पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया: विशेषताओं, अनुप्रयोगों और उदाहरण - शारीरिक - 2025

एक polytropic प्रक्रिया एक thermodynamic प्रक्रिया जब दबाव पी और मात्रा वी के बीच के रिश्ते पीवी द्वारा दिए गए तब होता है वह यह है कि ^एन स्थिर रखा जाता है। घातांक n एक वास्तविक संख्या है, आम तौर पर शून्य और अनंत के बीच, लेकिन कुछ मामलों में यह नकारात्मक हो सकता है।

N के मूल्य को पॉलीट्रॉपी इंडेक्स कहा जाता है और यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि एक पॉलीट्रोपिक थर्मोडायनामिक प्रक्रिया के दौरान, इंडेक्स को एक निश्चित मूल्य बनाए रखना चाहिए, अन्यथा प्रक्रिया को पॉलीट्रोपिक नहीं माना जाएगा।

चित्रा 1. एक बहुपद थर्मोडायनामिक प्रक्रिया का विशेषता समीकरण। स्रोत: एफ। ज़पाटा

बहुपत्नी प्रक्रियाओं के लक्षण

बहुपत्नी प्रक्रियाओं के कुछ विशिष्ट मामले हैं:

- आइसोथर्मल प्रक्रिया (निरंतर तापमान T पर), जिसमें प्रतिपादक n = 1 है।

- एक आइसोबैरिक प्रक्रिया (निरंतर दबाव पी पर), इस मामले में एन = 0।

- आइसोकोरिक प्रक्रिया (स्थिर वॉल्यूम V पर), जिसके लिए n = + ic।

- एडियाबेटिक प्रक्रियाएं (स्थिर एस एन्ट्रॉपी पर), जिसमें प्रतिपादक n = γ है, जहां atic एडियाबेटिक स्थिरांक है। यह निरंतर गति Cv पर ताप क्षमता द्वारा विभाजित निरंतर दबाव Cp पर ताप क्षमता के बीच भागफल है:

/ = सीपी / सीवी

- कोई अन्य थर्मोडायनामिक प्रक्रिया जो पिछले मामलों में से एक नहीं है। लेकिन जो एक वास्तविक और निरंतर पॉलीट्रोपिक इंडेक्स एन के साथ पीवी ^एन = सीटीटी से मिलता है वह भी एक पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया होगी।

चित्रा 2. पॉलीट्रोपिक थर्मोडायनामिक प्रक्रियाओं के विभिन्न विशिष्ट मामले। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

अनुप्रयोग

बहुपत्नी समीकरण के मुख्य अनुप्रयोगों में से एक बंद थर्मोडायनामिक प्रणाली द्वारा किए गए कार्य की गणना करना है, जब यह प्रारंभिक अवस्था से अंतिम अवस्था तक अर्ध-स्थैतिक तरीके से गुजरता है, अर्थात् संतुलन राज्यों के उत्तराधिकार के बाद।

N के विभिन्न मूल्यों के लिए बहुपद प्रक्रियाओं पर काम करते हैं

N ≠ 1 के लिए

एक बंद थर्मोडायनामिक प्रणाली द्वारा निष्पादित यांत्रिक कार्य डब्ल्यू की अभिव्यक्ति द्वारा गणना की जाती है:

डब्ल्यू =.dP.dV

जहां P दबाव और V मात्रा है।

एक बहुपत्नी प्रक्रिया के मामले में, दबाव और आयतन के बीच संबंध है:

हमारे पास एक बहुपद प्रक्रिया के दौरान किए गए यांत्रिक कार्य हैं, जो एक प्रारंभिक अवस्था 1 में शुरू होता है और अंतिम अवस्था 2 में समाप्त होता है। यह सब निम्नलिखित अभिव्यक्ति में दिखाई देता है:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

कार्य अभिव्यक्ति में स्थिर के मान को प्रतिस्थापित करके, हम प्राप्त करते हैं:

डब्ल्यू = (पी _२ वी _२ - पी _१ वी _१) / (१-एन)

इस मामले में कि कार्यशील पदार्थ को एक आदर्श गैस के रूप में तैयार किया जा सकता है, हमारे पास निम्नलिखित समीकरण हैं:

पीवी = एमआरटी

जहां m आदर्श गैस के मोल्स की संख्या है और R सार्वभौमिक गैस स्थिरांक है।

एक आदर्श गैस के लिए जो एक बहुपद सूचकांक के साथ एक बहुपद प्रक्रिया का अनुसरण करती है जो एकता से भिन्न होती है और जो एक अवस्था से प्रारंभिक तापमान T ₁ से दूसरे राज्य में तापमान T _{2 के} साथ गुजरती है, किया गया कार्य निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

डब्ल्यू = एम आर (टी ₂ - टी ₁) / (1-एन)

N → ∞ के लिए

पिछले अनुभाग में प्राप्त कार्य के सूत्र के अनुसार, हमारे पास n = the के साथ एक बहुपद प्रक्रिया का कार्य शून्य है, क्योंकि कार्य की अभिव्यक्ति को अनंत द्वारा विभाजित किया जाता है और इसलिए परिणाम शून्य हो जाता है। ।

इस परिणाम पर पहुंचने का एक और तरीका है संबंध ₁ P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ^{n से शुरू करना}, जिसे इस प्रकार से फिर से लिखा जा सकता है:

(पी ₁ / पी ₂) = (वी ₂ / वी ₁) ^एन

प्रत्येक सदस्य में nth रूट लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂) ^{(1 / n)}

उस मामले में n → →, हमारे पास (V ₂ / V1) = 1 है, जिसका अर्थ है:

वि _२ = वि _१

यही है, वॉल्यूम एक पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया में n → does के साथ नहीं बदलता है। इसलिए, यांत्रिक कार्य के अभिन्न अंग में मात्रा अंतर dV 0. है। इस प्रकार की बहुपत्नी प्रक्रियाओं को इसोकोरिक प्रक्रियाओं, या निरंतर मात्रा प्रक्रियाओं के रूप में भी जाना जाता है।

एन = 1 के लिए

फिर से हमारे पास कार्य के लिए अभिव्यक्ति है:

डब्ल्यू = ∫P डी.वी.

एन = 1 के साथ एक बहुपद प्रक्रिया के मामले में, दबाव और मात्रा के बीच संबंध है:

पीवी = स्थिर = सी

पिछली अभिव्यक्ति से पी को हल करके और प्रतिस्थापित करके, हमारे पास प्रारंभिक अवस्था 1 से अंतिम अवस्था 2 तक जाने के लिए किया गया कार्य है:

यानी:

डब्ल्यू = सी एलएन (वी ₂ / वी ₁)।

जैसा कि प्रारंभिक और अंतिम राज्य अच्छी तरह से निर्धारित होते हैं, इसलिए सीटीटी होगा। यानी:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

अंत में, हमारे पास एक बंद पॉलीट्रोपिक प्रणाली के यांत्रिक कार्य को खोजने के लिए निम्नलिखित उपयोगी अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें n = 1।

डब्ल्यू = पी _१ वी _१ एलएन (वी _२ / वी _१) = पी _२ वी _२ एलएन (वी _२ / वी _१)

यदि कार्यशील पदार्थ में आदर्श गैस के मोल्स होते हैं, तो राज्य के आदर्श गैस समीकरण को लागू किया जा सकता है: PV = mRT

इस मामले में, पीवी ₁ = सीटीटी के बाद से, हमारे पास यह है कि n = 1 के साथ एक बहुपद प्रक्रिया निरंतर तापमान T (आइसोथर्मल) पर एक प्रक्रिया है, ताकि काम के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ प्राप्त की जा सकें:

डब्ल्यू = एम आरटी _१ एलएन (वी _२ / वी _१) = एम आरटी _२ एलएन (वी _२ / वी _१)

चित्रा 3. एक पिघलती हुई मूर्ति, एक इज़ोटेर्माल प्रक्रिया का उदाहरण। स्रोत: पिक्साबे

बहुपत्नी प्रक्रियाओं के उदाहरण

- उदाहरण 1

मान लीजिए कि एक सिलेंडर एक जंगम पिस्टन के साथ एक किलोग्राम हवा से भरा है। प्रारंभ में हवा एक दबाव P ₁ = 400 kPa पर V ₁ = 0.2 m ^{3 की} मात्रा घेरती है। एक बहुपद प्रक्रिया को n = 1.4 = 1.4 के साथ पालन किया जाता है, जिसकी अंतिम स्थिति में दबाव P ₂ = 100 kPa होता है। पिस्टन पर हवा द्वारा किए गए कार्य का निर्धारण करें।

उपाय

जब बहुपत्नी सूचकांक एडियाबेटिक स्थिरांक के बराबर होता है, तो एक प्रक्रिया होती है जिसमें काम करने वाला पदार्थ (वायु) पर्यावरण के साथ गर्मी का आदान-प्रदान नहीं करता है, और इसलिए एन्ट्रापी भी नहीं बदलती है।

हवा के लिए, एक डायटोमिक आदर्श गैस, हमारे पास है:

C = Cp / Cv, Cp = (7/2) R और Cv = (5/2) R के साथ

इसलिए:

5 = 7/5 = 1.4

बहुपद प्रक्रिया की अभिव्यक्ति का उपयोग करते हुए, हवा की अंतिम मात्रा निर्धारित की जा सकती है:

वी ₂ = ^{(1 / 1.4)} = 0.54 मीटर ³ ।

अब हमारे पास ऊपर प्राप्त n obtained 1 के लिए एक बहुपद प्रक्रिया में किए गए कार्य के सूत्र को लागू करने की शर्तें हैं:

डब्ल्यू = (पी ₂ वी ₂ - पी _१ वी _१) / (१-एन)

हमारे पास उपयुक्त मानों को प्रतिस्थापित करना:

डब्ल्यू = (१०० केपीए ०.५४ मीटर ^३ - ४०० केपीए ०.२ मीटर ^३) / (१ - १.४) = ६५.४ केजे

- उदाहरण २

उदाहरण 1 से उसी सिलेंडर को ग्रहण करें, जिसमें एक किलोग्राम पिस्टन हवा से भरा हो। प्रारंभ में हवा एक दबाव P1 = 400 kPa पर V1 = 0.2 मीटर ^{3 की} मात्रा में रहती है । लेकिन पिछले मामले के विपरीत, हवा एक अंतिम दबाव P2 = 100 kPa तक पहुंचने के लिए isothermally का विस्तार करती है। पिस्टन पर हवा द्वारा किए गए कार्य का निर्धारण करें।

उपाय

जैसा कि पहले देखा गया है, इज़ोटेर्मल प्रक्रियाएं इंडेक्स एन = 1 के साथ पॉलीट्रोपिक प्रक्रियाएं हैं, इसलिए यह सच है कि:

पी 1 वी 1 = पी 2 वी 2

इस तरह, अंतिम मात्रा को आसानी से प्राप्त करने के लिए अलग किया जा सकता है:

वी 2 = 0.8 मीटर ³

फिर, केस n = 1 के लिए पहले प्राप्त कार्य अभिव्यक्ति का उपयोग करते हुए, हमारे पास है कि इस प्रक्रिया में पिस्टन पर हवा द्वारा किया गया कार्य इस प्रकार है:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Pa × 0.2 m ³ ln (0.8 / 0.2) = 110.9 kJ।

संदर्भ

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