साहचर्य संपत्ति: इसके अलावा, गुणा, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

जोड़ की सहयोगी संपत्ति विभिन्न गणितीय सेटों में अतिरिक्त संचालन के साहचर्य चरित्र का प्रतिनिधित्व करती है। इसमें, उक्त सेटों के तीन (या अधिक) तत्व संबंधित हैं, जिन्हें ए, बी और सी कहा जाता है, जैसे कि यह हमेशा सच होता है:

a + (b + c) = (a + b) + c

इस तरह से यह गारंटी दी जाती है कि ऑपरेशन को अंजाम देने के लिए समूह बनाने के तरीके की परवाह किए बिना, परिणाम समान है।

चित्रा 1. हम अंकगणित और बीजीय संचालन करते समय कई बार जोड़ की संपत्ति का उपयोग करते हैं। (ड्राइंग: फ़्रीपिक रचना: एफ। ज़पाटा)

लेकिन यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि साहचर्य संपत्ति कम्यूटेटिव संपत्ति का पर्याय नहीं है। यही है, हम जानते हैं कि जोड़ के क्रम में राशि में परिवर्तन नहीं होता है या कारकों के क्रम से उत्पाद में परिवर्तन नहीं होता है। तो राशि के लिए इसे इस तरह लिखा जा सकता है: a + b = b + a।

हालांकि, साहचर्य संपत्ति में यह भिन्न होता है, क्योंकि जोड़े जाने वाले तत्वों के क्रम को बनाए रखा जाता है और कौन से परिवर्तन पहले निष्पादित होते हैं। जिसका अर्थ है कि पहले (b + c) को जोड़ना और इस परिणाम में जोड़ना c जोड़ने के परिणाम के साथ एक साथ जोड़ना शुरू करने से कोई फर्क नहीं पड़ता।

कई महत्वपूर्ण संचालन जैसे कि जोड़ सहयोगी हैं, लेकिन सभी नहीं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के घटाव में ऐसा होता है कि:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

यदि a = 2, b = 3, c = 1, तो:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

गुणन की सहयोगी संपत्ति

जैसा कि इसके अलावा किया गया था, गुणन की साहचर्य संपत्ति कहती है कि:

a a (b) c) = (a ˟ b) ˟ c

वास्तविक संख्याओं के सेट के मामले में, यह सत्यापित करना आसान है कि यह हमेशा होता है। उदाहरण के लिए, मानों का उपयोग करके a = 2, b = 3, c = 1, हमारे पास है:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

वास्तविक संख्याएं जोड़ और गुणा दोनों की सहयोगी संपत्ति को पूरा करती हैं। दूसरी ओर, एक अन्य सेट में, जैसे कि वैक्टर, योग सहयोगी है, लेकिन क्रॉस उत्पाद या वेक्टर उत्पाद नहीं है।

गुणन के साहचर्य गुण के अनुप्रयोग

उन कार्यों का एक लाभ जिसमें साहचर्य संपत्ति पूरी हो गई है, सबसे सुविधाजनक तरीके से समूह बनाने में सक्षम होना है। यह रिज़ॉल्यूशन को बहुत आसान बनाता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक छोटे से पुस्तकालय में 5 अलमारियों के साथ 3 अलमारियां हैं। प्रत्येक शेल्फ में 8 किताबें हैं। सभी में कितनी किताबें हैं?

हम इस तरह के ऑपरेशन को अंजाम दे सकते हैं: कुल किताबें = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 किताबें।

या इस तरह: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 किताबें।

चित्रा 2. गुणन की साहचर्य संपत्ति का एक आवेदन प्रत्येक शेल्फ पर पुस्तकों की संख्या की गणना करना है। छवि एफ। Zapata द्वारा बनाई गई।

उदाहरण

प्राकृतिक, पूर्णांक, तर्कसंगत, वास्तविक और जटिल संख्याओं के अलावा, जोड़ और गुणा की सहयोगी संपत्ति पूरी होती है।

चित्रा 3. वास्तविक संख्याओं के लिए, जोड़ की सहयोगी संपत्ति पूरी होती है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

-फिल्म पॉलिनोमिअल्स वे इन ऑपरेशनों में भी लागू होते हैं।

घटाव, विभाजन और घातांक संचालन के मामलों में, साहचर्य संपत्ति वास्तविक संख्या या बहुपद के लिए पकड़ नहीं है।

-मृतकों के मामले में, जोड़-तोड़ और गुणन के लिए सहयोगी संपत्ति पूरी होती है, हालांकि बाद वाले मामले में, कम्यूटिविटी पूरी नहीं होती है। इसका मतलब यह है कि, ए, बी और सी को देखते हुए, यह सच है कि:

(ए एक्स बी) एक्स सी = ए एक्स (बी एक्स सी)

लेकिन… ए एक्स बी ≠ बी एक्स ए

वैक्टर में सहयोगी संपत्ति

वैक्टर वास्तविक संख्या या जटिल संख्या की तुलना में एक अलग सेट बनाते हैं। वैक्टर के सेट के लिए परिभाषित ऑपरेशन कुछ अलग हैं: इसके अलावा, घटाव और तीन प्रकार के उत्पाद हैं।

वैक्टर का योग सहयोगी संपत्ति को पूरा करता है, जैसा कि संख्या, बहुपद और मेट्रिसेस करते हैं। स्केलर उत्पादों के लिए, वेक्टर द्वारा स्केलर और क्रॉस जो वैक्टर के बीच बने होते हैं, बाद वाला इसे पूरा नहीं करता है, लेकिन स्केलर उत्पाद, जो वैक्टर के बीच एक अन्य प्रकार का ऑपरेशन है, इसे पूरा करता है, निम्नलिखित को ध्यान में रखते हुए:

-एक स्केलर के उत्पाद और एक वेक्टर में एक वेक्टर परिणाम होता है।

-और जब दो वैक्टर को स्केलरली गुणा करते हैं, तो एक स्केलर परिणाम होता है।

इसलिए, वैक्टर वी, यू और डब्ल्यू, और इसके अतिरिक्त एक स्केल λ को देखते हुए, यह लिखना संभव है:

- वैक्टर के योग: v + (u + w) = (v + u) + w

-Scalar उत्पाद: λ (v • u) = (λ v) • u

उत्तरार्द्ध इस तथ्य के लिए संभव है कि v • u एक अदिश राशि है, और λ v एक सदिश राशि है।

तथापि:

v × (u × w) ≠ (v × u) × w

शब्दों के समूहन द्वारा बहुपद का गुणनखंडन

यह एप्लिकेशन बहुत दिलचस्प है, क्योंकि जैसा कि पहले कहा गया था, साहचर्य संपत्ति कुछ समस्याओं को हल करने में मदद करती है। मोनोमियल का योग साहचर्य है और इसका उपयोग फैक्टरिंग के लिए किया जा सकता है जब एक स्पष्ट सामान्य कारक पहली नज़र में नहीं दिखता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आपसे कारक पूछा गया है: x ³ + 2 x ² + 3 x +6। इस बहुपद का कोई सामान्य कारक नहीं है, लेकिन आइए देखें कि अगर इसे इस तरह से बांटा जाए तो क्या होता है:

पहले कोष्ठक में कुल्हाड़ी ² का एक सामान्य कारक होता है:

दूसरे में सामान्य कारक 3 है:

अभ्यास

- अभ्यास 1

एक स्कूल की इमारत में 4 मंजिल हैं और प्रत्येक में 30 डेस्क के साथ 12 कक्षाएं हैं। स्कूल के कुल कितने डेस्क हैं?

उपाय

गुणन की साहचर्य संपत्ति को लागू करने से यह समस्या हल होती है, आइए देखें:

डेस्क की कुल संख्या = 4 मंजिल x 12 कक्षा / मंजिल x 30 डेस्क / कक्षा = (4 x 12) x 30 डेस्क = 48 x 30 = 1440 डेस्क।

या यदि आप पसंद करते हैं: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 डेस्क

- व्यायाम २

बहुपद को देखते हुए:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

A (x) + B (x) + C (x) ज्ञात करने के लिए जोड़ के साहचर्य गुण को लागू करें।

उपाय

आप पहले दो को जोड़ सकते हैं और परिणाम में तीसरे को जोड़ सकते हैं:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

तुरंत बहुपद C ​​(x) जोड़ा जाता है:

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

पाठक यह सत्यापित कर सकता है कि यदि परिणाम A (x) + द्वारा हल किया गया है तो परिणाम समान है।

संदर्भ

1. जिमेनेज, आर। 2008. बीजगणित। शागिर्द कक्ष।
2. गणित मजेदार है। कम्यूटेटिव, एसोसिएटिव और डिस्ट्रिब्यूटिव लॉ। से पुनर्प्राप्त: mathisfun.com।
3. मठ का गोदाम। एसोसिएटिव प्रॉपर्टी की परिभाषा। से पुनर्प्राप्त: mathwarehouse.com।
4. Sciencing। एसोसिएट और कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी ऑफ़ एडिशन एंड मल्टिप्लीकेशन (उदाहरण के साथ)। से पुनर्प्राप्त: Sciencing.com।
5. विकिपीडिया। संबंधी संपत्ति। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.org।