़ाते हैं और यहां तक ​​कि बहुआयामी स्थानों तक भी।

अनुप्रयोग

विभिन्न स्थितियों में इम्प्लांटेट डेरिवेटिव का उपयोग किया जाता है। वे संबंधित चर के बीच विनिमय दर की समस्याओं में आम हैं, जहां, अध्ययन की भावना के आधार पर, चर को निर्भर या स्वतंत्र माना जाएगा।

उनके पास दिलचस्प ज्यामितीय अनुप्रयोग भी हैं, जैसे कि प्रतिबिंब या छाया समस्याओं में, उन आंकड़ों पर जिनकी आकृति गणितीय रूप से तैयार की जा सकती है।

वे अक्सर अर्थशास्त्र और इंजीनियरिंग के क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं, साथ ही साथ प्राकृतिक घटनाओं और प्रयोगात्मक इमारतों की विभिन्न जांच में।

हल किया हुआ व्यायाम

अभ्यास 1

निहित अभिव्यक्ति को परिभाषित करें जो डाई / डीएक्स को परिभाषित करता है

अभिव्यक्ति का प्रत्येक तत्व विभेदित है

प्रत्येक सक्षम मामले में चेन नियम स्थापित करना

समानता के एक तरफ समूह जो तत्वों में डाई / डीएक्स है

यह सामान्य कारक का उपयोग करके सचित्र है

यह मांगी गई अभिव्यक्ति प्राप्त करके हल किया जाता है

व्यायाम २

निहित अभिव्यक्ति को परिभाषित करें जो डाई / डीएक्स को परिभाषित करता है

व्युत्पन्न करने के लिए व्यक्त किया जा रहा है

चेन नियम के अनुसार स्पष्ट रूप से व्युत्पन्न

फैक्टरिंग आम तत्व

समानता के एक तरफ डाई / डीएक्स शब्द का समूहन

विभेदक तत्व का सामान्य कारक

हम मांगी गई अभिव्यक्ति को अलग करते हैं और प्राप्त करते हैं

संदर्भ

1. एक एकल चर की गणना। रॉन लार्सन, ब्रूस एच। एडवर्ड्स। सेंगेज लर्निंग, 10 नवंबर 2008
2. द इंप्लिमेंट फंक्शन प्रमेय: इतिहास, सिद्धांत और अनुप्रयोग। स्टीवन जी क्रांत्ज़, हेरोल्ड आर। पार्क्स। स्प्रिंगर साइंस एंड बिजनेस मीडिया, 9 नवंबर। 2012
3. बहुविकल्पी विश्लेषण। सतीश शिराली, हरकिशन लाल वासुदेवा। स्प्रिंगर साइंस एंड बिजनेस मीडिया, 13 दिसंबर। 2010
4. सिस्टम डायनेमिक्स: मॉडलिंग, सिमुलेशन, और मेक्ट्रोनिक सिस्टम का नियंत्रण। डीन सी। करनोप, डोनाल्ड एल। मार्गोलिस, रोनाल्ड सी। रोसेनबर्ग। जॉन विली एंड संस, 7 मार्च 2012
5. पथरी: गणित और मॉडलिंग। विलियम बॉल्ड्री, जोसेफ आर। फिडलर, फ्रैंक आर। गियोर्डानो, एड लोदी, रिक विट्रे। एडिसन वेस्ले लॉन्गमैन, 1 जनवरी 1999