प्राकृतिक संख्या का अपघटन (उदाहरण और अभ्यास) - गणित - 2025

प्राकृतिक संख्याओं का अपघटन अलग-अलग तरीकों से दिया जा सकता है: प्रमुख कारकों के उत्पाद के रूप में, दो की शक्तियों और योगात्मक अपघटन का योग। उन्हें नीचे विस्तार से समझाया जाएगा।

दो की शक्तियों का एक उपयोगी गुण यह है कि वे दशमलव प्रणाली से एक संख्या को द्विआधारी प्रणाली से संख्या में परिवर्तित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 7 (दशमलव प्रणाली में संख्या) 111 के बराबर है, क्योंकि 7 = (2 ^ 2) + (2 ^ 1) + (2 ^ 0)।

प्राकृतिक संख्याओं को गिनने के लिए उपयोग किया जाता है

प्राकृतिक संख्याएं वे संख्याएं होती हैं, जिनके साथ वस्तुओं को गिना और गणना की जा सकती है। ज्यादातर मामलों में, प्राकृतिक संख्याओं को 1 से शुरू माना जाता है। ये संख्याएं स्कूल में पढ़ाई जाती हैं और दैनिक जीवन की लगभग सभी गतिविधियों में उपयोगी होती हैं।

प्राकृतिक संख्या को विघटित करने के तरीके

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, यहां प्राकृतिक संख्या को विघटित करने के तीन अलग-अलग तरीके हैं।

मुख्य कारकों के उत्पाद के रूप में अपघटन

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि संख्या पहले से ही प्रधान है, तो इसका अपघटन स्वयं एक से गुणा होता है।

यदि नहीं, तो यह सबसे छोटी अभाज्य संख्या से विभाजित है जिसके द्वारा यह विभाज्य है (यह एक या कई बार हो सकता है), जब तक कि अभाज्य संख्या प्राप्त नहीं हो जाती।

उदाहरण के लिए:

५ = ५ * १।

15 = 3 * 5।

२ = २ * २ * *।

624 = 2 * 312 = 2 * 2 * 156 = 2 * 2 * 2 * 78 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 39 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 13।

175 = 5 * 35 = 5 * 5 * 7।

2 की शक्तियों के योग के रूप में अपघटन

एक और दिलचस्प संपत्ति यह है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या को 2 की शक्तियों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

१ = २ ^ ०।

2 = 2 ^ 1।

3 = 2 ^ 1 + 2 ^ 0।

4 = 2 ^ 2।

5 = 2 ^ 2 + 2 ^ 0।

6 = 2 ^ 2 + 2 ^ 1।

7 = 2 ^ 2 + 2 ^ 1 + 2 ^ 0।

8 = 2 ^ 3।

15 = 2 ^ 3 + 2 ^ 2 + 2 ^ 1 + 2 ^ 0।

योगात्मक अपघटन

प्राकृतिक संख्याओं को विघटित करने का एक अन्य तरीका उनके दशमलव संख्या प्रणाली और प्रत्येक अंक के स्थान मूल्य पर विचार करना है।

यह दाएं से बाएं और इकाई, दस, सौ, इकाई हजार, दस हजार, सौ हजार, इकाई लाख, आदि से शुरू होने पर विचार करके प्राप्त किया जाता है। इस इकाई को संबंधित संख्या प्रणाली द्वारा गुणा किया जाता है।

उदाहरण के लिए:

239 = 2 * 100 + 3 * 10 + 9 * 1 = 200 + 30 + 9।

4893 = 4 * 1000 + 8 * 100 + 9 * 10 + 3 * 1।

व्यायाम और समाधान

संख्या 865236 पर विचार करें। अभाज्य संख्याओं के गुणनफल, 2 की शक्तियों का योग और इसके योगात्मक अपघटन में इसका अपघटन ज्ञात करें।

प्राइम संख्याओं के उत्पाद में अपघटन

-जैसे 865236, आप यह भी सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह सबसे छोटा अभाज्य है जो 2 से विभाज्य है।

-दो से विभाजित आप प्राप्त: 865236 = 2 * 432618। फिर से आपको एक सम संख्या मिलती है।

-यह तब तक विभाजित होता रहता है जब तक कि एक विषम संख्या प्राप्त नहीं हो जाती। फिर: 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309।

-अंतिम संख्या विषम है, लेकिन यह 3 से विभाज्य है क्योंकि इसके अंक का योग है।

-सो, 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309 = 2 * 2 * 3 * 72103। संख्या 72103 एक प्रमुख है।

-इसके बाद वांछित विघटन अंतिम है।

सड़न

-अधिकतम शक्ति 2 जो कि 865236 के सबसे करीब है, मांगी जाती है।

-यह 2 ^ 19 = 524288 है। अब इसे 865236 - 524288 = 340448 के अंतर के लिए दोहराएं।

-इस मामले में निकटतम शक्ति 2 ^ 18 = 262144 है। अब हम 340948-262144 = 78804 के साथ जारी रखते हैं।

-इस मामले में निकटतम शक्ति 2 ^ 16 = 65536 है। 78804 - 65536 = 13268 को जारी रखें और हम पाते हैं कि निकटतम शक्ति 2 ^ 13 = 8192 है।

-अब 13268 के साथ - 8192 = 5076 और आपको 2 ^ 12 = 4096 मिलता है।

-5076 - 4096 = 980 के साथ और हमारे पास 2 ^ 9 = 512 है। हम 980 - 512 = 468 के साथ जारी रखते हैं, और निकटतम शक्ति 2 ^ 8 = 256 है।

-अब 468 आता है - 256 = 212 2 ^ 7 = 128 के साथ।

-तो 212 - 128 = 84 के साथ 2 ^ 6 = 64।

-अब 84 - 64 = 20 2 ^ 4 = 16 के साथ।

-और अंत में 20 ^ 16 = 4 के साथ 2 ^ 2 = 4।

अंत में आपको निम्न करना होगा:

865 236 = 2 ^ 19 + 2 ^ 18 + 2 ^ 16 + 2 ^ 13 + 2 ^ 12 + 2 ^ 9 + 2 ^ 8 + 2 ^ 7 + 2 ^ 6 + 2 ^ 4 + 2 ^ 2।

योगात्मक अपघटन

इकाइयों की पहचान करते हुए, हमारे पास है कि इकाई संख्या 6, दस से 3, सौ से 2, इकाई एक हजार से 5, दस से एक हजार से 6 और सौ से 8 हजार से मेल खाती है।

फिर, 865236 = 8 * 100,000 + 6 * 10,000 + 5 * 1,000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 6

= 800,000 + 60,000 + 5,000 + 200 + 30 + 6।

संदर्भ

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