समद्विबाहु आघात: गुण, संबंध और सूत्र, उदाहरण - गणित - 2025

एक समद्विबाहु समलम्ब है एक चतुर्भुज में जो पक्षों के दोनों एक दूसरे के लिए और इसके अलावा में समानांतर हैं, दो आसन्न कोणों उन समानांतर पक्षों में से एक ही उपाय है।

आकृति 1 में हमारे पास चतुर्भुज ABCD है, जिसमें AD और BC समानांतर हैं। इसके अतिरिक्त, समानांतर पक्ष AD से सटे कोण ABDAB और adADC का माप समान α है।

चित्रा 1. इसोस्कोप्स ट्रेपेज़ियम। स्रोत: एफ। ज़पाटा

तो यह चतुर्भुज, या चार-तरफा बहुभुज, एक समद्विबाहु समलम्बाकार प्रभाव में है।

एक समलम्बाकार में, समानांतर पक्षों को आधार कहा जाता है और गैर-समानांतर पक्षों को पार्श्व कहा जाता है। एक और महत्वपूर्ण विशेषता ऊंचाई है, जो कि दूरी है जो समानांतर पक्षों को अलग करती है।

समद्विबाहु समलम्ब के अलावा अन्य प्रकार के धमनियां हैं:

-टी रेपज़ॉइड स्केलीन, जिसमें इसके सभी कोण और विभिन्न पक्ष हैं।

-रेक्टेंगुलर रेपजॉइड, जिसमें एक तरफ समीपस्थ कोण होता है।

ट्रेपेज़ॉइडल आकार डिजाइन, वास्तुकला, इलेक्ट्रॉनिक्स, गणना और कई और अधिक के विभिन्न क्षेत्रों में आम है, जैसा कि बाद में देखा जाएगा। इसलिए इसके गुणों से परिचित होने का महत्व।

गुण

समद्विबाहु आघात के लिए विशेष

यदि एक समलम्बाकार समद्विबाहु है, तो इसके निम्नलिखित गुण हैं:

1.- पक्षों में एक ही माप है।

२.- आधारों से सटे कोण बराबर होते हैं।

3.- विपरीत कोण पूरक हैं।

4.- विकर्णों की लंबाई समान होती है, दो खंड जो विपरीत कोने से जुड़ते हैं, समान होते हैं।

5.- आधार और विकर्ण के बीच का कोण सभी एक ही माप के होते हैं।

6.- इसकी एक परिधि परिधि है।

इसके विपरीत, यदि एक ट्रेपोज़ॉइड उपरोक्त गुणों में से किसी से मिलता है, तो यह एक समद्विबाहु समलम्ब है।

यदि समद्विबाहु समतल में कोणों में से एक सही है (90 then), तो अन्य सभी कोण भी सही होंगे, जिससे एक आयत बनेगी। यही है, एक आयत समद्विबाहु समलम्बाकार का एक विशेष मामला है।

चित्रा 2. पॉपकॉर्न कंटेनर और स्कूल तालिकाओं को एक समद्विबाहु समलम्बाकार आकार दिया जाता है। स्रोत: फ्लक्स के माध्यम से Pxfuel (बाएं) / मैकडॉवेल क्रेग। (सही)

सभी ट्रेपेज़ के लिए

संपत्तियों का निम्नलिखित सेट किसी भी समरूपता के लिए मान्य है:

7.- ट्रेपोज़ॉइड का मध्य, अर्थात, वह खंड जो अपने गैर-समानांतर पक्षों के मध्य बिंदु से जुड़ता है, किसी भी आधार के समानांतर है।

8.- माध्यिका की लंबाई उसके आधारों के अर्धव्यास (2 से विभाजित योग) के बराबर होती है।

9.- एक ट्रेपोज़ॉइड का मध्य बिंदु पर अपने विकर्णों को काटता है।

10.- एक बिंदु पर एक चतुर्भुज तिरछे के विकर्ण जो उन्हें दो खंडों में विभाजित करते हैं जो आधारों के उद्धरणों के आनुपातिक हैं।

11.- एक चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग इसके पक्षों के वर्गों के योग के बराबर है और इसके आधारों का दोहरा उत्पाद है।

12.- विकर्णों के मध्य बिंदु से जुड़ने वाले खंड की लंबाई आधार के अर्ध-अंतर के बराबर होती है।

13.- भुजाओं से सटे कोण पूरक हैं।

14.- एक ट्रैपेज़ॉइड में एक उत्कीर्ण परिधि होती है यदि और केवल तभी जब उसके आधारों का योग इसके पक्षों के योग के बराबर हो।

15.- यदि किसी समलम्ब के पास एक उत्कीर्ण परिधि है, तो उक्त परिधि के केंद्र में एक शीर्ष के साथ कोण और एक ही पक्ष के सिरों से गुजरने वाले पक्ष समकोण हैं।

रिश्ते और सूत्र

रिश्तों और सूत्रों के निम्नलिखित सेट को आंकड़ा 3 कहा जाता है, जहां समद्विबाहु समलम्बाकार के अलावा पहले से ही उल्लेखित अन्य महत्वपूर्ण खंडों को दिखाया गया है, जैसे कि विकर्ण, ऊंचाई और मध्य।

चित्रा 3. माध्यिका, विकर्ण, ऊंचाई, और समद्विबाहु आघात में परिधि। स्रोत: एफ। ज़पाटा

समद्विबाहु ट्रेपेज़ियम के अनूठे संबंध

1.- एबी = डीसी = सी = डी

2.- -DAB = ACDA और CABC =.BCD

3.- -DAB + CDBCD = 180∡ और +CDA + ∡ABC = 180º

4.- बीडी = एसी

5.- =CAD = DABDA = DCBD = =BCA = α ₁

6.- ए, बी, सी और डी परिधि वाले सर्कल के हैं।

किसी भी संकट के लिए संबंध

1. यदि AK = KB और DL = LC ⇒ KL - AD और KL - BC

8.- केएल = (एडी + बीसी) / 2

9.- एएम = एमसी = एसी / 2 और डीएन = एनबी = डीबी / 2

10.- AO / OC = AD / BC और DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD.BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- -DAB + ∡ABC = 180∡ और +CDA + ∡BCD = 180º

14.- यदि AD + BC = AB + DC ⇒ BC R, AD, BC, AB और DC से समतुल्य है

15.- यदि If R, AD, BC, AB और DC से बराबर है, तो:

ºBRA = RADRC = 90∡

उत्कीर्ण परिधि के साथ समद्विबाहु समलम्ब के लिए संबंध

यदि समद्विबाहु समलम्ब में समतल आधार दो बार पार्श्व एक के बराबर है, तो उत्कीर्ण परिधि मौजूद है।

चित्रा 4. खुदा हुआ परिधि के साथ ट्रेपेज़ॉइड। स्रोत: एफ। ज़पाटा

निम्नलिखित गुण तब लागू होते हैं जब समद्विबाहु आघात में एक खुदा हुआ परिधि होता है (ऊपर चित्र 4 देखें):

16.- केएल = एबी = डीसी = (एडी + बीसी) / 2

17.- विकर्ण समकोण पर समकोण बनाते हैं: AC The BD

18.- ऊँचाई माध्यिका के समान मापी जाती है: HF = KL, अर्थात h = m।

19.- ऊँचाई का वर्ग आधारों के गुणनफल के बराबर होता है: h ² = BC TheAD

20.- इन विशिष्ट स्थितियों के तहत, ट्रेपोज़ॉइड का क्षेत्र ऊंचाई के वर्ग या ठिकानों के उत्पाद के बराबर है: क्षेत्र = एच ² = बीसीएएडी।

एक पक्ष के निर्धारण के लिए सूत्र, दूसरों को और एक कोण को जानना

एक आधार, पार्श्व और कोण को जानकर, दूसरे आधार को निम्न द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

यदि आधारों की लंबाई और कोण को ज्ञात डेटा के रूप में दिया जाता है, तो दोनों पक्षों की लंबाई हैं:

c = (a - b) / (2 cos α)

एक पक्ष का निर्धारण, दूसरों को जानना और एक विकर्ण

ए = (डी ₁ ² - सी ²) / बी;

बी = (डी ₁ ² - सी ²) / ए

c =) (d ₁ ² - a√b)

जहाँ d ₁ विकर्णों की लंबाई है।

ऊंचाई, क्षेत्र और अन्य आधार से आधार

a = (2 ए) / एच - बी

बी = (2 ए) / एच - ए

ज्ञात पार्श्व आधार, क्षेत्र और कोण

c = (2A) /

ज्ञात पार्श्व मंझला, क्षेत्रफल और कोण

सी = ए / (एम पाप α)

ज्ञात पक्षों की ऊंचाई

ज = √

ज्ञात कोण एक कोण और दो तरफ

h = tg α⋅ (a - b) / २ = c पाप α

ज्ञात विकर्ण सभी पक्षों, या दो पक्षों और एक कोण पर

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc cos √)

समद्विबाहु त्रिभुज की परिधि

पी = ए + बी + 2 सी

समद्विबाहु ट्रेपेज़ियम क्षेत्र

ज्ञात आंकड़ों के आधार पर, क्षेत्र की गणना के लिए कई सूत्र हैं। निम्नलिखित आधारों और ऊंचाई के आधार पर सबसे अच्छा ज्ञात है:

ए = एच a (ए + बी) / २

और आप इन अन्य का भी उपयोग कर सकते हैं:

-अगर पक्ष जाने जाते हैं

ए = √

-जब आपके दो पहलू और एक कोण होगा

A = (b + c cos α) c सेन α = (a - c cos α) c सेन α

-अगर उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या और कोण ज्ञात हैं

A = 4 r ² / सेन α = 4 r ² / सेन /

-जब आधार और कोण को जाना जाता है

A = a Ab / Sen α = a⋅b / सेन /

-यदि ट्रैपेज़ॉइड को एक परिधि को अंकित किया जा सकता है

A = c⋅√ (a =b) = m⋅√ (a⋅b) = r a (a + b) / 2

विकर्ण और कोण वे एक दूसरे के साथ बनाते हैं

एक = (घ ₁ ² /2) γ = सेन (घ ₁ ² /2) सेन δ

-जब आपके पास पार्श्व, मध्य और कोण है

A = mc.sen α = mc.sen

परिमण्डल वृत्त की त्रिज्या

केवल समद्विबाहु trapezoids में एक परिधि परिधि होती है। यदि पार्श्व आधार a, lateral c और diagonal d _{1 ज्ञात हैं}, तो वृत्त के त्रिज्या R त्रिज्या के चार कोने से गुजरता है:

R = a⋅c =d ₁ / 4√

जहाँ p = (a + c + d ₁) / 2

समद्विबाहु ट्रेपोज़ॉइड का उपयोग करने के उदाहरण

समद्विबाहु समलम्बाकार डिजाइन के क्षेत्र में प्रकट होता है, जैसा कि चित्र 2 में देखा गया है। और यहां कुछ अतिरिक्त उदाहरण दिए गए हैं:

वास्तुकला और निर्माण में

प्राचीन इंकास समद्विबाहु ट्रेपोज़ॉइड को जानता था और क्यूज़को, पेरू में इस विंडो में एक भवन तत्व के रूप में इसका उपयोग करता था:

चित्र 5। कोरिंचा, कुज़्को की ट्रेपोज़ाइडल खिड़की। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

और यहाँ ट्रेपोज़ॉइड तथाकथित ट्रेपोज़ॉइडल शीट में फिर से दिखाई देता है, एक सामग्री जिसका अक्सर निर्माण में उपयोग किया जाता है:

चित्र 6. एक इमारत की खिड़कियों की अस्थायी रूप से सुरक्षा करने वाली ट्रैपेज़ॉइडल मेटल शीट। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

डिजाइन में

हम पहले ही देख चुके हैं कि आइसोसेलस ट्रेपेज़ॉइड रोजमर्रा की वस्तुओं में दिखाई देता है, जिसमें इस चॉकलेट बार जैसे खाद्य पदार्थ शामिल हैं:

चित्र 7. चॉकलेट बार जिसका चेहरा समद्विबाहु आघात के आकार का है। स्रोत: Pxfuel

हल किया अभ्यास

- अभ्यास 1

समद्विबाहु ट्रेपोज़ॉइड का आधार 9 सेमी से अधिक, 3 सेमी से कम का आधार और इसके विकर्ण 8 सेमी प्रत्येक होते हैं। गणना:

a) की तरफ

बी) ऊंचाई

c) परिधि

घ) क्षेत्र

चित्रा 8. व्यायाम के लिए योजना 1. स्रोत: एफ। ज़पाटा

का हल

ऊँचाई CP = h प्लॉट की जाती है, जहाँ ऊँचाई का पैर खंडों को परिभाषित करता है:

PD = x = (ab) / 2 y

एपी = ए - एक्स = ए - ए / २ + बी / २ = (ए + बी) / २।

सही त्रिभुज DPC के लिए पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करना:

सी ² = ज ² + (a - b) ² /4

और सही त्रिभुज APC के लिए भी:

घ ² = ज ² + एपी ² = ज ² + (ए + बी) ² /4

अंत में, सदस्य द्वारा सदस्य को घटाया जाता है, पहले से दूसरा समीकरण और सरलीकृत:

डी ² - सी ² = ¼ = =

d ² - c ² = = = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = = (d ² - ab) = 8 (8 ² - 9⋅3) =)37 = 6.08 सेमी

समाधान b

ज ² = d ² - (ए + बी) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ²) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 =7 = 5.29 सेमी

समाधान c

परिधि = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2.06.083 = 24.166 सेमी

समाधान d

क्षेत्रफल = h (a + b) / 2 = 5.29 (12) / 2 = 31.74 सेमी

- व्यायाम २

एक समद्विबाहु समलम्बाकार है जिसका सबसे बड़ा आधार सबसे छोटा है और इसका सबसे छोटा आधार ऊंचाई के बराबर है, जो 6 सेमी है। तय:

a) पार्श्व की लंबाई

b) परिधि

c) क्षेत्रफल

d) कोण

चित्रा 8. व्यायाम के लिए योजना 2. स्रोत: एफ। ज़पाटा

का हल

डेटा: एक = 12, बी = ए / 2 = 6 और एच = बी = 6

हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं: हम ऊंचाई एच खींचते हैं और पाइथागोरस प्रमेय को कर्ण त्रिकोण «सी» और पैरों एच और एक्स पर लागू करते हैं:

c ² = h ² + xc ²

तब आपको डेटा (h = b) से ऊंचाई के मान की गणना करनी होगी और पैर की x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

हमारे पास पिछले भावों को प्रतिस्थापित करना:

सी ² = b ² + (ab) ² /2 ²

अब संख्यात्मक मूल्यों को पेश किया गया है और इसे सरल बनाया गया है:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

प्राप्त करना:

c = 3 =5 = 6.71 सेमी

समाधान b

परिधि P = a + b + 2 c

पी = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + =5) = 61.42 सेमी

समाधान c

ठिकानों की ऊंचाई और लंबाई के कार्य के रूप में यह क्षेत्र है:

ए = एच⋅ (ए + बी) / २ = ६ 12 (१२ + ६) / २ = ५४ सेमी ^२

समाधान d

कोण α कि बड़े आधार के साथ पार्श्व रूप त्रिकोणमिति द्वारा प्राप्त होते हैं:

टैन (α) = एच / एक्स = ६/३ = २

α = आर्कटन (2) = 63.44an

दूसरा कोण, वह जो छोटे आधार के साथ पार्श्व बनाता है, one है, जो α का पूरक है:

β = 180. - α = 180º - 63.44 116 = 116.56º

संदर्भ

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