पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाएं: गुण और उदाहरण - गणित - 2025

दो घटनाओं को पारस्परिक रूप से अनन्य कहा जाता है, जब दोनों एक प्रयोग के परिणाम में एक साथ नहीं हो सकते। उन्हें असंगत घटनाओं के रूप में भी जाना जाता है।

उदाहरण के लिए, मरते समय, संभावित परिणामों को अलग किया जा सकता है जैसे: विषम या संख्या। जहां इन घटनाओं में से प्रत्येक दूसरे को बाहर करता है (एक विषम और यहां तक ​​कि संख्या बदले में बाहर नहीं आ सकती है)।

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पासा के उदाहरण पर लौटते हुए, केवल एक चेहरा ऊपर होगा और हम एक और छह के बीच पूर्णांक डेटा प्राप्त करेंगे । यह एक सरल घटना है क्योंकि इसके परिणाम की केवल एक संभावना है। एक संभावना के रूप में किसी अन्य घटना को स्वीकार नहीं करके सभी सरल घटनाएं पारस्परिक रूप से अनन्य हैं ।

पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाएं क्या हैं?

वे सेट सिद्धांत में किए गए संचालन के परिणामस्वरूप उत्पन्न होते हैं, जहां सेट और उप-सेट में गठित तत्वों के समूहों को संबंधपरक कारकों के अनुसार समूहबद्ध या सीमांकित किया जाता है; संघ (यू), चौराहे (∩) और दूसरों के बीच पूरक (')।

उन्हें विभिन्न शाखाओं (गणित, सांख्यिकी, संभावना और दूसरों के बीच तर्क…) से इलाज किया जा सकता है, लेकिन उनकी वैचारिक रचना हमेशा एक जैसी रहेगी।

घटनाएँ क्या हैं?

वे प्रयोग से उत्पन्न संभावनाएं और घटनाएं हैं, जो उनके प्रत्येक पुनरावृत्तियों में परिणाम प्रदान करने में सक्षम हैं। घटनाओं उत्पन्न डेटा सेट और उप सेट के तत्वों के रूप में दर्ज किया जाना है, इन आंकड़ों में प्रवृत्तियों संभावना के लिए अध्ययन के लिए कारण हैं।

घटनाओं के उदाहरण हैं:

• सिक्का ने सिर उठाया।
• मैच ड्रॉ रहा।
• रासायनिक ने 1.73 सेकंड में प्रतिक्रिया व्यक्त की।
• अधिकतम बिंदु पर गति 30 मीटर / सेकंड थी।
• डाई ने नंबर 4 को चिह्नित किया।

दो परस्पर अनन्य घटनाओं को भी पूरक घटनाओं के रूप में माना जा सकता है, अगर वे अपने संघ के साथ नमूना स्थान का विस्तार करते हैं। इस प्रकार एक प्रयोग की सभी संभावनाओं को कवर।

उदाहरण के लिए, एक सिक्के को उछालने पर आधारित प्रयोग में दो संभावनाएं, सिर या पूंछ होती हैं, जहां ये परिणाम पूरे नमूना स्थान को कवर करते हैं। ये घटनाएं एक-दूसरे के साथ असंगत हैं और एक ही समय में सामूहिक रूप से समाप्त होती हैं।

बूलियन प्रकार का प्रत्येक दोहरा तत्व या चर पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं का हिस्सा है, यह विशेषता इसकी प्रकृति को परिभाषित करने की कुंजी है। कुछ की अनुपस्थिति उसके राज्य को नियंत्रित करती है, जब तक वह मौजूद नहीं है और अब अनुपस्थित नहीं है। अच्छे या बुरे, सही और गलत के द्वंद्व एक ही सिद्धांत के तहत संचालित होते हैं। जहां प्रत्येक संभावना को दूसरे को छोड़कर परिभाषित किया गया है।

परस्पर अनन्य घटनाओं के गुण:

1. ए ∅ बी = बी ∩ ए = ∩
2. यदि A = B 'पूरक घटनाएँ हैं और AUB = S (नमूना स्थान)
3. पी (ए (बी) = 0; इन घटनाओं के एक साथ होने की संभावना शून्य है

वेन आरेख जैसे संसाधन दूसरों के बीच पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं के वर्गीकरण की सुविधा प्रदान करते हैं , क्योंकि यह प्रत्येक सेट या सबसेट के परिमाण को पूरी तरह से कल्पना करने की अनुमति देता है।

जिन सेटों में सामान्य घटनाएं नहीं होती हैं या बस अलग हो जाती हैं, उन्हें असंगत और पारस्परिक रूप से अनन्य माना जाएगा।

परस्पर अनन्य घटनाओं का उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण में एक सिक्के को उछालने के विपरीत, घटनाओं को एक गैर-प्रयोगात्मक दृष्टिकोण से माना जाता है, ताकि रोजमर्रा की घटनाओं में प्रस्तावक तर्क के पैटर्न की पहचान करने में सक्षम हो।

• 5 और 10 वर्ष की आयु के बीच पुरुषों से बने पहले में 8 प्रतिभागी हैं।
• दूसरा, 8 प्रतिभागियों के साथ 5 से 10 साल की महिलाएं।
• तीसरा, 12 प्रतिभागियों के साथ 10 और 15 साल की उम्र के बीच के पुरुष।
• चौथा, 12 प्रतिभागियों के साथ 10 और 15 वर्ष की आयु के बीच की महिलाएँ।
• 15 वें और 20 वर्ष के बीच के पांचवें, पुरुषों की संख्या 10 है।
• छठा समूह, 10 प्रतिभागियों के साथ 15 से 20 साल की उम्र की महिलाओं से बना है।

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1. शतरंज, सभी प्रतिभागियों के लिए एक एकल घटना, दोनों लिंग और सभी उम्र।
2. बाल जिमखाना, दोनों की उम्र 10 साल तक है। प्रत्येक लिंग के लिए एक पुरस्कार
3. महिलाओं की फ़ुटबॉल, 10 से 20 साल की उम्र के लिए। एक पुरस्कार
4. पुरुषों की फ़ुटबॉल, 10 से 20 साल की उम्र के लिए। एक पुरस्कार

• नमूना स्थान: 60 प्रतिभागियों
• पुनरावृत्तियों की संख्या: 1
• यह किसी भी मॉड्यूल को शिविर से बाहर नहीं करता है।
• प्रतिभागी की संभावना पुरस्कार जीतने या न जीतने की है। यह प्रत्येक संभावना को सभी प्रतिभागियों के लिए पारस्परिक रूप से अनन्य बनाता है ।
• प्रतिभागियों के व्यक्तिगत गुणों के बावजूद, हर एक की सफलता की संभावना P (e) = 1/60 है।
• विजेता या पुरुष महिला होने की संभावना बराबर है; P (v) = P (h) = 30/60 = 0.5 ये घटनाएँ परस्पर अनन्य और पूरक हैं।

• नमूना स्थान: 18 प्रतिभागी
• पुनरावृत्तियों की संख्या: 2
• तीसरे, चौथे, पांचवें और छठे मॉड्यूल को इस घटना से बाहर रखा गया है।
• पहले और दूसरे समूह पुरस्कार के भीतर पूरक हैं । क्योंकि दोनों समूहों का संघ नमूना स्थान के बराबर है।
• प्रतिभागियों के व्यक्तिगत गुणों के बावजूद, हर एक की सफलता की संभावना P (e) = 1/8 है
• पुरुष या महिला विजेता होने की संभावना 1 है क्योंकि प्रत्येक लिंग के लिए एक घटना आयोजित की जाएगी।

• नमूना स्थान: 22 प्रतिभागियों
• पुनरावृत्तियों की संख्या: 1
• पहले, दूसरे, तीसरे और पांचवें मॉड्यूल को इस घटना से बाहर रखा गया है।
• प्रतिभागियों के व्यक्तिगत गुणों के बावजूद, हर एक की सफलता की संभावना P (e) = 1/2 है
• पुरुष विजेता होने की संभावना शून्य है।
• महिला विजेता होने की संभावना एक है।

• नमूना स्थान: 22 प्रतिभागियों
• पुनरावृत्तियों की संख्या: 1
• पहले, दूसरे, चौथे और छठे मॉड्यूल को इस घटना से बाहर रखा गया है।
• प्रतिभागियों के व्यक्तिगत गुणों के बावजूद, हर एक की सफलता की संभावना P (e) = 1/2 है
• महिला विजेता होने की संभावना शून्य है।
• पुरुष विजेता होने की संभावना एक है।

संदर्भ

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