पेंडुलम गति: सरल पेंडुलम, सरल हार्मोनिक - शारीरिक - 2025

एक पेंडुलम एक वस्तु (आदर्श रूप से एक बिंदु द्रव्यमान) एक निश्चित बिंदु से एक धागे (आदर्श रूप से द्रव्यमान के बिना) द्वारा लटका दिया जाता है और जो गुरुत्वाकर्षण बल के लिए धन्यवाद देता है, वह रहस्यमय अदृश्य बल, जो अन्य चीजों के अलावा, ब्रह्मांड को चिपके रखता है।

पेंडुलर आंदोलन वह है जो एक वस्तु में एक तरफ से दूसरी तरफ होता है, जो फाइबर, केबल या धागे से लटका होता है। इस आंदोलन में हस्तक्षेप करने वाली ताकतें गुरुत्वाकर्षण बल (ऊर्ध्वाधर, पृथ्वी के केंद्र की ओर) और धागे के तनाव (धागे की दिशा) के संयोजन हैं।

पेंडुलम दोलन, गति और त्वरण दिखा रहा है (wikipedia.org)

यह पेंडुलम घड़ियों (इसलिए इसका नाम) या खेल का मैदान झूलों है। एक आदर्श पेंडुलम में दोलन गति सदा के लिए जारी रहेगी। एक असली पेंडुलम में, दूसरी ओर हवा के साथ घर्षण के कारण समय के बाद गति रुक ​​जाती है।

एक पेंडुलम के बारे में सोचना पेंडुलम घड़ी की छवि को विकसित करने के लिए अपरिहार्य बनाता है, उस पुरानी और दादा दादी के देश के घर से घड़ी लगाने की स्मृति। या शायद एडगर एलन पो की डरावनी कहानी, द वेल एंड द पेंडुलम, जिसका वर्णन स्पैनिश पूछताछ द्वारा उपयोग किए जाने वाले कई यातना तरीकों से प्रेरित है।

सच्चाई यह है कि विभिन्न प्रकार के पेंडुलम में समय को मापने से परे विभिन्न अनुप्रयोग होते हैं, जैसे, उदाहरण के लिए, एक निश्चित स्थान पर गुरुत्वाकर्षण के त्वरण को निर्धारित करना और यहां तक ​​कि पृथ्वी के घूर्णन का प्रदर्शन करना जैसा कि फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी जीन बर्नार्ड लेयर ने किया था। फूको।

फौकॉल्ट पेंडुलम। लेखक: वीट फ्रॉयर (wikipedia.org)।

सरल पेंडुलम और सरल हार्मोनिक थरथानेवाला आंदोलन

सरल पेंडुलम

सरल पेंडुलम, हालांकि यह एक आदर्श प्रणाली है, एक पेंडुलम के आंदोलन के लिए एक सैद्धांतिक दृष्टिकोण करने की अनुमति देता है।

हालांकि एक साधारण पेंडुलम की गति के समीकरण कुछ जटिल हो सकते हैं, सच्चाई यह है कि जब गति का आयाम (ए), या संतुलन की स्थिति से विस्थापन छोटा होता है, तो इसे एक हार्मोनिक गति के समीकरणों के साथ लगाया जा सकता है। सरल जो अत्यधिक जटिल नहीं हैं।

सरल आवर्त गति

सरल हार्मोनिक आंदोलन एक आवधिक आंदोलन है, अर्थात यह समय में दोहराया जाता है। इसके अलावा, यह एक दोलकीय आंदोलन है जिसका दोलन एक संतुलन बिंदु के आसपास होता है, अर्थात, एक बिंदु जिस पर शरीर पर लागू बलों के योग का शुद्ध परिणाम शून्य है।

इस तरह, पेंडुलम के आंदोलन की एक मौलिक विशेषता इसकी अवधि (टी) है, जो एक पूर्ण चक्र (या पूर्ण दोलन) बनाने में लगने वाले समय को निर्धारित करती है। एक पेंडुलम की अवधि निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित की जाती है:

जहाँ, l = पेंडुलम की लंबाई; और, जी = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का मूल्य।

अवधि से संबंधित एक मात्रा आवृत्ति (एफ) है, जो एक सेकंड में पेंडुलम के माध्यम से चक्रों की संख्या निर्धारित करती है। इस तरह, आवृत्ति को निम्न अभिव्यक्ति के साथ अवधि से निर्धारित किया जा सकता है:

पेंडुलम आंदोलन की गतिशीलता

आंदोलन में हस्तक्षेप करने वाली ताकतों का वजन, या क्या समान है, गुरुत्वाकर्षण बल (P) और थ्रेड का तनाव (T) है। इन दोनों ताकतों का संयोजन आंदोलन का कारण बनता है।

जबकि तनाव हमेशा उस धागे या रस्सी की दिशा में निर्देशित होता है जो द्रव्यमान को निश्चित बिंदु के साथ जोड़ता है और इसलिए, इसे विघटित करने के लिए आवश्यक नहीं है; वजन हमेशा पृथ्वी के द्रव्यमान के केंद्र की ओर लंबवत निर्देशित होता है, और इसलिए, इसे इसके स्पर्शनीय और सामान्य या रेडियल घटकों में विघटित करना आवश्यक है।

वजन का _t की संभावित घटक P _t = mg sin the है, जबकि वजन का सामान्य घटक P _N = mg cos the है । इस दूसरे को धागे के तनाव के साथ मुआवजा दिया गया है; वजन का स्पर्शरेखा घटक, जो एक बहाल बल के रूप में कार्य करता है, इसलिए अंततः आंदोलन के लिए जिम्मेदार है।

विस्थापन, वेग और त्वरण

एक सरल हार्मोनिक आंदोलन का विस्थापन, और इसलिए पेंडुलम, निम्न समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है:

x = ए = कॉस (+ t +) ₀)

जहाँ; = रोटेशन का कोणीय वेग है; t = समय है; और, θ ₀ = प्रारंभिक चरण है।

इस तरह, यह समीकरण हमें किसी भी समय पेंडुलम की स्थिति निर्धारित करने की अनुमति देता है। इस संबंध में, सरल हार्मोनिक गति के कुछ परिमाणों के बीच कुछ संबंधों को उजागर करना दिलचस्प है।

∏ = 2 ω / T = 2 ω / f

दूसरी ओर, सूत्र जो समय के एक कार्य के रूप में पेंडुलम की गति को नियंत्रित करता है, विस्थापन को समय के एक समारोह के रूप में प्राप्त करके प्राप्त होता है, इस तरह:

v = dx / dt = -A d पाप (θ t +) ₀)

इसी तरह आगे बढ़ते हुए, समय के संबंध में त्वरण की अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

a = DV / dt = - A dv ² कॉस (θ t +) ₀)

अधिकतम गति और त्वरण

वेग की अभिव्यक्ति और त्वरण दोनों का अवलोकन करना पेंडुलम की गति के कुछ दिलचस्प पहलुओं की सराहना कर सकता है।

वेग संतुलन की स्थिति में अपना अधिकतम मूल्य लेता है, जिस समय त्वरण शून्य होता है, चूंकि, जैसा कि पहले कहा गया है, उस समय शुद्ध बल शून्य है।

इसके विपरीत, विस्थापन के चरम पर विपरीत होता है, वहां त्वरण अधिकतम मूल्य लेता है, और वेग एक शून्य मान लेता है।

वेग और त्वरण के समीकरणों से अधिकतम वेग के मापांक और अधिकतम त्वरण के मापांक दोनों को कम करना आसान है। दोनों पापों (θ t + and ₀) और cos (ω t + in ₀) के लिए अधिकतम संभव मान लेना पर्याप्त है, जो दोनों मामलों में 1 है।

│ v _{अधिकतम} │ = A │

│ _{अधिकतम} │ = A │ ²

वह क्षण जिस पर पेंडुलम अपनी अधिकतम गति तक पहुंच जाता है, जब वह बलों के संतुलन बिंदु से होकर गुजरता है तब से पाप (sin t + θ ₀) = 1 होता है। इसके विपरीत, गति के दोनों सिरों पर अधिकतम त्वरण पहुँच जाता है क्योंकि तब से cos (+ t + 1 ₀) = 1

निष्कर्ष

एक पेंडुलम डिजाइन करने के लिए एक आसान वस्तु है और जाहिरा तौर पर एक साधारण आंदोलन के साथ है, हालांकि सच्चाई यह है कि यह जितना गहरा लगता है उससे कहीं अधिक जटिल है।

हालांकि, जब प्रारंभिक आयाम छोटा होता है, तो इसकी गति को समीकरणों के साथ समझाया जा सकता है जो अत्यधिक जटिल नहीं हैं, क्योंकि यह सरल हार्मोनिक थरथानेवाला गति के समीकरणों के साथ अनुमानित किया जा सकता है।

विभिन्न प्रकार के पेंडुलम जो मौजूद हैं, दोनों दैनिक जीवन और वैज्ञानिक क्षेत्र के लिए अलग-अलग अनुप्रयोग हैं।

संदर्भ

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