एक-आयामी तरंगें: गणितीय अभिव्यक्ति और उदाहरण - शारीरिक - 2025

एक आयामी तरंगें वे हैं जो केवल एक ही दिशा में प्रचारित करती हैं, भले ही कंपन प्रसार की एक ही दिशा में हो या न हो। इसका एक अच्छा उदाहरण वह तरंग है जो एक गिटार की तरह एक तना हुआ तार के माध्यम से यात्रा करता है।

एक अनुप्रस्थ समतल लहर में, कण एक ऊर्ध्वाधर दिशा में कंपन करते हैं (वे वृद्धि और गिरते हैं, आकृति 1 में लाल तीर देखते हैं), लेकिन यह एक आयामी है क्योंकि अशांति केवल एक दिशा में यात्रा करती है, पीले तीर का अनुसरण करती है।

चित्र 1: छवि एक आयामी लहर का प्रतिनिधित्व करती है। ध्यान दें कि लकीरें और घाटियाँ एक दूसरे के समानांतर रेखाएँ बनाती हैं और प्रसार की दिशा में लंबवत होती हैं। स्रोत: स्व बनाया

रोज़मर्रा के जीवन में एक आयामी लहरें अक्सर दिखाई देती हैं। निम्नलिखित खंड में उनमें से कुछ उदाहरण और तरंगों के भी जो एक आयामी नहीं हैं, स्पष्ट रूप से अंतर स्थापित करने के लिए वर्णित हैं।

एक-आयामी तरंगों और गैर-आयामी तरंगों के उदाहरण

एक आयामी लहरें

यहां एक-आयामी तरंगों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं जिन्हें आसानी से देखा जा सकता है:

- एक ध्वनि नाड़ी जो एक सीधी पट्टी से होकर गुजरती है, क्योंकि यह एक गड़बड़ी है जो बार की पूरी लंबाई के साथ फैलती है।

- एक लहर जो पानी के एक चैनल से गुजरती है, तब भी जब पानी की सतह का विस्थापन चैनल के समानांतर नहीं होता है।

- वे तरंगें जो किसी सतह पर या त्रि-आयामी अंतरिक्ष के माध्यम से प्रचार करती हैं, वे भी एक-आयामी हो सकती हैं, जब तक कि उनके तरंग मोर्च एक दूसरे के समानांतर विमान होते हैं और केवल एक दिशा में यात्रा करते हैं।

गैर-एक आयामी लहरें

एक गैर-आयामी लहर का एक उदाहरण लहरों में पाया जाता है जो एक पत्थर को गिराए जाने पर अभी भी पानी की सतह पर बनता है। यह एक बेलनाकार तरंग के साथ एक दो आयामी लहर है।

चित्रा 2. छवि एक आयामी लहर क्या नहीं है के एक उदाहरण का प्रतिनिधित्व करती है। ध्यान दें कि crests और घाटियों हलकों और प्रसार की दिशा रेडियल जावक है, तो यह एक परिपत्र दो आयामी लहर है। स्रोत: पिक्साबे

एक गैर-आयामी लहर का एक और उदाहरण ध्वनि तरंग है जो एक पटाखे एक निश्चित ऊंचाई पर विस्फोट करके उत्पन्न करता है। यह एक त्रि-आयामी लहर है जिसमें गोलाकार तरंग मोर्चें हैं।

एक आयामी लहर की गणितीय अभिव्यक्ति

वेग-वी के साथ xy अक्ष की सकारात्मक दिशा में क्षीणन के बिना प्रचारित एक-आयामी लहर को व्यक्त करने का सबसे सामान्य तरीका है, गणितीय रूप से:

इस अभिव्यक्ति में y समय टी पर स्थिति x में गड़बड़ी का प्रतिनिधित्व करता है। तरंग का आकार फंक्शन f द्वारा दिया गया है। उदाहरण के लिए, आकृति 1 में दिखाया गया तरंग फ़ंक्शन है: y (x, t) = cos (x - vt) और तरंग की छवि तत्काल t = 0 से मेल खाती है।

इस तरह की एक तरंग, जिसे एक कोसाइन या साइन फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जाता है, एक हार्मोनिक लहर कहलाती है। यद्यपि यह एकमात्र तरंग नहीं है जो मौजूद है, यह अत्यंत महत्व का है, क्योंकि किसी भी अन्य लहर को एक सुपरपोजिशन या हार्मोनिक तरंगों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह प्रसिद्ध फूरियर प्रमेय है, इसलिए व्यापक रूप से सभी प्रकार के संकेतों का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है।

जब लहर एक्स-अक्ष की नकारात्मक दिशा में यात्रा करती है, तो बस v को -v तर्क में बदल देती है, छोड़ते हुए:

चित्र 3 बाईं ओर यात्रा करते हुए एक लहर का एनीमेशन दिखाता है: यह एक रूप है जिसे लोरेंट्ज़ियन फ़ंक्शन कहा जाता है और इसकी गणितीय अभिव्यक्ति है:

इस उदाहरण में प्रचार की गति समय की प्रत्येक इकाई के लिए अंतरिक्ष की v = 1, -एक इकाई है-।

चित्रा 3. गति v = 1 के साथ बाईं ओर यात्रा करने वाले लोरेन्ट्ज़ियन तरंग का उदाहरण। स्रोत: जोगेब्रा के साथ एफ। जैपटा द्वारा तैयार किया गया।

एक आयामी लहर समीकरण

तरंग समीकरण एक आंशिक व्युत्पन्न समीकरण है, जिसका समाधान निश्चित रूप से एक लहर है। यह स्थानिक भाग और उसके अस्थायी भाग के बीच गणितीय संबंध स्थापित करता है, और इसका रूप है:

काम का उदाहरण

हार्मोनिक तरंग के लिए सामान्य अभिव्यक्ति y (x, t) निम्नलिखित है:

a) पैरामीटर A, k, θ और.o के भौतिक अर्थ का वर्णन करें।

b) कॉशन तर्क में the संकेतों का क्या अर्थ है?

ग) सत्यापित करें कि दी गई अभिव्यक्ति वास्तव में पिछले खंड के तरंग समीकरण का समाधान है और प्रसार v के वेग v को ढूंढें।

का हल)

लहर की विशेषताएं निम्नलिखित मापदंडों में पाई जाती हैं:

टी के संबंध में दूसरा व्युत्पन्न: ∂ ² और / ∂t ² = -ω ² । A ⋅ कॉस (k ± x ± k θ t +)o)

इन परिणामों को तरंग समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है:

A और cosine दोनों ही सरलीकृत हैं, क्योंकि वे समानता के दोनों ओर दिखाई देते हैं और cosine का तर्क समान है, इसलिए अभिव्यक्ति में कमी आती है:

जो k और k के संदर्भ में v के लिए एक समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देता है:

संदर्भ

1. ई-शिक्षा। एक आयामी हार्मोनिक तरंगों का समीकरण। से पुनर्प्राप्त: e-ducativa.catedu.es
2. भौतिकी का कोना। वेव कक्षाएं। से पुनर्प्राप्त: fisicaparatontos.blogspot.com।
3. फिगेरोआ, डी। 2006. लहरें और क्वांटम भौतिकी। श्रृंखला: विज्ञान और इंजीनियरिंग के लिए भौतिकी। डगलस फिगुएरो द्वारा संपादित। साइमन बोलिवर यूनिवर्सिटी। कारकास, वेनेज़ुएला।
4. भौतिकी प्रयोगशाला। वेव गति। से पुनर्प्राप्त: fisicalab.com।
5. पीयरस, ए। लेक्चर 21: एक आयामी वेव समीकरण: डी 'एलेबर्ट का समाधान। से बरामद: ubc.ca
6. वेव समीकरण। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.com