बेलनाकार निर्देशांक: प्रणाली, परिवर्तन और अभ्यास - गणित - 2025

बेलनाकार निर्देशांक तीन आयामी अंतरिक्ष में अंक का पता लगाने और रेडियल ρ समन्वय, φ दिगंशीय समन्वय और z ऊंचाई का समन्वय एक से मिलकर किया जाता है।

अंतरिक्ष में स्थित एक बिंदु P को XY विमान पर orthogonally अनुमानित किया जाता है, जो उस विमान में बिंदु P 'को जन्म देता है। उत्पत्ति से बिंदु P तक की दूरी निर्देशांक ρ को परिभाषित करती है, जबकि X अक्ष को किरण OP से बनाता है 'निर्देशांक' को परिभाषित करता है। अंत में, Z निर्देशांक Z अक्ष पर बिंदु P का ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है। (आकृति 1 देखें)।

चित्रा 1. बेलनाकार निर्देशांक के बिंदु पी (ρ, z, z)। (खुद का विस्तार)

रेडियल निर्देशांक ρ हमेशा सकारात्मक होता है, azimuthal निर्देशांक φ शून्य रेडियन से दो पाई रेडियन तक भिन्न होता है, जबकि z निर्देशांक किसी भी वास्तविक मूल्य को ले सकता है:

0 <ρ <<

0 φ ≤ <2π

- <<z <+ <

निर्देशांक का परिवर्तन

अपने बेलनाकार निर्देशांक (ρ, φ, z) से एक बिंदु P के कार्टेशियन निर्देशांक (x, y, z) को प्राप्त करना अपेक्षाकृत आसान है:

x = ρ कॉस (()

y = ρ पाप (()

z = z

लेकिन एक बिंदु P के कार्टेशियन निर्देशांक (x, y, z) के ज्ञान से शुरू होने वाले ध्रुवीय निर्देशांक (ρ, to, z) को प्राप्त करना भी संभव है:

ρ = √ (x ² + y ²)

φ = अर्चन (y / x)

z = z

बेलनाकार निर्देशांक में वेक्टर आधार

बेलनाकार इकाई वैक्टर यूएई, यूrical, उज़ को परिभाषित किया गया है ।

वेक्टर Uρ लाइन φ = ctte और z = ctte (त्रिज्यात जावक इशारा करते हुए) को स्पर्श रेखा होती है, वेक्टर Uφ लाइन ρ = ctte और z = ctte को स्पर्श रेखा होती है और अंत में ऊस Z अक्ष की एक ही दिशा है।

चित्रा 2. बेलनाकार समन्वय आधार। (विकिमीडिया कॉमन्स)

बेलनाकार इकाई आधार में, बिंदु P की स्थिति सदिश r इस तरह सदिश रूप से लिखी जाती है:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z उज़

दूसरी ओर, बिंदु P से एक infinitesimal विस्थापन d r को निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है:

घ आर = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz ऊस

इसी प्रकार, बेलनाकार निर्देशांक में मात्रा dV का एक असीम तत्व है:

dV = ρ dρ dφ dz

उदाहरण

बेलनाकार निर्देशांक के उपयोग और अनुप्रयोग के अनगिनत उदाहरण हैं। कार्टोग्राफी में, उदाहरण के लिए, इन निर्देशांकों के आधार पर, बेलनाकार प्रक्षेपण का उपयोग किया जाता है। और भी उदाहरण हैं:

उदाहरण 1

बेलनाकार निर्देशांक प्रौद्योगिकी में अनुप्रयोग हैं। एक उदाहरण के रूप में हमारे पास एक हार्ड डिस्क पर डेटा स्थान का सीएचएस (सिलेंडर-हेड-सेक्टर) सिस्टम है, जिसमें वास्तव में कई डिस्क हैं:

- सिलेंडर या ट्रैक समन्वित ρ से मेल खाती है।

- सेक्टर डिस्क की स्थिति The से मेल खाता है जो उच्च कोणीय गति से घूमता है।

- सिर संबंधित डिस्क पर रीडिंग हेड की जेड-स्थिति से मेल खाता है।

सूचना के प्रत्येक बाइट में बेलनाकार निर्देशांक (C, S, H) में एक सटीक पता होता है।

चित्र 2. हार्ड डिस्क सिस्टम पर बेलनाकार निर्देशांक में सूचना का स्थान। (विकिमीडिया कॉमन्स)

उदाहरण 2

निर्माण क्रेन बेलनाकार निर्देशांक में लोड की स्थिति को ठीक करते हैं। क्षैतिज स्थिति क्रेन ρ के अक्ष या तीर की दूरी और कुछ संदर्भ अक्ष के संबंध में इसकी कोणीय स्थिति by द्वारा परिभाषित की गई है। भार की ऊर्ध्वाधर स्थिति ऊंचाई के z समन्वय द्वारा निर्धारित की जाती है।

चित्रा 3. एक निर्माण क्रेन पर लोड की स्थिति आसानी से बेलनाकार निर्देशांक में व्यक्त की जा सकती है। (छवि पिक्बे - एनोटेशन आर। पेरेज़)

हल किया हुआ व्यायाम

अभ्यास 1

बेलनाकार निर्देशांक (3, 120 -4, -4) और बिंदु P2 के साथ बेलनाकार निर्देशांक (2, 90 (, 5) के साथ बिंदु P1 हैं। इन दो बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान: सबसे पहले, हम उस सूत्र के बाद प्रत्येक बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक को खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं जो ऊपर दिए गए सूत्र के अनुसार है।

P1 = (3 * cos 120º, 3 * पाप 120 -4, -4) = (-1.5, 2.60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * पाप 90 5, 5) = (0, 2, 5)

P1 और P2 के बीच यूक्लिडियन दूरी है:

d (P1, P2) = √ (((- (-1.5)) ² + (2 - 2.60) ² + (5 - (- 4)) ²) =…

…… (2.25 + 0.36 + 81) = 9.14

व्यायाम २

प्वाइंट पी में कार्टेशियन निर्देशांक (-3, 4, 2) है। इसी बेलनाकार निर्देशांक का पता लगाएं।

समाधान: हम ऊपर दिए गए संबंधों का उपयोग करके बेलनाकार निर्देशांक खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं:

ρ = √ (x ² + y ²) = (((- 3) ² + 4 ²) = 16 (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = अर्चन (y / x) = अर्चन (४ / (- ३)) = -53.13º + 180º = 126.87an

z = 2

यह याद किया जाना चाहिए कि आर्कicityटेंट फ़ंक्शन 180icity आवधिकता के साथ बहुस्तरीय है। इसके अलावा, कोण since दूसरे चतुर्थांश से संबंधित होना चाहिए, क्योंकि बिंदु P के x और y निर्देशांक उस चतुर्थांश में हैं। यही कारण है कि परिणाम φ में 180º जोड़ा गया है।

व्यायाम ३

बेलनाकार निर्देशांक में और कार्टेशियन में एक्सप्रेस त्रिज्या 2 के साथ एक सिलेंडर की सतह का निर्देशन करता है और जिसका अक्ष जेड अक्ष के साथ मेल खाता है।

समाधान: यह समझा जाता है कि सिलेंडर का z दिशा में अनंत विस्तार है, इसलिए बेलनाकार निर्देशांक में उक्त सतह का समीकरण:

ρ = 2

बेलनाकार सतह के कार्टेशियन समीकरण को प्राप्त करने के लिए, पिछले समीकरण के दोनों सदस्यों का वर्ग लिया जाता है:

ρ ² = 4

हम पिछली समानता के दोनों सदस्यों को 1 से गुणा करते हैं और मौलिक त्रिकोणमितीय पहचान (पाप ² (+) + cos ² (cos) = 1) लागू करते हैं:

1 * ρ ² = 1 * 4

(पाप ² (sin) + cos ² ())) * ρ ² = 1 * 4

कोष्ठक को प्राप्त करने के लिए विकसित किया गया है:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos ())) ² = 4

हम याद करते हैं कि पहला कोष्ठक (ρ sin ())) ध्रुवीय निर्देशांक में एक बिंदु का y निर्देशांक है, जबकि कोष्ठक (ρ cos (φ)) x निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करता है, ताकि हम निर्देशांक में सिलेंडर के समीकरण को देखें कार्तीय:

y ² + x ² = 2 ²

उपरोक्त समीकरण को XY विमान में परिधि के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, क्योंकि इस मामले में यह इस तरह दिखाई देगा: {y ² + x ² = 2 ²; z = 0}।

व्यायाम ४

त्रिज्या R = 1 मीटर और ऊँचाई H = 1m का एक सिलेंडर निम्नलिखित द्रव्यमान D (ρ) = C (1 - ρ / R) के अनुसार अपना द्रव्यमान रेडियल रूप से वितरित करता है, जहाँ C मान C = 1 kg / m ³ का एक स्थिर भाग है। । किलोग्राम में सिलेंडर का कुल द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

समाधान: पहली बात यह महसूस करना है कि फ़ंक्शन डी (ρ) वॉल्यूमेट्रिक द्रव्यमान घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है, और यह कि द्रव्यमान घनत्व केंद्र से परिधि तक घटते घनत्व के बेलनाकार गोले में वितरित किया जाता है। समस्या के समरूपता के अनुसार मात्रा का एक असीम तत्व है:

dV = ρ dρ 2π H

इसलिए, एक बेलनाकार खोल का अनंत द्रव्यमान होगा:

डीएम = डी (ρ) डी.वी.

इसलिए, सिलेंडर का कुल द्रव्यमान निम्नलिखित निश्चित अभिन्न द्वारा व्यक्त किया जाएगा:

M = ^R _या ^R D (ρ) dV = ^R _या ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2ρ H = 2π HC ^R _या ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

संकेतित अभिन्न का समाधान प्राप्त करना मुश्किल नहीं है, इसका परिणाम है:

∫ _या ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (R) R ²

सिलेंडर के द्रव्यमान की अभिव्यक्ति में इस परिणाम को शामिल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

M = 2⅓ HC (⅙) R ² = (CR HCR ² =

M m 1m * 1kg / m ³ * 1m ² = 3/3 kg 5 1.05 kg

संदर्भ

1. आरफकेन जी और वेबर एच। (2012)। भौतिकविदों के लिए गणितीय तरीके। एक व्यापक मार्गदर्शक। 7 वां संस्करण। अकादमिक प्रेस। आईएसबीएन 978-0-12-384654-9
2. गणना सी.सी. बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक की हल समस्याओं। से पुनर्प्राप्त: कैलकुलेट करें
3. वीसस्टीन, एरिक डब्ल्यू। "बेलनाकार निर्देशांक।" मैथवर्ल्ड से - एक वोल्फ्राम वेब। से पुनर्प्राप्त: mathworld.wolfram.com
4. विकिपीडिया। बेलनाकार समन्वय प्रणाली। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.com
5. विकिपीडिया। बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में वेक्टर क्षेत्र। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.com