असतत संभावना वितरण: विशेषताएँ, अभ्यास - गणित - 2025

असतत संभाव्यता वितरण एक समारोह कर रहे हैं कि एक्स (एस) = के प्रत्येक तत्व को प्रदान करती है {x1, x2,…, XI,…}, जहां X एक असतत यादृच्छिक चर दिया है और एस नमूना अंतरिक्ष, संभावना है कि है कहा घटना होती है। X (S) के इस फंक्शन f (xi) = P (X = xi) के रूप में परिभाषित होने को कभी-कभी प्रायिकता मास फंक्शन कहा जाता है।

प्रायिकता का यह द्रव्यमान आमतौर पर तालिका के रूप में दर्शाया जाता है। चूंकि X एक असतत रैंडम वैरिएबल है, X (S) में घटनाओं की एक सीमित संख्या या काउंटेबल इन्फिनिटी है। सबसे आम असतत संभावना वितरणों में हमारे पास समान वितरण, द्विपद वितरण और पॉइसन वितरण है।

विशेषताएँ

संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन को निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना चाहिए:

इसके अलावा, यदि X केवल मानों की एक सीमित संख्या लेता है (उदाहरण के लिए X1, x2,…, xn), तो p (xi) = 0 यदि i> ny है, तो, हालत b की अनंत श्रृंखला बन जाती है a परिमित श्रृंखला।

यह फ़ंक्शन निम्न गुणों को भी पूरा करता है:

आज्ञा देना बी एक घटना है जो यादृच्छिक चर X से जुड़ी है। इसका मतलब है कि B X (S) में समाहित है। विशेष रूप से, मान लीजिए कि B = {xi1, xi2,…}। इस प्रकार:

दूसरे शब्दों में, किसी घटना B की संभावना B से जुड़े व्यक्तिगत परिणामों की संभावनाओं के योग के बराबर है।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यदि कोई <b, ईवेंट्स (X) a) और (a <X ually b) परस्पर अनन्य हैं और, इसके अलावा, उनकी यूनियन ईवेंट (X) b) है, इसलिए हमारे पास है:

प्रकार

N अंक पर समान वितरण

यह कहा जाता है कि एक यादृच्छिक चर X एक वितरण का अनुसरण करता है जो कि n बिंदुओं पर एक समान होता है यदि प्रत्येक मान को एक ही संभावना सौंपी जाती है। इसकी संभाव्यता द्रव्यमान क्रिया है:

मान लीजिए कि हमारे पास एक प्रयोग है जिसमें दो संभावित परिणाम हैं, यह एक सिक्के का टॉस हो सकता है जिसके संभावित परिणाम सिर या पूंछ हैं, या एक पूर्णांक का चुनाव जिसका परिणाम सम या विषम संख्या हो सकता है; इस तरह के प्रयोग को बर्नौली परीक्षणों के रूप में जाना जाता है।

सामान्य तौर पर, दो संभावित परिणामों को सफलता और विफलता कहा जाता है, जहां p सफलता की संभावना है और 1-p विफलता की संभावना है। हम n बर्नौली परीक्षणों में x सफलताओं की संभावना निर्धारित कर सकते हैं जो निम्नलिखित वितरण के साथ एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।

द्विपद वितरण

यह फ़ंक्शन है जो n स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों में x सफलताओं को प्राप्त करने की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है, जिनकी सफलता की संभावना पी है। इसकी संभाव्यता द्रव्यमान क्रिया है:

निम्नलिखित ग्राफ द्विपद वितरण के मापदंडों के विभिन्न मूल्यों के लिए संभाव्यता द्रव्यमान समारोह का प्रतिनिधित्व करता है।

निम्नलिखित वितरण का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन पॉइसन (1781-1840) पर है, जिन्होंने इसे द्विपद वितरण की सीमा के रूप में प्राप्त किया।

पॉसों वितरण

एक यादृच्छिक चर X के लिए पैरामीटर λ का एक पॉइसन वितरण कहा जाता है जब यह सकारात्मक पूर्णांक मानों को ले सकता है, 0,1,2,3,… निम्नलिखित संभावना के साथ:

इस अभिव्यक्ति में λ समय की प्रत्येक इकाई के लिए घटना की घटनाओं के अनुरूप औसत संख्या है, और x उस घटना के घटने की संख्या है।

इसकी संभाव्यता द्रव्यमान क्रिया है:

यहां एक ग्राफ है जो पॉइसन वितरण के मापदंडों के विभिन्न मूल्यों के लिए संभाव्यता द्रव्यमान समारोह का प्रतिनिधित्व करता है।

ध्यान दें, जब तक सफलताओं की संख्या कम है और द्विपद वितरण पर किए गए परीक्षणों की संख्या अधिक है, हम इन वितरणों को हमेशा अनुमानित कर सकते हैं, क्योंकि पॉइसन वितरण द्विपद वितरण की सीमा है।

इन दो वितरणों के बीच मुख्य अंतर यह है कि, जबकि द्विपद दो मापदंडों पर निर्भर करता है, जैसे n और p, पोइसन केवल λ पर निर्भर करता है, जिसे कभी-कभी वितरण की तीव्रता कहा जाता है।

अब तक हमने केवल उन मामलों के लिए संभाव्यता वितरण के बारे में बात की है जिनमें विभिन्न प्रयोग एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं; वह यह है, जब किसी एक का परिणाम किसी अन्य परिणाम से प्रभावित नहीं होता है।

जब यह होता है कि स्वतंत्र नहीं हैं प्रयोगों के मामले में, अतिवृद्धि वितरण बहुत उपयोगी है।

हाइपरजोमेट्रिक वितरण

आज्ञा देना एक कुल सेट की वस्तुओं की संख्या है, जिनमें से हम किसी भी तरह से कश्मीर की पहचान कर सकते हैं, इस प्रकार एक सबसेट K बनाते हैं, जिसका पूरक शेष Nk तत्वों द्वारा बनता है।

यदि हम अनियमित रूप से n ऑब्जेक्ट चुनते हैं, तो रैंडम वेरिएबल X जो कि K से संबंधित ऑब्जेक्ट्स की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, ने कहा कि N, n और k के पैरामीटर्स का हाइपरमेट्रिक वितरण है। इसकी संभाव्यता द्रव्यमान क्रिया है:

निम्न ग्राफ़ हाइपरमेट्रिक वितरण के मापदंडों के विभिन्न मूल्यों के लिए संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है।

हल किया हुआ व्यायाम

पहला व्यायाम

मान लीजिए कि एक रेडियो ट्यूब (एक निश्चित प्रकार के उपकरण में रखी गई) की संभावना 500 घंटे से अधिक के लिए काम करेगी 0.2। यदि 20 ट्यूबों का परीक्षण किया जाता है, तो क्या संभावना है कि इनमें से k 500 घंटे, k = 0, 1,2,…, 20 से अधिक समय तक चलेगा?

उपाय

यदि X उन ट्यूबों की संख्या है जो 500 घंटे से अधिक काम करते हैं, तो हम मान लेंगे कि X में द्विपद वितरण है। इसलिए

इसलिए:

K For11 के लिए, संभावनाएं 0.001 से कम हैं

इस प्रकार हम देख सकते हैं कि 500 ​​घंटे से अधिक समय तक इन कार्यों में से किसकी संभावना बढ़ जाती है, जब तक कि यह अपने अधिकतम मूल्य (k = 4 के साथ) तक नहीं पहुंच जाता और फिर घटने लगता है।

दूसरा व्यायाम

एक सिक्का 6 बार उछाला जाता है। जब परिणाम महंगा होता है, तो हम कहेंगे कि यह एक सफलता है। क्या संभावना है कि दो सिर बिल्कुल सामने आएंगे?

उपाय

इस मामले के लिए हमारे पास n = 6 है और सफलता और असफलता की संभावना p = q = 1/2 है

इसलिए, संभावना है कि दो सिर दिए गए हैं (अर्थात, k = 2) है

तीसरा व्यायाम

कम से कम चार प्रमुखों को खोजने की संभावना क्या है?

उपाय

इस मामले के लिए हमारे पास k = 4, 5 या 6 है

तीसरा व्यायाम

मान लीजिए कि एक कारखाने में उत्पादित वस्तुओं का 2% दोषपूर्ण है। प्रायिकता P ज्ञात करें कि 100 वस्तुओं के नमूने में तीन दोषपूर्ण आइटम हैं।

उपाय

इस मामले के लिए हम परिणाम के रूप में n = 100 और p = 0.02 प्राप्त करने के लिए द्विपद वितरण लागू कर सकते हैं:

हालांकि, चूंकि पी छोटा है, इसलिए हम λ = np = 2 के साथ पॉइसन अनुमानित का उपयोग करते हैं। इसलिए,

संदर्भ

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