क्युइंग सिद्धांत: इतिहास, मॉडल, यह किसके लिए है और उदाहरण हैं - गणित - 2025

कतार सिद्धांत गणित की शाखा है कि अध्ययन घटनाएं और इंतजार कर लाइनों में व्यवहार। वे परिभाषित किए जाते हैं जब एक उपयोगकर्ता जो एक निश्चित सेवा की मांग करता है वह सर्वर के संसाधित होने की प्रतीक्षा करने का निर्णय लेता है।

किसी भी प्रकार की प्रतीक्षा लाइनों में मौजूद तत्वों का अध्ययन करें, चाहे वे मानव तत्व हों, या डेटा प्रोसेसिंग या संचालन। उनके निष्कर्ष उत्पादन, पंजीकरण और प्रसंस्करण लाइनों में निरंतर अनुप्रयोग के हैं।

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इसके मूल्य सही कार्यान्वयन प्रबंधन के लिए एक प्रमुख संगठनात्मक तत्व के रूप में कार्य करने से पहले, उनके कार्यान्वयन से पहले प्रक्रियाओं के पैरामीट्रिज़ेशन में कार्य करते हैं।

इतिहास

इसके विकास के लिए मुख्य जिम्मेदार डेनमार्क में जन्मे गणितज्ञ एगनर क्रैम्प एरांग थे, जिन्होंने कोपेनहेगन टेलीफोन एक्सचेंज दूरसंचार कंपनी में काम किया था।

एगनर ने कंपनी की टेलीफोन सेवा वितरण प्रणाली में उभरती जरूरतों को नोट किया। इसीलिए गणितीय परिघटना का अध्ययन जो प्रतीक्षा रेखा प्रणाली में निर्धारित किया जा सकता था।

उनका पहला आधिकारिक प्रकाशन क्विंग थ्योरी नामक एक लेख था, जिसे 1909 में प्रकाशित किया गया था। उनका ध्यान मुख्य रूप से कॉल सेवा के लिए लाइनों और टेलीफोन स्विचिंग केंद्रों की समस्या को निर्देशित किया गया था।

मॉडल और तत्व

कतारों के अलग-अलग मॉडल हैं जहां कुछ पहलुओं को उनमें से प्रत्येक को परिभाषित करने और उन्हें चित्रित करने के लिए जिम्मेदार हैं। मॉडलों को परिभाषित करने से पहले, प्रत्येक कतार मॉडल बनाने वाले तत्वों को प्रस्तुत किया जाता है।

-Elements

प्रवेश या संभावित जनसंख्या का स्रोत

यह सेवा के लिए संभावित आवेदकों का सेट है। यह किसी भी प्रकार के चर पर, मानव उपयोगकर्ताओं से डेटा पैकेट सेट पर लागू होता है। उन्हें सेट की प्रकृति के आधार पर परिमित और अनंत में वर्गीकृत किया गया है।

पुंछ

यह उन तत्वों के समूह को संदर्भित करता है जो पहले से ही सेवा प्रणाली का हिस्सा हैं। जो पहले से ही ऑपरेटर की उपलब्धता की प्रतीक्षा करने के लिए सहमत हो गए हैं। वे सिस्टम रेजोल्यूशन के इंतजार में हैं।

पूंछ प्रणाली

यह कतार, सेवा तंत्र और कतार के अनुशासन द्वारा गठित त्रय से बना है। यह सिस्टम प्रोटोकॉल को संरचना देता है, कतार में तत्वों के लिए चयन मानदंड को नियंत्रित करता है।

- सेवा तंत्र

यह वह प्रक्रिया है जिसके द्वारा प्रत्येक उपयोगकर्ता को सेवा प्रदान की जाती है।

-Client

यह संभावित आबादी से संबंधित कोई भी तत्व है जो सेवा की मांग करता है। ग्राहकों के प्रवेश की दर को जानना महत्वपूर्ण है, साथ ही संभावना है कि स्रोत ने उन्हें उत्पन्न किया है।

-कुछ क्षमता है

यह उन वस्तुओं की अधिकतम क्षमता को संदर्भित करता है जिनकी सेवा की प्रतीक्षा की जा सकती है। इसे व्यावहारिकता के मानदंड से अनंत मामलों में परिमित या अनंत माना जा सकता है।

-उपाय की कतार

यह वह प्रोटोकॉल है जिसके द्वारा ग्राहक को सेवा प्रदान करने का क्रम निर्धारित किया जाता है। यह उपयोगकर्ताओं के लिए एक प्रोसेसिंग और ऑर्डर चैनल के रूप में कार्य करता है, जो कतार के भीतर अपने स्वभाव और आंदोलन के लिए जिम्मेदार होता है। आपके मापदंड के अनुसार, यह विभिन्न प्रकारों का हो सकता है।

- एफआईएफओ: पहले आउट ऑफ इंग्लिश फर्स्ट आउट में, जिसे एफसीएफएस के नाम से भी जाना जाता है, पहले आओ पहले पाओ के रूप में। जिसका अर्थ है, क्रमशः, पहले आउट में फर्स्ट और फर्स्ट इन फर्स्ट सर्व। दोनों ही रूप निरूपित करते हैं कि आने वाला पहला ग्राहक सर्व किया जाएगा।

- LIFO: पहले आउट में अंतिम जिसे स्टैक या LCFS के रूप में भी जाना जाता है, पहले आओ पहले पाओ। जहां अंतिम बार पहुंचने वाले ग्राहक को पहले सेवा दी जाती है।

- RSS: यादृच्छिक क्रम में सेवा का चयन जिसे SIRO सेवा भी कहा जाता है, जहाँ ग्राहकों का चयन यादृच्छिक या यादृच्छिक मानदंडों के अनुसार किया जाता है।

मॉडल

3 पहलू हैं जो विचार करने के लिए कतारबद्ध मॉडल को नियंत्रित करते हैं। ये निम्नलिखित हैं:

- आगमन के बीच समय का वितरण: उस दर को संदर्भित करता है जिस पर इकाइयों को कतार में जोड़ा जाता है। वे कार्यात्मक मूल्य हैं और उनकी प्रकृति के आधार पर विभिन्न चर के अधीन हैं।

- सेवा समय का वितरण: क्लाइंट द्वारा अनुरोधित सेवा को संसाधित करने के लिए सर्वर द्वारा उपयोग किया जाने वाला समय। यह स्थापित किए गए संचालन या प्रक्रियाओं की संख्या के अनुसार भिन्न होता है।

ये 2 पहलू निम्नलिखित मूल्य ले सकते हैं:

एम: घातीय घातीय वितरण (मार्कोवियाना)।

डी: कमजोर वितरण (लगातार समय)।

ई _k: आकृति पैरामीटर k के साथ एरलैंग वितरण।

जी: सामान्य वितरण (कोई भी वितरण)।

- सर्वरों की संख्या: सर्विस गेट खुले और प्रोसेस करने के लिए उपलब्ध हैं। वे प्रत्येक पंक्तिबद्ध मॉडल की संरचनात्मक परिभाषा में आवश्यक हैं।

इस तरह, कतारबद्ध मॉडलों को परिभाषित किया जाता है, पहले आगमन समय वितरण और सेवा समय वितरण के बड़े अक्षरों में शुरुआती अक्षर लेते हैं। अंत में, सर्वरों की संख्या का अध्ययन किया जाता है।

एक सामान्य रूप से सामान्य उदाहरण एमएम 1 है, जो एक सर्वर के साथ काम करते समय एक प्रकार के आगमन और सेवा समय वितरण को संदर्भित करता है।

अन्य प्रकार के कतार मॉडल एमएम एस, एमजी 1, एमई 1, डीएम 1, अन्य हैं।

पंक्तिबद्ध प्रणाली के प्रकार

कई प्रकार की कतारबद्ध प्रणालियां हैं जहां कई चर प्रस्तुत किए गए सिस्टम के प्रकार के संकेतक के रूप में कार्य करते हैं। लेकिन मूल रूप से यह कतारों की संख्या और सर्वरों की संख्या से नियंत्रित होता है। सेवा प्राप्त करने के लिए उपयोगकर्ता के लिए रैखिक संरचना भी लागू होती है।

- एक कतार और एक सर्वर। यह सामान्य संरचना है, जहां उपयोगकर्ता आगमन प्रणाली के माध्यम से कतार में प्रवेश करता है, जहां कतार के अनुशासन के अनुसार अपना इंतजार पूरा करने के बाद, और केवल सर्वर द्वारा संसाधित किया जाता है।

- एक कतार और कई सर्वर। उपयोगकर्ता, अपने प्रतीक्षा समय के अंत में, विभिन्न सर्वरों पर जा सकता है जो एक ही प्रक्रियाओं के निष्पादक हो सकते हैं, साथ ही वे विभिन्न प्रक्रियाओं के लिए निजी भी हो सकते हैं।

- एकाधिक कतार और कई सर्वर। संरचना को विभिन्न प्रक्रियाओं के लिए विभाजित किया जा सकता है या सामान्य सेवा की उच्च मांग को कवर करने के लिए एक विस्तृत चैनल के रूप में काम कर सकता है।

- अनुक्रमिक सर्वर के साथ एक कतार। उपयोगकर्ता विभिन्न चरणों से गुजरते हैं। वे कतार में प्रवेश करते हैं और कतार में जगह बनाते हैं, और जब उन्हें पहले सर्वर द्वारा सेवा दी जाती है, तो वे एक नए चरण में जाते हैं, जिसमें पहली सेवा में पिछली पूर्ति की आवश्यकता होती है।

शब्दावली

- λ: यह प्रतीक (लैम्ब्डा) प्रति समय अंतराल में इनपुट के अपेक्षित मूल्य को कतारबद्ध सिद्धांत में दर्शाता है।

- 1 / λ: सिस्टम में प्रवेश करने वाले प्रत्येक उपयोगकर्ता के आने के समय के बीच अपेक्षित मूल्य के अनुरूप है।

- μ: प्रतीक म्यू ग्राहकों की अपेक्षित संख्या से मेल खाता है जो समय की प्रति यूनिट सेवा को पूरा करता है। यह हर सर्वर पर लागू होता है।

- 1 / μ: सिस्टम द्वारा अपेक्षित सेवा समय।

- ρ: प्रतीक Rho सर्वर के उपयोग कारक को दर्शाता है। यह मापने के लिए उपयोग किया जाता है कि सर्वर उपयोगकर्ताओं के प्रसंस्करण में कितना समय लगाएगा।

ρ = λ / sμ

यदि p> 1, तो सिस्टम क्षणभंगुर होगा, यह बढ़ने लगेगा, क्योंकि सर्वर की उपयोगिता दर सिस्टम में प्रवेश करने वाले उपयोगकर्ताओं की संख्या से कम है।

यदि p <1 प्रणाली स्थिर रहेगी।

के लिए सिद्धांत क्या है

यह टेलीफोन सेवा प्रावधान प्रक्रियाओं का अनुकूलन करने के लिए बनाया गया था। यह प्रतीक्षा लाइनों की घटना के संबंध में एक उपयोगिता का सीमांकन करता है, जहां यह समय के मूल्यों को कम करने और उपयोगकर्ताओं या ऑपरेटरों की प्रक्रिया को धीमा करने वाले किसी भी प्रकार के कार्य या अनावश्यक प्रक्रिया को रद्द करने की मांग की जाती है।

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अधिक जटिल स्तरों पर, जहां इनपुट और सेवा चर मिश्रित मूल्य लेते हैं, कतार सिद्धांत के बाहर की गई गणना लगभग अकल्पनीय है। सिद्धांत द्वारा प्रदान किए गए सूत्र इस शाखा के भीतर उन्नत कलन खोलते हैं।

सूत्र में मौजूद तत्व

- Pn: इस संभावना का जिक्र करते हुए मान कि "n" यूनिट सिस्टम के भीतर हैं।

- Lq: इसमें उपयोगकर्ताओं की कतार की लंबाई या औसत मूल्य।

- एलएस: सिस्टम में इकाइयों का औसत।

- Wq: कतार में औसत प्रतीक्षा दर।

- डब्ल्यूएस: सिस्टम में औसत प्रतीक्षा दर।

- _λ: सेवा में प्रवेश करने वाले ग्राहकों की औसत संख्या।

- डब्ल्यूएस (टी): मूल्य की संभावना का उल्लेख करते हुए कि ग्राहक सिस्टम में "टी" इकाइयों से अधिक रहता है।

- Wq (t): मान इस संभावना की ओर इशारा करता है कि ग्राहक कतार में "t" इकाइयों से अधिक रहता है।

उदाहरण

एक रजिस्ट्री के पास उपयोगकर्ताओं के पासपोर्ट को संसाधित करने के लिए एक एकल सर्वर होता है। प्रति घंटे औसतन 35 उपयोगकर्ता रजिस्ट्री में भाग लेते हैं। सर्वर में प्रति घंटे 45 उपयोगकर्ताओं की सेवा करने की क्षमता है। यह पहले से ज्ञात है कि उपयोगकर्ता कतार में औसतन 5 मिनट बिताते हैं।

तुम जानना चाहते हो:

1. औसत समय प्रत्येक उपयोगकर्ता सिस्टम पर खर्च करता है
2. कतार में ग्राहकों की औसत संख्या

हमारे पास λ = 35/45 ग्राहक / मिनट हैं

μ = 45/60 ग्राहक / मिनट

Wq = 5 मिनट

भाग ए

सिस्टम में औसत समय की गणना Ws के साथ की जा सकती है

Ws = Wq + 1 / μ = 5 मिनट + 1.33 = 6.33 मिनट

इस तरह, उपयोगकर्ता सिस्टम में होगा जो कुल समय परिभाषित किया गया है, जहां 5 मिनट कतार में और सर्वर के साथ 1.33 मिनट में होगा।

भाग b

Lq = λ x Wq

Lq = (0.78 क्लाइंट मिनट) x (5 मिनट) = 3.89 क्लाइंट

एक साथ कतार में 3 से अधिक ग्राहक हो सकते हैं।

संदर्भ

1. संचालन प्रबंधन। संपादकीय Vértice, 16 अप्रैल। 2007
2. कतार या प्रतीक्षा रेखा का सिद्धांत। जर्मन अल्बर्टो कोर्डोबा बाराहोना। पोंटिशिया यूनिवर्सिडेड जावरियाना, 2002
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