स्केलीन त्रिकोण: विशेषताओं, सूत्र और क्षेत्रों, गणना - गणित - 2025

एक स्केलीन त्रिकोण तीन पक्षों के साथ एक बहुभुज है, जिसमें से सभी के अलग-अलग उपाय या लंबाई हैं; उस कारण से इसे स्केलीन का नाम दिया गया है, जिसका लैटिन में अर्थ है चढ़ाई।

त्रिकोण बहुभुज में सबसे सरल माने जाने वाले बहुभुज हैं, क्योंकि वे तीन भुजाओं, तीन कोणों और तीन शीर्षों से बने होते हैं। स्केलिन त्रिकोण के मामले में, सभी पक्षों के अलग-अलग होने से यह तात्पर्य है कि इसके तीन कोण भी होंगे।

खोपड़ी के त्रिकोण के लक्षण

स्केलीन त्रिकोण सरल बहुभुज होते हैं क्योंकि उनके किसी भी पक्ष या कोण में समद्विबाहु और समभुज त्रिभुज के विपरीत समान माप नहीं होते हैं।

क्योंकि उनके सभी पक्षों और कोणों के अलग-अलग उपाय हैं, इन त्रिकोणों को अनियमित उत्तल बहुभुज माना जाता है।

आंतरिक कोणों के आयाम के आधार पर, स्केलीन त्रिकोणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया गया है:

• स्कैलेन सही त्रिकोण: सभी पक्ष अलग-अलग होते हैं। इसका एक कोण सही है (90 ^या) और अन्य तेज हैं और विभिन्न उपायों के साथ हैं।
• तिरछे त्रिभुज त्रिभुज: सभी भुजाएँ अलग-अलग हैं और इसका एक कोण प्रसूति (> 90 ^या) है।
• स्केलीन तीव्र त्रिकोण: सभी पक्ष अलग-अलग होते हैं। सभी कोण अलग-अलग उपायों के साथ तीव्र (<90 ^या) हैं।

स्केलन त्रिकोणों की एक और विशेषता यह है कि उनके पक्षों और कोणों की असंगति के कारण, उनके पास समरूपता का अक्ष नहीं है।

अवयव

माध्यिका: यह एक रेखा है जो एक तरफ के मध्य बिंदु से शुरू होती है और विपरीत शिखर पर पहुंचती है। तीनों मंझले एक बिंदु पर मिलते हैं जिसे बायरसेंटर या सेंट्रोइड कहा जाता है।

द्विभाजक: यह एक किरण है जो प्रत्येक कोण को समान माप के दो कोणों में विभाजित करता है। एक त्रिभुज के द्विभाजक एक बिंदु पर मिलते हैं जिसे भक्षक कहा जाता है।

द्विभाजक: यह त्रिभुज की ओर लंबवत एक खंड है, जिसका मूल इसके बीच में है। एक त्रिभुज में तीन द्विभाजक होते हैं और वे एक बिंदु पर मिलते हैं जिसे परिधीय कहा जाता है।

ऊँचाई: यह वह रेखा है जो कि शिखर से उस तरफ जाती है जो विपरीत है और यह रेखा उस तरफ से लंबवत है। सभी त्रिभुजों की तीन ऊँचाइयाँ होती हैं जो एक बिंदु पर होती हैं जिसे ऑर्थोसेंटर कहा जाता है।

गुण

स्केलीन त्रिकोण परिभाषित या पहचाने जाते हैं क्योंकि उनके पास कई गुण हैं जो उनका प्रतिनिधित्व करते हैं, महान गणितज्ञों द्वारा प्रस्तावित प्रमेयों से उत्पन्न होते हैं। वो हैं:

आंतरिक कोण

आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180 ^{° के} बराबर होता है ।

भुजाओं का योग

दो पक्षों के उपायों का योग हमेशा तीसरे पक्ष, a + b> c के माप से अधिक होना चाहिए।

असंगत पक्ष

स्केलीन त्रिकोण के सभी पक्षों के अलग-अलग उपाय या लंबाई हैं; यही कारण है कि वे असंगत हैं।

बढ़े हुए कोण

चूँकि स्केलीन त्रिभुज की सभी भुजाएँ अलग-अलग होती हैं, इसलिए इसके कोण भी होंगे। हालांकि, आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180 and के बराबर होगा, और कुछ मामलों में, इसके कोणों में से एक, अप्रिय या सही हो सकता है, जबकि अन्य में इसके सभी कोण तीव्र होंगे।

ऊंचाई, माध्यिका, द्विभाजक और द्विभाजक संयोग नहीं हैं

किसी भी त्रिभुज की तरह, स्कैलीन के पास विभिन्न लाइन खंड होते हैं जो इसे बनाते हैं, जैसे: ऊँचाई, माध्यिका, द्विभाजक और द्विभाजक।

अपने पक्षों की ख़ासियत के कारण, इस प्रकार के त्रिभुज में इनमें से कोई भी रेखा एक में संयोग नहीं करेगी।

ऑर्थोसेंटर, बायरीकेंटर, इनकेंटर और परिधि संयोग नहीं हैं

ऊंचाई के रूप में, माध्यिका, द्विभाजक और द्विभाजक को अलग-अलग रेखाखंडों द्वारा दर्शाया जाता है, एक स्केलीन त्रिभुज में मीटिंग पॉइंट्स - ऑर्थोसेंटर, इनकेंटर और परिधिकार - अलग-अलग बिंदुओं पर मिलेंगे (वे संयोग नहीं करते हैं)।

त्रिभुज तीव्र, दाहिना या टेढ़ा है, इस पर निर्भर करते हुए, ऑर्थोसेंटर के अलग-अलग स्थान हैं:

सेवा। यदि त्रिभुज तीव्र है, तो ऑर्थोसेंटर त्रिभुज के अंदर होगा।

ख। यदि त्रिकोण सही है, तो ऑर्थोसेंटर दाईं ओर के शीर्ष के साथ मेल खाएगा।

सी। यदि त्रिभुज आपत्तिजनक है, तो ऑर्थोसेंटर त्रिभुज के बाहर होगा।

सापेक्ष ऊंचाइयां

ऊँचाई पक्षों के सापेक्ष होती है।

स्केलिन त्रिकोण के मामले में, इन ऊंचाइयों में अलग-अलग माप होंगे। हर त्रिभुज की तीन सापेक्ष ऊंचाइयां होती हैं और उनकी गणना करने के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग किया जाता है।

परिधि की गणना कैसे करें?

बहुभुज की परिधि की गणना पक्षों को जोड़कर की जाती है।

चूंकि इस मामले में स्केलिन त्रिकोण के सभी पक्ष अलग-अलग उपायों के साथ हैं, इसकी परिधि निम्न होगी:

पी = साइड ए + साइड बी + साइड सी।

क्षेत्र की गणना कैसे करें?

त्रिभुजों के क्षेत्र की गणना हमेशा एक ही सूत्र के साथ की जाती है, आधार समय ऊंचाई को दो से गुणा करके और विभाजित करके:

क्षेत्र = (आधार _* ज) h २

कुछ मामलों में स्केलीन त्रिकोण की ऊंचाई ज्ञात नहीं है, लेकिन एक सूत्र है जो गणितज्ञ हेरोन द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो कि त्रिकोण के तीन पक्षों के माप को जानने वाले क्षेत्र की गणना करता है।

कहाँ पे:

• a, b और c, त्रिभुज की भुजाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।
• सपा, त्रिभुज के अर्धवृत्त से मेल खाती है, अर्थात परिधि का आधा भाग:

sp = (a + b + c) b 2

इस मामले में कि हमारे पास केवल त्रिभुज के दो पक्षों का माप है और उनके बीच बने कोण हैं, त्रिकोणमितीय अनुपातों को लागू करके क्षेत्र की गणना की जा सकती है। तो आपको निम्न करना होगा:

क्षेत्र = (पक्ष _* ज) h २

जहाँ ऊँचाई (h) एक भुजा का गुणन और विपरीत कोण की साइन होती है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक पक्ष के लिए, क्षेत्र होगा:

• क्षेत्र = (b _* c _* sin A) c 2
• क्षेत्र = (एक _* सी _* पाप बी) c 2।
• क्षेत्र = (एक _* बी _* पाप सी) b 2

ऊंचाई की गणना कैसे करें?

चूंकि स्केलीन त्रिकोण के सभी पक्ष अलग-अलग हैं, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय के साथ ऊंचाई की गणना करना संभव नहीं है।

हेरोन के सूत्र से, जो एक त्रिभुज के तीन पक्षों की माप पर आधारित है, क्षेत्र की गणना की जा सकती है।

क्षेत्र के सामान्य सूत्र से ऊँचाई को साफ किया जा सकता है:

पक्ष को ए, बी या सी के पक्ष से मापा जाता है।

ऊँचाई की गणना करने का एक और तरीका जब कोणों में से एक का मूल्य ज्ञात होता है, तो त्रिकोणमितीय अनुपातों को लागू करने से होता है, जहाँ ऊँचाई त्रिकोण के एक पैर का प्रतिनिधित्व करेगी।

उदाहरण के लिए, जब ऊंचाई के विपरीत कोण ज्ञात होता है, तो यह साइन द्वारा निर्धारित किया जाएगा:

पक्षों की गणना कैसे करें?

जब आपके पास दो पक्षों का माप होता है और उनके विपरीत कोण होता है, तो कॉशन प्रमेय लागू करके तीसरे पक्ष को निर्धारित करना संभव है।

उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज AB में, खंड AC के सापेक्ष ऊँचाई प्लॉट की जाती है। इस तरह त्रिभुज दो दाहिने त्रिभुजों में विभाजित होता है।

साइड सी (खंड एबी) की गणना करने के लिए, प्रत्येक त्रिकोण के लिए पायथागॉरियन प्रमेय लागू करें:

• हमारे पास नीले त्रिकोण के लिए:

सी ² = एच ² + एम ²

चूंकि m = b - n, हम स्थानापन्न हैं:

सी ² = एच ² + बी ² (बी - एन) ²

c ² = h ² + b ² - 2bn + n ² ।

• गुलाबी त्रिकोण के लिए आपको निम्न करना होगा:

h ² = a ² - n ²

इसे पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित किया गया है:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = a ² + b ² - 2bn।

यह जानना कि n = a _* cos C, इसे पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित किया गया है और साइड c का मान प्राप्त किया गया है:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C।

Cosines के कानून द्वारा, पक्षों की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C।

ऐसे मामले हैं जहां त्रिभुज की भुजाओं के माप ज्ञात नहीं हैं, बल्कि उनकी ऊँचाई और कोणों पर बने कोण हैं। इन मामलों में क्षेत्र का निर्धारण करने के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात को लागू करना आवश्यक है।

इसके एक कोने के कोण को जानने के बाद, पैरों की पहचान की जाती है और इसी त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग किया जाता है:

उदाहरण के लिए, पैर एबी कोण सी के विपरीत होगा, लेकिन कोण ए के निकट या ऊंचाई के आधार पर पैर या पैर के आधार पर, दूसरे पक्ष को इसका मान प्राप्त करने के लिए मंजूरी दे दी जाती है।

अभ्यास

पहला व्यायाम

क्षेत्र और ऊंचाई त्रिभुज ABC की ऊंचाई की गणना करें, यह जानते हुए कि इसके पक्ष हैं:

a = 8 सेमी।

बी = 12 सेमी।

सी = 16 सेमी।

उपाय

डेटा के रूप में, स्केलीन त्रिकोण के तीन पक्षों के माप दिए गए हैं।

चूंकि ऊंचाई मूल्य उपलब्ध नहीं है, इसलिए क्षेत्र को हेरोन के सूत्र को लागू करके निर्धारित किया जा सकता है।

पहले सेमीपाइमीटर की गणना की जाती है:

sp = (a + b + c) b 2

sp = (8 सेमी + 12 सेमी + 16 सेमी) + 2

एसपी = 36 सेमी ÷ 2

एसपी = 18 सेमी।

अब मान को हेरॉन के सूत्र में प्रतिस्थापित किया गया है:

क्षेत्र को जानने के बाद, साइड बी के सापेक्ष ऊंचाई की गणना की जा सकती है। सामान्य सूत्र से, इसे साफ़ करते हुए, हमारे पास:

क्षेत्र = (पक्ष _* ज) h २

46, 47 सेमी ² = (12 सेमी _* एच) = 2

h = (2 _* 46.47 सेमी ²) ⁴⁶ 12 सेमी

h = 92.94 सेमी ² cm 12 सेमी

एच = 7.75 सेमी।

दूसरा व्यायाम

स्केलिन त्रिभुज ABC को देखते हुए, जिनके उपाय हैं:

• खंड एबी = 25 मीटर।
• खंड ईसा पूर्व = 15 मीटर।

शीर्ष B पर 50º का कोण बनता है। उस त्रिकोण के साइड सी, परिधि और क्षेत्र के सापेक्ष ऊँचाई की गणना करें।

उपाय

इस मामले में हमारे पास दो पक्षों के माप हैं। ऊँचाई निर्धारित करने के लिए तीसरे पक्ष के माप की गणना करना आवश्यक है।

चूंकि दिए गए पक्षों के विपरीत कोण दिया गया है, इसलिए पक्ष एसी (बी) के माप को निर्धारित करने के लिए कोजाइन के नियम को लागू करना संभव है:

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

कहाँ पे:

a = BC = 15 मी।

सी = एबी = 25 मीटर।

बी = एसी।

बी = ५० ^ओ ।

डेटा को बदल दिया गया है:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0.6427

b ² = (225) + (625) - (482,025)

b ² = 367,985

b = √367,985

b = 19.18 मीटर।

चूँकि हमारे पास पहले से ही तीन भुजाओं का मूल्य है, इसलिए उस त्रिभुज की परिधि की गणना की जाती है:

पी = साइड ए + साइड बी + साइड सी

पी = 15 मीटर + 25 मीटर + 19, 18 मीटर

पी = 59.18 मीटर

अब हेरोन के फार्मूले को लागू करके क्षेत्र को निर्धारित करना संभव है, लेकिन पहले सेमीपाइमीटर की गणना की जानी चाहिए:

sp = P ÷ 2

sp = 59.18 m। 2

sp = 29.59 मी।

हर्नोन के सूत्र में पक्षों और सेमीपाइमीटर के मापों को प्रतिस्थापित किया गया है:

अंत में क्षेत्र को जानकर, साइड सी के सापेक्ष ऊँचाई की गणना की जा सकती है। सामान्य सूत्र से, आपको इसे साफ़ करना होगा:

क्षेत्र = (पक्ष _* ज) h २

143.63 मीटर ² = (25 मीटर _* एच) = 2

h = (2 _* 143.63 मीटर ²) 143 25 मीटर

h = 287.3 मी ² m 25 मीटर

ज = ११.५ मी।

तीसरा व्यायाम

स्केलीन त्रिकोण में एबीसी साइड बी 40 सेमी है, साइड सी 22 सेमी है, और शीर्ष ए, कोण 90 का गठन ^{या है} । उस त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें।

उपाय

इस मामले में, स्केलीन त्रिकोण एबीसी के दो पक्षों के उपाय दिए गए हैं, साथ ही शीर्ष पर ए का गठन किया गया कोण भी है।

क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए, पक्ष ए के माप की गणना करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि त्रिकोणमितीय अनुपात के माध्यम से कोण को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है।

चूँकि ऊँचाई के विपरीत कोण ज्ञात है, यह एक पक्ष के कोण और कोण के गुणन द्वारा निर्धारित किया जाएगा।

हमारे पास मौजूद क्षेत्र सूत्र में प्रतिस्थापित:

• क्षेत्र = (पक्ष _* ज) h २
• h = c _* sin A

क्षेत्र = (b _* c _* sin A) c 2

क्षेत्र = (40 सेमी _* 22 सेमी _* पाप 90) _* 2

क्षेत्र = (40 सेमी _* 22 सेमी _* 1) _* 2

क्षेत्र = 880 सेमी ^2। 2

क्षेत्र = 440 सेमी ² ।

संदर्भ

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