समवर्ती वैक्टर: विशेषताएं, उदाहरण और अभ्यास - गणित - 2025

समवर्ती वैक्टर वैक्टर समूह शामिल हैं जिनके कुल्हाड़ियों एक बिंदु पर मेल खाना, आंतरिक और बाह्य एक अन्य कोण की प्रत्येक जोड़ी के बीच के गठन कर रहे हैं। एक स्पष्ट उदाहरण नीचे दिए गए आंकड़े में देखा गया है, जहां ए, बी और सी एक दूसरे के साथ समवर्ती हैं।

बाकी के विपरीत डी और ई नहीं हैं। समवर्ती वैक्टर एबी, एसी और सीबी के बीच कोण बनते हैं। उन्हें वैक्टर के बीच संबंध कोण कहा जाता है।

विशेषताएँ

-उनके पास एक बिंदु है, जो उनके मूल के साथ मेल खाता है: समवर्ती वैक्टर के सभी परिमाण एक सामान्य बिंदु से उनके संबंधित छोर तक शुरू होते हैं।

-इस मूल को वेक्टर की कार्रवाई के बिंदु के रूप में माना जाता है: एक एक्शन पॉइंट स्थापित किया जाना चाहिए जो सीधे समवर्ती डॉक्टरों से प्रभावित होगा।

-प्लेन और स्पेस में मौजूद डोमेन क्रमशः R ² और R ³ है: समवर्ती वैक्टर पूरे ज्यामितीय स्थान को कवर करने के लिए स्वतंत्र हैं।

-एक ही समूह के वैक्टर में अलग-अलग संकेतन। अध्ययन की शाखाओं के अनुसार, वैक्टर के साथ संचालन में विभिन्न सूचनाएं मौजूद हैं।

वैक्टर के प्रकार

वैक्टर की शाखा में कई उपविभाग होते हैं, उनमें से कुछ का नाम दिया जा सकता है: समानांतर, लंब, कोपलानर, इसी, विपरीत और एकात्मक। समवर्ती वैक्टर यहां सूचीबद्ध हैं, और ऊपर नामित सभी लोगों की तरह, उनके पास विभिन्न विज्ञानों में कई अनुप्रयोग हैं।

वे वैक्टर के अध्ययन में बहुत आम हैं, क्योंकि वे उनके साथ संचालन में एक उपयोगी सामान्यीकरण का प्रतिनिधित्व करते हैं। विमान और अंतरिक्ष दोनों में, समवर्ती वैक्टर आमतौर पर विभिन्न तत्वों का प्रतिनिधित्व करने और किसी विशेष प्रणाली पर उनके प्रभाव का अध्ययन करने के लिए उपयोग किया जाता है।

वेक्टर संकेतन

एक वेक्टर तत्व का प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं। मुख्य और सर्वश्रेष्ठ ज्ञात हैं:

काटीज़ियन

इसी गणितीय दृष्टिकोण से प्रस्तावित, यह प्रत्येक अक्ष (x, y, z) के परिमाण के अनुरूप ट्रिपल वाले वैक्टर को दर्शाता है।

ए: (1, 1, -1) स्पेस ए: (1, 1) प्लेन

ध्रुवीय

वे केवल विमान में वैक्टर को निरूपित करने के लिए सेवा करते हैं, हालांकि अभिन्न कलन में इसे गहराई घटक सौंपा गया है। यह एक रैखिक परिमाण r और ध्रुवीय अक्ष linear के संबंध में कोण के साथ बना है।

ए: (3, 45 ⁰) प्लेन ए: (2, 45 ⁰, 3) स्पेस

विश्लेषणात्मक

वे छंदों का उपयोग करते हुए वेक्टर के परिमाण को परिभाषित करते हैं। छंद (i + j + k) कुल्हाड़ियों एक्स, वाई और के अनुरूप इकाई वैक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं

A: 3i + 2j - 3k

गोलाकार

वे ध्रुवीय संकेतन के समान हैं, लेकिन एक दूसरे कोण के अलावा xy विमान पर व्यापक रूप से not का प्रतीक है ।

ए: (4, 60 ^या, 60/4)

समवर्ती वेक्टर ऑपरेशन

समवर्ती वैक्टर का उपयोग ज्यादातर वैक्टर के बीच संचालन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, क्योंकि जब वे समवर्ती रूप से प्रस्तुत किए जाते हैं तो वैक्टर के तत्वों की तुलना करना आसान होता है।

सम (A + B)

समवर्ती वैक्टर का योग परिणामी वेक्टर V _r को खोजने का लक्ष्य रखता है । जो, अध्ययन की शाखा के अनुसार, एक अंतिम कार्रवाई से मेल खाती है

उदाहरण के लिए: 3 तार {ए, बी, सी} एक बॉक्स से बंधे हैं, स्ट्रिंग के प्रत्येक छोर को एक विषय द्वारा रखा गया है। 3 विषयों में से प्रत्येक को अन्य 2 की तुलना में रस्सी को एक अलग दिशा में खींचना चाहिए।

A: (कुल्हाड़ी, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + by + cy; az + bz + cz = V _r)

बॉक्स केवल एक दिशा में जाने में सक्षम होगा, इसलिए V _r बॉक्स के आंदोलन की दिशा और दिशा को इंगित करेगा।

अंतर (ए - बी)

वैक्टर के बीच अंतर के बारे में कई मानदंड हैं, कई लेखक इसे बाहर करने के लिए चुनते हैं और बताते हैं कि केवल वैक्टर के बीच का योग निर्धारित है, जहां अंतर विपरीत वेक्टर के योग के बारे में है। सच्चाई यह है कि वैक्टर को बीजगणितीय रूप से घटाया जा सकता है।

ए: (कुल्हाड़ी, ऐ, अज) बी: (बीएक्स, बाय, बीजे)

ए - बी = ए + (-बी) = (एक्सिस-बीएक्स; ए-बाय; एज़-बीज़) =

स्केलर उत्पाद (ए। बी)

डॉट उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है, यह एक स्केलर मूल्य उत्पन्न करता है जो अध्ययन की शाखा के आधार पर विभिन्न परिमाण से संबंधित हो सकता है।

ज्यामिति के लिए, समांतर चतुर्भुज की जोड़ी द्वारा समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल को समांतर चतुर्भुज विधि के माध्यम से इंगित करें। यांत्रिक भौतिकी के लिए यह एक बल एफ द्वारा किए गए कार्य को परिभाषित करता है जब शरीर को दूरी पर ले जाया जाता है ।

ѡ = एफ । Δr

जैसा कि इसके नाम से संकेत मिलता है, यह एक स्केलर मूल्य उत्पन्न करता है और इसे निम्नानुसार परिभाषित किया जाता है:

वैक्टर ए और बी होने दो

ए: (कुल्हाड़ी, ऐ, अज) बी: (बीएक्स, बाय, बीजे)

-वैज्ञानिक रूप:

(ए। बी) = -ए.-बी। -कोस -A

जहां ctors दोनों वैक्टर के बीच का आंतरिक कोण है

-स्वाभाविक रूप:

(ए। बी) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

क्रॉस उत्पाद (ए एक्स बी)

दो वैक्टर के बीच वेक्टर उत्पाद या डॉट उत्पाद, एक तीसरे वेक्टर सी को परिभाषित करता है जिसमें बी और सी के लंबवत होने की गुणवत्ता होती है । भौतिकी में, टोक़ वेक्टर τ घूर्णी गतिशीलता का आधार तत्व है।

-वैज्ञानिक रूप:

- ए एक्स बी - = -ए.-बी। -सेन =

-स्वाभाविक रूप:

(ए एक्स बी) = = (कुल्हाड़ी से। - ए। बीएक्स) - (कुल्हाड़ी। बज़ - एज़। बीएक्स) जे + (कुल्हाड़ी से - ए। बीएक्स)।

-Relative आंदोलन: आर _{ए / बी}

सापेक्षता का आधार सापेक्ष गति है और समवर्ती वैक्टर सापेक्ष गति का आधार है। विचारों के निम्नलिखित क्रम को लागू करके सापेक्ष पदों, वेगों और त्वरण को घटाया जा सकता है।

आर _{ए / बी} = आर _ए - आर _बी; B के संबंध में A की सापेक्ष स्थिति

v _{ए / बी} = वी _ए - वी _बी; B के संबंध में A का सापेक्ष वेग

एक _{ए / बी} = एक _एक - एक _बी; बी के संबंध में ए के सापेक्ष त्वरण

उदाहरण: हल किए गए अभ्यास

अभ्यास 1

चलो ए, बी, और सी समवर्ती वैक्टर हैं।

ए = (-1, 3, 5) बी = (3, 5, -2) सी = (-4, -2, 1)

परिणामी वेक्टर V _r = 2A - 3B + C को परिभाषित करें

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3 बी = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (?; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

डॉट उत्पाद को परिभाषित करें (A. C)

(ए। सी) = (-1, 3, 5)। (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(ए। सी) = 3

-ए और सी के बीच के कोण को समतल करें

(ए। सी) = -ए.- सी। - कॉस θ जहां। वैक्टर के बीच सबसे छोटा कोण है

θ = 88.63 ⁰

-एक वेक्टर को A और B से लंबवत बनाएं

इसके लिए, वेक्टर उत्पाद को (-1, 3, 5) और (3, 5, -2) के बीच परिभाषित करना आवश्यक है। जैसा कि पहले बताया गया है, एक 3 x 3 मैट्रिक्स का निर्माण किया जाता है जहां पहली पंक्ति ट्रिपल यूनिट वैक्टर (i, j, k) से बनी होती है। फिर 2 और 3 पंक्तियों को परिचालन आदेश का सम्मान करते हुए संचालित करने के लिए वैक्टर से बना है।

(ए एक्स बी) = = आई - जे + के

(ए एक्स बी) = (-5 - ९) आई - (२ - १५) जे + (-५ - ९) के

(ए एक्स बी) = - 14 आई + 13 जे - 14 के

व्यायाम २

वी चलो _एक और वी _{ख हो} क्रमशः ए और बी के वेग वैक्टर। A से देखे गए B के वेग की गणना करें।

वी _ए = (3, -1, 5) वी _बी = (2, 5, -3)

इस मामले में ए वी _{बी / ए के} संबंध में बी के सापेक्ष वेग का अनुरोध किया जाता है

वी _{बी / ए} = वी _बी - वी _ए

वी _{बी / ए} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

यह A से देखा गया B का वेग वेक्टर है। B के वेग का एक नया वेक्टर A में स्थित पर्यवेक्षक से संदर्भ लेते हुए और A के वेग से चलते हुए वर्णित है।

प्रस्तावित अभ्यास

1-कंस्ट्रक्ट 3 वैक्टर ए, बी और सी जो समवर्ती हैं और एक व्यावहारिक अभ्यास के माध्यम से उनके बीच 3 ऑपरेशन संबंधित हैं।

2-वैक्टर ए: (-2, 4, -11), बी: (1, -6, 9) और सी: (-2, -1, 10)। वैक्टर लंबवत खोजें: ए और बी, सी और बी, योग ए + बी + सी।

4-निर्धारित 3 वैक्टर जो एक-दूसरे के लंबवत होते हैं, बिना समन्वय अक्षों को ध्यान में रखे।

5-एक बल द्वारा किए गए कार्य को परिभाषित करें, जो एक अच्छी तरह से 20 मीटर गहरी के नीचे से, बड़े पैमाने पर 5 किलो के एक ब्लॉक को उठाता है।

6-बीजगणितीय रूप से दिखाएँ कि वैक्टर का घटाव विपरीत वेक्टर के योग के बराबर है। अपने पदों को सही ठहराएं।

7-इस लेख में विकसित की गई सभी अधिसूचनाओं में एक वेक्टर को दर्शाएँ। (कार्टेशियन, ध्रुवीय, विश्लेषणात्मक और गोलाकार)।

8-एक मेज पर टिकी हुई चुम्बक पर स्थित चुंबकीय बल, निम्न वैक्टर द्वारा दिया जाता है; वी: (5, 3, -2), टी: (4, 7, 9), एच: (-3, 5, -4)। निर्धारित करें कि चुंबक किस दिशा में जाएगा यदि सभी चुंबकीय बल एक ही समय में कार्य करते हैं।

संदर्भ

1. यूक्लिडियन ज्यामिति और रूपांतरण। क्लेटन डब्ल्यू डॉज। कूरियर कॉर्पोरेशन, 1 जनवरी 2004
2. एप्लाइड गणित समस्याओं को हल करने के लिए कैसे। एल Moiseiwitsch। कूरियर कॉर्पोरेशन, 10 अप्रैल 2013
3. ज्यामिति की मूल अवधारणा। वाल्टर प्रेनोवित्ज़, मेयर जॉर्डन। रोवमैन एंड लिटिलफील्ड, 4 अक्टूबर। 2012
4. वैक्टर। रोसीओ नवारो लाकोबा, जून 7। 2014
5. रेखीय बीजगणित। बर्नार्ड कोलमैन, डेविड आर हिल। पियर्सन एजुकेशन, 2006