रस्सी (ज्यामिति): लंबाई, प्रमेय और अभ्यास - गणित - 2024

एक जीवा, विमान ज्यामिति में, वह रेखाखंड है जो एक वक्र पर दो बिंदुओं से जुड़ता है। जिस रेखा में यह खंड होता है उसे वक्र की एक सेकेंडरी रेखा कहा जाता है। यह अक्सर एक चक्र होता है, लेकिन जीवा को निश्चित रूप से कई अन्य वक्रों पर खींचा जा सकता है, जैसे कि अंडाकार और परवल।

आकृति 1 में बाईं ओर एक वक्र है, जिसमें A और B अंक हैं। A और B के बीच का भाग हरा खंड है। दाईं ओर एक परिधि और उसका एक तार है, क्योंकि इससे शिशुओं को खींचना संभव है।

चित्र 1. बाईं ओर एक मनमाना वक्र का चक्र और दाईं ओर एक वृत्त का जीवा। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

परिधि में इसका व्यास विशेष रूप से दिलचस्प है, जिसे प्रमुख राग के रूप में भी जाना जाता है। यह एक राग है जिसमें हमेशा परिधि का केंद्र होता है और दो बार त्रिज्या मापता है।

निम्नलिखित आकृति त्रिज्या, व्यास, एक जीवा और एक परिधि के चाप को दर्शाती है। समस्याओं को हल करते समय हर एक की सही पहचान करना महत्वपूर्ण है।

चित्रा 2. परिधि के तत्व। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

एक वृत्त की जीवा लंबाई

हम आंकड़े 3 ए और 3 बी से एक सर्कल में कॉर्ड की लंबाई की गणना कर सकते हैं। ध्यान दें कि एक त्रिभुज हमेशा दो समान पक्षों (समद्विबाहु) के साथ बनता है: खंड OA और OB, जो परिधि के त्रिज्या R को मापते हैं। त्रिभुज का तीसरा भाग खंड AB है, जिसे C कहा जाता है, जो ठीक जीवा की लंबाई है।

कोण the को द्विभाजित करने के लिए chord C के लिए लंबवत रेखा खींचना आवश्यक है, जो दो त्रिज्या के बीच मौजूद है और जिसका शीर्ष वृत्त का केंद्र O है। यह एक केंद्रीय कोण है - क्योंकि इसका शीर्ष केंद्र है - और द्विभाजक रेखा भी परिधि के लिए एक सेकंड है।

दो सही त्रिकोण तुरंत बनते हैं, जिनमें से कर्ण आर को मापता है। द्विभाजक के बाद से, और इसके साथ व्यास, जीवा को दो समान भागों में विभाजित करता है, यह पता चलता है कि पैरों में से एक सी का आधा है, जैसा कि संकेत दिया गया है चित्रा 3 बी।

एक कोण की साइन की परिभाषा से:

sin (en / 2) = विपरीत पैर / कर्ण = (C / 2) / R

इस प्रकार:

sin (। / 2) = C / 2R

सी = 2 आर पाप () / 2)

चित्रा 3. दो त्रिज्या और परिधि का एक चक्र समद्विबाहु (आंकड़ा 3) द्वारा गठित त्रिकोण है, क्योंकि इसमें दो समान पक्ष हैं। द्विभाजक इसे दो सही त्रिकोण (चित्रा 3 बी) में विभाजित करता है। स्रोत: एफ। जैपटा द्वारा तैयार किया गया।

स्ट्रिंग प्रमेय

स्ट्रिंग प्रमेय इस प्रकार है:

निम्नलिखित आंकड़ा एक ही परिधि के दो जीवा दिखाता है: AB और CD, जो बिंदु P पर प्रतिच्छेद करता है। Chord AB में खंडों AP और PB को परिभाषित किया गया है, जबकि जीवा CD और PD में परिभाषित किया गया है। तो, प्रमेय के अनुसार:

एपी। पीबी = सी.पी. अनुलेख

चित्रा 4. एक वृत्त की जीवा प्रमेय। स्रोत: एफ। ज़पाटा

तार के हल किए गए व्यायाम

- अभ्यास 1

एक सर्कल में 48 सेमी का तार होता है, जो केंद्र से 7 सेमी है। सर्कल के क्षेत्र और परिधि के परिधि की गणना करें।

उपाय

सर्कल ए के क्षेत्र की गणना करने के लिए, परिधि के त्रिज्या को जानना पर्याप्त है, क्योंकि यह सच है:

ए = 2.R ²

अब, जो आंकड़ा प्रदान किया गया है, वह एक सही त्रिकोण है, जिसके पैर क्रमशः 7 और 24 सेमी हैं।

चित्र 5. हल किए गए व्यायाम के लिए ज्यामिति 1. स्रोत: एफ। ज़पाटा।

इसलिए, R ² का मान ज्ञात करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय c ² = a ² + b ² को सीधे लागू किया जाता है, क्योंकि R त्रिभुज का कर्ण है:

आर ² = (7 सेमी) ² + (24 सेमी) ² = 625 सेमी ²

इसलिए अनुरोधित क्षेत्र है:

ए = π। 625 सेमी ² = 1963.5 सेमी ²

परिधि की परिधि या लंबाई L के संबंध में, इसकी गणना निम्न द्वारा की जाती है:

एल = 2π। आर

मूल्‍यांकन मान:

आर = √625 सेमी ² = 25 सेमी

एल = 2π। 25 सेमी = 157.1 सेमी।

- व्यायाम २

एक वृत्त के जीवा की लंबाई निर्धारित करें जिसका समीकरण है:

x ² + y ² - 6x - 14y -111 = 0

कॉर्ड के मध्य बिंदु के निर्देशांक पी (17/2; 7/2) के रूप में जाने जाते हैं।

उपाय

कॉर्ड पी का मध्य बिंदु परिधि से संबंधित नहीं है, लेकिन कॉर्ड के अंतिम बिंदु करते हैं। पहले से बताई गई स्ट्रिंग प्रमेय का उपयोग करके समस्या को हल किया जा सकता है, लेकिन पहले इसकी त्रिज्या आर और इसके केंद्र ओ को निर्धारित करने के लिए, विहित रूप में परिधि के समीकरण को लिखना सुविधाजनक है।

चरण 1: परिधि के विहित समीकरण प्राप्त करें

केंद्र (h, k) के साथ वृत्त का विहित समीकरण है:

(xh) ² + (yk) ² = R ²

इसे प्राप्त करने के लिए, आपको वर्गों को पूरा करना होगा:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

ध्यान दें कि 6x = 2. (3x) और 14y = 2. (7y), ताकि पिछली अभिव्यक्ति इस तरह से फिर से लिखी जाए, शेष अपरिवर्तित:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ²) + (y ² - 14y + 7 ² -7 ²) -111 = 0

और अब, उल्लेखनीय उत्पाद (ab) ² = ² - 2ab + b ² की परिभाषा को याद करते हुए आप लिख सकते हैं:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

परिधि में केंद्र (3,7) और त्रिज्या R = =169 = 13. है। निम्नलिखित आकृति परिधि और जीवा के ग्राफ को प्रमेय में उपयोग करने के लिए दर्शाती है:

चित्र 6. सुलझे हुए व्यायाम की परिधि का ग्राफ 2. स्रोत: एफ। जैपटाथ मैथवे ऑनलाइन ग्राफिंग कैलकुलेटर का उपयोग करता है।

चरण 2: स्ट्रिंग प्रमेय में उपयोग करने के लिए सेगमेंट निर्धारित करें

उपयोग किए जाने वाले सेगमेंट स्ट्रिंग्स 6 और एबी हैं, आंकड़ा 6 के अनुसार, दोनों बिंदु P पर कट जाते हैं, इसलिए:

सी.पी.। पीडी = एपी। पंजाब

अब हम बिंदुओं O और P के बीच की दूरी का पता लगाने जा रहे हैं, क्योंकि यह हमें सेगमेंट OP की लंबाई देगा। यदि हम इस लंबाई में त्रिज्या जोड़ते हैं, तो हमारे पास सेगमेंट सीपी होगा।

दो समन्वय बिंदुओं (x ₁, y ₁) और (x ₂, y ₂) के बीच की दूरी d _OP है:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁) ² + (y ₂ - y ₁) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

डी _ओपी = ओपी = √170 / 2

प्राप्त किए गए सभी परिणामों के साथ, ग्राफ़ के साथ, हम सेगमेंट की निम्न सूची बनाते हैं (आंकड़ा 6 देखें):

सीओ = 13 सेमी = आर

ओपी = 70170/2 सेमी

सीपी = ओपी + आर = 13 + 70170/2 सेमी

पीडी = आयुध डिपो - ओपी = 13 - OD170 / 2 सेमी

एपी = पीबी

2.AP = जीवा की लंबाई

स्ट्रिंग प्रमेय में प्रतिस्थापित:

सी.पी.। पीडी = एपी। पीबी = = एपी ^२

= एपी ^२

253/2 = एपी ²

एपी = 25 (253/2)

स्ट्रिंग की लंबाई 2.AP = 2 (3253/2) =.506 है

क्या पाठक समस्या को दूसरे तरीके से हल कर सकता है?

संदर्भ

1. बाल्डोर, ए। 2004. त्रिकोणमिति के साथ विमान और अंतरिक्ष ज्यामिति। Publicaciones कल्चरल SA de CV México।
2. सी-K12। एक राग का लेन। से पुनर्प्राप्त: ck12.org।
3. एस्कोबार, जे। परिधि। से पुनर्प्राप्त: matematicas.udea.edu.co।
4. विलेना, एम। कोनिकस। से पुनर्प्राप्त: dspace.espol.edu.ec।
5. विकिपीडिया। रस्सी (ज्यामिति)। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.org।