आर्किमिडीज ' सिद्धांत कहा गया है कि एक शरीर पूरी तरह या आंशिक रूप से डूबे, एक ऊर्ध्वाधर उर्ध्वगामी बल जोर कहा जाता है, जो प्राप्त करता है शरीर से विस्थापित तरल पदार्थ की मात्रा के वजन के बराबर है।
कुछ वस्तुएं पानी में तैरती हैं, कुछ डूबती हैं, और कुछ आंशिक रूप से डूब जाती हैं। समुद्र तट की गेंद को डुबोने के लिए एक प्रयास करना आवश्यक है, क्योंकि तुरंत उस बल को माना जाता है जो इसे सतह पर लौटने की कोशिश करता है। इसके बजाय एक धातु क्षेत्र तेजी से डूबता है।
चित्रा 1. फ्लोटिंग गुब्बारे: आर्किमिडीज का सिद्धांत क्रिया में। स्रोत: पिक्साबे
दूसरी ओर, जलमग्न वस्तुएं हल्की लगती हैं, इसलिए तरल पदार्थ द्वारा एक बल लगाया जाता है जो वजन का विरोध करता है। लेकिन यह हमेशा गुरुत्वाकर्षण के लिए पूरी तरह से क्षतिपूर्ति नहीं कर सकता है। और, हालांकि यह पानी के साथ अधिक स्पष्ट है, गैसें भी उन में डूबी वस्तुओं पर इस बल का उत्पादन करने में सक्षम हैं।
इतिहास
आर्कमिडीज ऑफ सिरैक्यूज़ (287-212 ईसा पूर्व) वह था जिसने इस सिद्धांत की खोज की होगी, जो इतिहास में सबसे महान वैज्ञानिकों में से एक है। वे कहते हैं कि सिरैक्यूज़ के राजा हायरो द्वितीय ने एक सुनार को उसके लिए एक नया मुकुट बनाने का आदेश दिया, जिसके लिए उसने उसे एक निश्चित मात्रा में सोना दिया।
आर्किमिडीज
जब राजा ने नया मुकुट प्राप्त किया, तो यह सही वजन था, लेकिन उन्हें संदेह था कि सुनार ने सोने के बजाय चांदी जोड़कर उसे धोखा दिया था। ताज को नष्ट किए बिना वह इसे कैसे साबित कर सकता था?
हिरेओ ने आर्किमिडीज़ को बुलाया, जिनकी प्रतिष्ठा एक विद्वान के रूप में प्रसिद्ध थी, जिससे उन्हें समस्या को हल करने में मदद मिली। किंवदंती है कि आर्किमिडीज बाथटब में डूबे हुए थे जब उन्हें जवाब मिला और उनकी ऐसी भावना थी, कि वह "यूरेका" चिल्लाते हुए राजा के लिए खोज करने के लिए सिरैक्यूज़ की सड़कों के माध्यम से नग्न भाग गया, जिसका अर्थ है "मैंने उसे देखा"।
आर्किमिडीज ने क्या पाया? ठीक है, जब स्नान करते हैं, तो बाथटब में पानी का स्तर बढ़ जाता है जब वह प्रवेश करता है, जिसका अर्थ है कि जलमग्न शरीर तरल की एक निश्चित मात्रा को विस्थापित करता है।
और अगर उसने मुकुट को पानी में डुबो दिया, तो यह भी एक निश्चित मात्रा में पानी को विस्थापित करना पड़ता है यदि मुकुट सोने से बना होता है और अगर चांदी के साथ मिश्र धातु से बना होता है तो एक अलग।
सूत्र
आर्किमिडीज के सिद्धांत द्वारा निर्दिष्ट उठाने वाले बल को हाइड्रोस्टेटिक थ्रस्ट या बोयेंट बल के रूप में जाना जाता है और, जैसा कि हमने कहा है, यह जलमग्न होने पर शरीर द्वारा विस्थापित द्रव की मात्रा के वजन के बराबर है।
विस्थापित मात्रा उस वस्तु के आयतन के बराबर होती है जो पूरी तरह या आंशिक रूप से जलमग्न होती है। चूँकि किसी भी चीज़ का वजन mg है, और द्रव का द्रव्यमान घनत्व x मात्रा है, थ्रस्ट के परिमाण को B के रूप में दर्शाते हुए, गणितीय रूप से हमारे पास:
बी = एम द्रव एक्सजी = द्रव का घनत्व x जलमग्न आयतन x गुरुत्व
बी = ρ तरल पदार्थ एक्स वी जलमग्न एक्सजी
जहां ग्रीक अक्षर ρ ("rho") घनत्व को दर्शाता है।
स्पष्ट वजन
वस्तुओं का वजन परिचित मिलीग्राम अभिव्यक्ति का उपयोग करके गणना की जाती है, हालांकि पानी में डूबा होने पर चीजें हल्की महसूस होती हैं।
किसी वस्तु का स्पष्ट भार वह होता है जब उसे पानी या किसी अन्य तरल में डुबोया जाता है और उसे जानकर, अनियमित वस्तु का आयतन, जैसे कि राजा हायरो का ताज प्राप्त किया जा सकता है, जैसा कि नीचे देखा जाएगा।
ऐसा करने के लिए, यह पूरी तरह से पानी में डूबा हुआ है और एक डायनेमोमीटर से जुड़ी एक स्ट्रिंग से जुड़ा हुआ है - एक उपकरण जो वसंत के साथ फिट किया गया है जो बलों को मापने के लिए उपयोग किया जाता है। वस्तु का वजन जितना अधिक होगा, वसंत का बढ़ाव उतना अधिक होगा, जो उपकरण में दिए गए पैमाने पर मापा जाता है।
चित्रा 2. एक जलमग्न वस्तु का स्पष्ट वजन। स्रोत: एफ। जैपटा द्वारा तैयार किया गया।
न्यूटन का दूसरा नियम यह जानना कि वस्तु बाकी है:
BF y = B + T - W = 0
डब्ल्यू स्पष्ट वजन एक स्ट्रिंग टी में तनाव के बराबर होती है:
चूँकि जोर से वज़न की भरपाई होती है, चूँकि द्रव का भाग आराम में होता है, तब:
इस अभिव्यक्ति से यह निम्नानुसार है कि जोर सिलेंडर के ऊपरी चेहरे और निचले चेहरे के बीच दबाव अंतर के कारण है। चूंकि W = mg = ρ तरल पदार्थ। वी। जी, यह है:
जो पिछले अनुभाग में उल्लिखित जोर के लिए सटीक अभिव्यक्ति है।
अनुप्रयोग
आर्किमिडीज का सिद्धांत कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों में प्रकट होता है, जिनके बीच हम नाम रख सकते हैं:
- ऐरोस्टेटिक गुब्बारा। जो, इसकी औसत घनत्व आसपास की हवा की तुलना में कम होने के कारण, जोर बल के कारण इसमें तैरता है।
- जहाज। जहाजों का पतवार पानी से भारी होता है। लेकिन अगर पूरे पतले प्लस को अंदर हवा माना जाता है, तो कुल द्रव्यमान का अनुपात पानी से कम है और यही कारण है कि जहाज तैरते हैं।
- जीवन जाकेट। प्रकाश और झरझरा सामग्री के निर्माण के कारण, वे तैरने में सक्षम होते हैं क्योंकि द्रव्यमान-मात्रा अनुपात पानी की तुलना में कम होता है।
- पानी की टंकी के फिलिंग टैप को बंद करने के लिए फ्लोट। यह एक बड़ी मात्रा में हवा से भरा हुआ गोला है जो पानी के ऊपर तैरता है, जो धकेलने वाले बल का कारण बनता है - जो लीवर के प्रभाव से गुणा होता है - एक पानी की टंकी के भरने वाले नल की टोपी को बंद करने के लिए जब वह स्तर पर पहुंच गया हो। संपूर्ण।
उदाहरण
उदाहरण 1
किंवदंती है कि राजा हायरो ने सुनार को मुकुट बनाने के लिए एक निश्चित मात्रा में सोना दिया था, लेकिन अविश्वासी सम्राट ने सोचा कि सुनार ने मुकुट के अंदर सोने की तुलना में कम मूल्यवान धातु रखकर धोखा दिया होगा। लेकिन वह ताज को नष्ट किए बिना कैसे जान सकता था?
राजा ने आर्किमिडीज़ को समस्या सौंपी और इस समाधान की तलाश में, अपने प्रसिद्ध सिद्धांत की खोज की।
मान लीजिए कि कोरोना का वजन हवा में 2.10 किलोग्राम-एफ और पानी में पूरी तरह से डूबने पर 1.95 किलोग्राम-एफ है। इस मामले में, क्या कोई धोखा है या नहीं?
चित्रा 5. राजा हेरॉन के मुकुट का मुक्त शरीर आरेख। स्रोत: एफ। जैपटा द्वारा तैयार किया गया
बलों का आरेख ऊपर की आकृति में दिखाया गया है। ये ताकतें हैं: मुकुट का वजन पी, जोर ई और पैमाने से लटकने वाली रस्सी का तनाव टी ।
यह ज्ञात है पी = 2.10 किलो-च और टी = 1.95 किलो-च, यह बल के परिमाण का निर्धारण करने के लिए बनी हुई है ई:
दूसरी ओर, आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार, थ्रस्ट ई ताज के कब्जे वाले स्थान से विस्थापित पानी के वजन के बराबर है, अर्थात, गुरुत्वाकर्षण के त्वरण के कारण ताज के आयतन के पानी के समय का घनत्व:
जहां से ताज की मात्रा की गणना की जा सकती है:
ताज का घनत्व पानी के मुकुट के द्रव्यमान और उसके आयतन के बीच का भागफल है:
शुद्ध सोने का घनत्व एक समान प्रक्रिया द्वारा निर्धारित किया जा सकता है और परिणाम 19300 किग्रा / मी ^ 3 है।
दो घनत्वों की तुलना करने पर यह स्पष्ट होता है कि मुकुट शुद्ध सोने का नहीं है!
उदाहरण 2
डेटा और उदाहरण 1 के परिणाम के आधार पर, यह निर्धारित करना संभव है कि सुनार द्वारा कितना सोना चुराया गया था कि सोने के हिस्से को चांदी से बदल दिया गया है, जिसका घनत्व 10,500 किलोग्राम / मी ^ 3 है।
हम मुकुट के घनत्व को कहेंगे ρc, ρo सोने का घनत्व और ρ p चांदी का घनत्व।
मुकुट का कुल द्रव्यमान है:
M = ρc =V = ρo Vo + ρ p.Vp
मुकुट की कुल मात्रा चांदी की मात्रा और सोने की मात्रा है:
V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo
द्रव्यमान के लिए समीकरण में प्रतिस्थापन:
ρc + V = ρo⋅Vo + ρ p V (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ p) Vo = (ρc - ρ p) V
अर्थात्, सोने की आवाज़ की मात्रा जिसमें कुल मात्रा V का मुकुट होता है:
Vo = V) (ρc - ρ p) / (ρo - ρ p) =…
… = 0.00015 मीटर ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0.00005966 मीटर 3
सोने में वजन को खोजने के लिए जिसमें मुकुट होता है, हम सोने के घनत्व से गुणा करते हैं:
मो = 19300 * 0.00005966 = 1.1514 किग्रा
चूंकि मुकुट का द्रव्यमान 2.10 किलोग्राम है, हम जानते हैं कि 0.94858 किलोग्राम सोना सुनार द्वारा चुराया गया था और चांदी के द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था।
हल किया अभ्यास
अभ्यास 1
एक विशाल हीलियम गुब्बारा एक व्यक्ति को संतुलन में रखने में सक्षम है (ऊपर या नीचे जाने के बिना)।
मान लें कि व्यक्ति का वजन, साथ ही टोकरी, रस्सी और गुब्बारा 70 किलो है। इसके होने के लिए हीलियम की मात्रा कितनी होनी चाहिए? गुब्बारा कितना बड़ा होना चाहिए?
उपाय
हम मानेंगे कि जोर मुख्य रूप से हीलियम की मात्रा से उत्पन्न होता है और बाकी घटकों का जोर हीलियम की तुलना में बहुत कम होता है, जो बहुत अधिक मात्रा में होता है।
इस मामले में, उसे हीलियम की मात्रा की आवश्यकता होगी जो 70 किग्रा + हीलियम के वजन का एक थ्रस्ट प्रदान करने में सक्षम है।
चित्रा 6. हीलियम से भरे गुब्बारे का मुक्त शरीर आरेख। स्रोत: एफ। जैपटा द्वारा तैयार किया गया।
थ्रिल हीलियम के घनत्व और गुरुत्व के त्वरण के समय हीलियम की मात्रा का गुणनफल है। उस धक्का को हीलियम के वजन के साथ-साथ बाकी सभी के वजन को भी पूरा करना चाहिए।
DaV⋅g = Da⋅V⋅g + M.g
जिससे यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि V = M / (Da - Dh)
वी = 70 किग्रा / (1.25 - 0.18) किग्रा / मी ^ 3 = 65.4 मीटर ^ 3
लिफ्ट करने के लिए वायुमंडलीय दबाव में हीलियम का 65.4 मीटर ^ 3 आवश्यक है।
यदि हम एक गोलाकार ग्लोब मान लेते हैं, तो हम इसके दायरे को एक गोले के आयतन और त्रिज्या के बीच के संबंधों से पा सकते हैं:
वी = (4/3) ^R ^ 3
जहाँ से R = 2.49 मी। दूसरे शब्दों में, इसे हीलियम से भरे 5 मीटर व्यास के गुब्बारे की आवश्यकता होगी।
व्यायाम २
पानी की तुलना में कम घनत्व वाली सामग्री इसमें तैरती है। मान लीजिए कि आपके पास पॉलीस्टीरीन (सफेद कॉर्क), लकड़ी और बर्फ के टुकड़े हैं। किलो प्रति घन मीटर में उनकी घनत्व क्रमशः हैं: 20, 450 और 915।
पता लगाएं कि पानी के बाहर कुल मात्रा का कितना हिस्सा है और यह पानी की सतह के ऊपर कितना ऊंचा है, बाद के घनत्व के रूप में 1000 किलोग्राम प्रति घन मीटर ले रहा है।
उपाय
जब शरीर का भार पानी के कारण जोर के बराबर हो जाता है तो भय उत्पन्न होता है:
E = M⋅g
चित्रा 7. आंशिक रूप से जलमग्न वस्तु का मुक्त शरीर आरेख। स्रोत: एफ। जैपटा द्वारा तैयार किया गया।
भार शरीर का घनत्व Dc इसकी मात्रा V से गुणा और गुरुत्वाकर्षण g के त्वरण से होता है।
जोर आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार विस्थापित द्रव का भार है और इसकी गणना जल के घनत्व D को जलमग्न मात्रा V से गुणा करके और गुरुत्वाकर्षण के त्वरण से की जाती है।
अर्थात्:
DV⋅.g = Dc⋅V⋅g
जिसका अर्थ है कि जलमग्न मात्रा अंश शरीर के घनत्व और पानी के घनत्व के बीच भागफल के बराबर है।
अर्थात्, बकाया मात्रा अंश (V '' / V) है
यदि h अधिक ऊँचाई है और क्यू के क्यू के किनारे का अंश अंश के रूप में लिखा जा सकता है
तो आदेशित सामग्री के लिए परिणाम हैं:
पॉलीस्टाइनिन (सफेद कॉर्क):
(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% पानी से बाहर
लकड़ी:
(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- ((450/1000) = 55% पानी से बाहर
बर्फ:
(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- ((915/1000) = 8.5% पानी से बाहर
संदर्भ
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