जड़ता का क्षण: सूत्र, समीकरण और गणना उदाहरण - शारीरिक - 2025

निष्क्रियता के क्षण रोटेशन की एक निश्चित धुरी के संबंध में एक कठोर शरीर के अपने कोणीय वेग को बदलने के लिए अपनी प्रतिरोध का प्रतिनिधित्व करता है चारों ओर धुरी कहा। यह द्रव्यमान के लिए आनुपातिक है और रोटेशन की धुरी के स्थान के लिए भी है, क्योंकि शरीर, इसकी ज्यामिति के आधार पर, दूसरों की तुलना में कुछ अक्षों के चारों ओर अधिक आसानी से घूम सकता है।

मान लीजिए कि एक बड़ी वस्तु (कई कणों से मिलकर) जो एक अक्ष के चारों ओर घूम सकती है। मान लीजिए कि एक बल एफ में कार्य करता है, बड़े पैमाने पर Δm के तत्व पर स्पर्शरेखीय लागू किया _मैं, है, जो एक टोक़ या पल का उत्पादन द्वारा दिए गए τ _{शुद्ध} = Σ r _मैं x एफ _मैं । वेक्टर r _i, im _i की स्थिति है (चित्र 2 देखें)।

चित्रा 1. विभिन्न आकृतियों की जड़ता के क्षण। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

यह क्षण रोटेशन के विमान के लिए लंबवत है (दिशा + के = कागज को छोड़कर)। चूंकि बल और रेडियल स्थिति वेक्टर हमेशा लंबवत होते हैं, क्रॉस उत्पाद रहता है:

τ _नेट = ∑ F _i r _i k = Δ (im _i a _i) r _i k = _i am _i (एक _i r _i) k

चित्रा 2. रोटेशन में एक ठोस ठोस से संबंधित एक कण। स्रोत: Serway, R. 2018. भौतिकी और विज्ञान के लिए भौतिकी। वॉल्यूम 1. सेंगेज लर्निंग।

त्वरण _i, त्वरण के स्पर्शरेखा घटक का प्रतिनिधित्व करता है, क्योंकि रेडियल त्वरण टोक़ में योगदान नहीं करता है। कोणीय त्वरण α के एक समारोह के रूप में, हम संकेत कर सकते हैं कि:

इसलिए शुद्ध टोक़ इस तरह दिखता है:

τ _नेट = ∑ (m _i (α r _i ²) k = (= r _i ² Δm _i) ∑ k

कोणीय त्वरण α पूरे ऑब्जेक्ट के लिए समान है, इसलिए यह सबस्क्रिप्ट "i" से प्रभावित नहीं होता है और यह समन छोड़ सकता है, जो अक्षर I द्वारा इंगित वस्तु की जड़ता का ठीक क्षण है:

यह एक असतत जन वितरण की जड़ता का क्षण है। जब वितरण निरंतर होता है, तो योग को एक अभिन्न के साथ बदल दिया जाता है और am एक बड़े पैमाने पर अंतर dm बन जाता है। अभिन्न पूरी वस्तु पर किया जाता है:

एसआई इंटरनेशनल सिस्टम में जड़ता के क्षण के लिए इकाइयाँ किलो xm ^{2 हैं} । यह एक अदिश और सकारात्मक मात्रा है, क्योंकि यह एक द्रव्यमान और दूरी के वर्ग का गुणनफल है।

गणना के उदाहरण

एक विस्तारित वस्तु, जैसे बार, डिस्क, क्षेत्र या अन्य, जिसका घनत्व ρ स्थिर है और यह जानते हुए कि घनत्व द्रव्यमान-आयतन अनुपात है, द्रव्यमान अंतर dm के रूप में लिखा गया है:

जड़ता के क्षण के लिए अभिन्न रूप में प्रतिस्थापित, हमारे पास है:

यह एक सामान्य अभिव्यक्ति है, एक त्रि-आयामी वस्तु के लिए मान्य है, जिसकी मात्रा V और स्थिति r स्थानिक निर्देशांक x, y और z के कार्य हैं। ध्यान दें कि स्थिर होना, घनत्व अभिन्न के बाहर है।

घनत्व ρ को बल्क घनत्व के रूप में भी जाना जाता है, लेकिन अगर वस्तु बहुत सपाट है, जैसे चादर या बहुत पतली और रॉड की तरह संकीर्ण, तो घनत्व के अन्य रूपों का उपयोग किया जा सकता है, आइए देखें:

- एक बहुत पतली शीट के लिए, उपयोग करने के लिए घनत्व the, सतह घनत्व (प्रति यूनिट क्षेत्र) और डीए क्षेत्र अंतर है।

- और अगर यह एक पतली पट्टी है, जहां केवल लंबाई प्रासंगिक है, तो रैखिक द्रव्यमान घनत्व λ और एक लंबाई के अंतर का उपयोग किया जाता है, एक संदर्भ के रूप में उपयोग की गई धुरी के अनुसार।

अनुसरण करने वाले उदाहरणों में, सभी वस्तुओं को कठोर (विकृत नहीं) माना जाता है और एक समान घनत्व होता है।

एक पतली पट्टी की जड़ता का क्षण इसके केंद्र से गुजरने वाली धुरी के संबंध में

यहां हम एक पतली, कठोर, सजातीय बार की लंबाई की गणना करने जा रहे हैं, लंबाई एल और मास एम की, एक धुरी के संबंध में जो माध्यम से गुजरती है।

सबसे पहले, एक समन्वय प्रणाली स्थापित करना और उपयुक्त ज्यामिति के साथ एक आकृति का निर्माण करना आवश्यक है, जैसे:

चित्रा 3. एक ज्यामितीय अक्ष के संबंध में एक पतली छड़ की जड़ता के क्षण की गणना करने के लिए ज्यामिति जो इसके केंद्र से गुजरती है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

बार और वाई-एक्स के साथ एक्स-अक्ष को रोटेशन के अक्ष के रूप में चुना गया था। अभिन्न की स्थापना के लिए प्रक्रिया को बार पर एक बड़े अंतर को चुनने की आवश्यकता होती है, जिसे डीएम कहा जाता है, जिसमें एक अंतर लंबाई dx होती है और केंद्र x = 0 के संबंध में, मनमाना स्थिति x पर स्थित होता है।

रैखिक द्रव्यमान घनत्व λ की परिभाषा के अनुसार:

चूंकि घनत्व एक समान है, जो M और L के लिए मान्य है, यह dm और dx के लिए भी मान्य है:

दूसरी ओर, द्रव्यमान तत्व स्थिति x में है, इसलिए परिभाषा में इस ज्यामिति को प्रतिस्थापित करके, हमारे पास एक निश्चित अभिन्न अंग है, जिसकी सीमाएं समन्वय प्रणाली के अनुसार बार के छोर हैं:

रैखिक घनत्व λ = M / L को प्रतिस्थापित करना:

रोटेशन की एक और धुरी के संबंध में बार की जड़ता के क्षण का पता लगाने के लिए, उदाहरण के लिए, जो इसके एक छोर से गुजरता है, आप स्टीनर के प्रमेय (अंत में हल किए गए व्यायाम देखें) का उपयोग कर सकते हैं या एक दिखाए गए के समान प्रत्यक्ष गणना कर सकते हैं यहाँ, लेकिन उचित रूप से ज्यामिति को संशोधित करना।

अपने केंद्र से गुजरने वाली धुरी के संबंध में एक डिस्क की जड़ता का क्षण

नगण्य मोटाई की एक बहुत पतली डिस्क एक सपाट आकृति है। यदि द्रव्यमान को क्षेत्र A की पूरी सतह पर समान रूप से वितरित किया जाता है, तो द्रव्यमान घनत्व ly है:

डीएम और डीए दोनों द्रव्यमान और आकृति में दिखाए गए अंतर रिंग के क्षेत्र के अनुरूप हैं। हम मान लेंगे कि पूरी विधानसभा y- अक्ष के चारों ओर घूमती है।

आप कल्पना कर सकते हैं कि डिस्क त्रिज्या r के कई संकेंद्रित वलयों से बनी है, प्रत्येक इसकी जड़ता के संबंधित क्षण के साथ है। त्रिज्या आर तक पहुंचने तक सभी रिंग के योगदान को जोड़ते हुए, हमारे पास डिस्क की जड़ता का कुल क्षण होगा।

चित्र 4. अक्षीय अक्ष के संबंध में एक डिस्क की जड़ता के क्षण की गणना करने के लिए ज्यामिति। स्रोत: एफ। ज़पाटा

जहां M डिस्क के पूरे द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है। डिस्क का क्षेत्र उसके त्रिज्या r पर निर्भर करता है:

R के संबंध में जानकारी देना:

I की परिभाषा में उपरोक्त को प्रतिस्थापित करना:

प्रतिस्थापन) = M / (π.R ²) हमें मिलता है:

एक व्यास के बारे में एक ठोस क्षेत्र की जड़ता का क्षण

त्रिज्या R के एक गोले को डिस्क की एक श्रृंखला के रूप में माना जा सकता है जो एक के ऊपर एक खड़ी होती है, जहाँ infinitesimal mass dm, त्रिज्या r और मोटाई dz की प्रत्येक डिस्क द्वारा दी गई जड़ता का एक क्षण होता है:

इस अंतर को खोजने के लिए, हमने पिछले भाग से सूत्र लिया और क्रमशः d और r के लिए M और R को प्रतिस्थापित किया। इस तरह की एक डिस्क आकृति 5 की ज्यामिति में देखी जा सकती है।

चित्रा 5. एक व्यास से गुजरने वाली धुरी के संबंध में त्रिज्या आर के एक ठोस क्षेत्र की जड़ता की गणना करने के लिए ज्यामिति। स्रोत: एफ। ज़पाटा

खड़ी डिस्क की जड़ता के सभी अनंत क्षणों को जोड़कर, गोले की जड़ता का कुल क्षण प्राप्त किया जाता है:

जो इसके बराबर है:

अभिन्न को हल करने के लिए आपको उचित रूप से डीएम व्यक्त करने की आवश्यकता है। हमेशा की तरह, यह घनत्व से प्राप्त होता है:

एक अंतर डिस्क की मात्रा है:

डिस्क की ऊंचाई मोटाई dz है, जबकि आधार का क्षेत्रफल thereforer ^{2 है}, इसलिए:

और प्रस्तावित अभिन्न में प्रतिस्थापित यह इस तरह दिखेगा:

लेकिन एकीकृत करने से पहले, हमें यह देखना चाहिए कि डिस्क की r-the त्रिज्या - इस क्षेत्र पर निर्भर करती है कि z और R- क्षेत्र की त्रिज्या, जैसा कि चित्र 5 से देखा जा सकता है। पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करना:

जो हमें ले जाता है:

पूरे क्षेत्र को एकीकृत करने के लिए, हम ध्यान दें कि z, R और R के बीच भिन्न है, इसलिए:

यह जानते हुए कि ρ = M / V = ​​M / को आखिरकार, सरल बनाने के बाद प्राप्त किया जाता है:

अक्षीय धुरी के संबंध में एक ठोस सिलेंडर की जड़ता का क्षण

इस ऑब्जेक्ट के लिए, गोले के लिए इस्तेमाल की जाने वाली एक विधि का उपयोग किया जाता है, केवल इस बार यह आसान होता है यदि सिलेंडर को त्रिज्या r, मोटाई ड्र और ऊंचाई एच के साथ बेलनाकार गोले से बना होने की कल्पना की जाती है, जैसे कि वे एक प्याज की परतें थीं। ।

चित्रा 6. अक्षीय अक्ष के संबंध में त्रिज्या आर के एक ठोस सिलेंडर की जड़ता की गणना करने के लिए ज्यामिति। स्रोत: Serway, R. 2018. भौतिकी और विज्ञान के लिए भौतिकी। मात्रा 1. सेंग।

एक बेलनाकार परत का आयतन dV है:

इसलिए शेल द्रव्यमान है:

इस अभिव्यक्ति को जड़ता के क्षण की परिभाषा में प्रतिस्थापित किया गया है:

उपरोक्त समीकरण बताता है कि जड़ता का सिलेंडर का क्षण उसकी लंबाई पर नहीं, बल्कि उसके द्रव्यमान और त्रिज्या पर निर्भर करता है। यदि L को बदलना है, तो अक्षीय अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण समान रहेगा। इस कारण से, सिलेंडर का मैं पहले की गणना की गई पतली डिस्क के साथ मेल खाता है।

एक आयताकार शीट की जड़ता का क्षण इसके केंद्र से गुजरने वाली धुरी के संबंध में

क्षैतिज y- अक्ष को रोटेशन के अक्ष के रूप में चुना गया है। नीचे दिया गया आंकड़ा एकीकरण को पूरा करने के लिए आवश्यक ज्यामिति दर्शाता है:

चित्रा 7. शीट के समानांतर एक धुरी के संबंध में एक आयताकार प्लेट की जड़ता के क्षण की गणना के लिए ज्यामिति और उसके केंद्र से गुजरना। स्रोत: एफ। ज़पाटा

लाल में चिह्नित क्षेत्र तत्व आयताकार है। इसका क्षेत्र आधार x ऊंचाई है, इसलिए:

इसलिए द्रव्यमान अंतर है:

क्षेत्र तत्व से रोटेशन की धुरी की दूरी के लिए, यह हमेशा z होता है। हम जड़ता के क्षण के अभिन्न अंग में यह सब स्थानापन्न करते हैं:

अब सतह द्रव्यमान घनत्व σ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

और यह निश्चित रूप से इस तरह दिखता है:

ध्यान दें कि यह पतली पट्टी की तरह है।

अपने केंद्र से गुजरने वाली धुरी के संबंध में एक वर्ग शीट की जड़ता का क्षण

साइड एल के साथ एक वर्ग के लिए, पिछली अभिव्यक्ति में एक आयत के लिए मान्य है, बस एल के लिए बी के मूल्य को प्रतिस्थापित करें:

पल की जड़ता के सिद्धांत

अन्य कुल्हाड़ियों के संबंध में जड़ता के क्षणों की गणना को सरल बनाने के लिए दो विशेष रूप से उपयोगी प्रमेय हैं, जो समरूपता की कमी के कारण अन्यथा खोजना मुश्किल हो सकता है। ये प्रमेय हैं:

स्टेनर का प्रमेय

समानांतर कुल्हाड़ी प्रमेय भी कहा जाता है, यह जड़ता के क्षण को एक धुरी के संबंध में दूसरे के साथ संबंधित करता है जो वस्तु के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरता है, जब तक कि कुल्हाड़ियां समानांतर होती हैं। इसे लागू करने के लिए, दोनों अक्षों और निश्चित रूप से वस्तु के द्रव्यमान M के बीच की दूरी D को जानना आवश्यक है।

मैं _z अक्ष के संबंध में विस्तारित किसी वस्तु की जड़ता का क्षण हूं, मैं उस वस्तु के द्रव्यमान (CM) के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के संबंध में जड़ता के क्षण को _सीएम करता हूं, तो यह संतुष्ट है कि:

या निम्नलिखित आकृति के अंकन में: I _{z '} = I _z + Md ²

चित्रा 8. स्टेनर की प्रमेय या समानांतर कुल्हाड़ियों। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स जैक देखें

लंबवत कुल्हाड़ियों का प्रमेय

यह प्रमेय विमान की सतहों पर लागू होता है और इस तरह से होता है: एक अक्ष के चारों ओर एक समतल वस्तु की जड़ता का क्षण, यह पहली अक्ष के लिए लंबवत दो अक्षों के आसपास जड़ता के क्षणों का योग है:

चित्रा 9. लंबवत कुल्हाड़ियों प्रमेय। स्रोत: एफ। ज़पाटा

यदि ऑब्जेक्ट में समरूपता है जैसे कि I _x और I _y बराबर हैं, तो यह सच है कि:

व्यायाम हल किया

एक अक्ष के संबंध में बार की जड़ता का क्षण ज्ञात करें जो उसके एक छोर से गुजरती है, जैसा कि आकृति 1 (नीचे और दाईं ओर) और आकृति 10 में दिखाया गया है।

चित्रा 10. एक धुरी के चारों ओर एक सजातीय बार की जड़ता का क्षण जो एक छोर से गुजरता है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

उपाय:

हमारे पास पहले से ही एक अक्ष के चारों ओर बार की जड़ता का क्षण है जो इसके ज्यामितीय केंद्र से गुजरता है। चूंकि बार सजातीय है, इसलिए इसका द्रव्यमान केंद्र उस बिंदु पर है, इसलिए यह स्टाइनर की प्रमेय लागू करने के लिए हमारा I _CM होगा ।

यदि बार की लंबाई L है, तो Z अक्ष D = L / 2 की दूरी पर है, इसलिए:

संदर्भ

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