सिम्पसन का नियम: सूत्र, प्रमाण, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

सिम्पसन के शासन की गणना, लगभग निश्चित अभिन्न के लिए एक विधि है। यह समान रूप से स्थानित उप-अंतरालों की सम संख्या में एकीकरण अंतराल को विभाजित करने पर आधारित है।

दो लगातार उप-अंतराल के चरम मान तीन बिंदुओं को परिभाषित करते हैं, जिसके द्वारा एक परबोला, जिसका समीकरण एक दूसरी डिग्री बहुपद है, फिट बैठता है।

चित्रा 1. सिम्पसन की विधि में, एकीकरण अंतराल को समान चौड़ाई के अंतरालों की संख्या में विभाजित किया गया है। फ़ंक्शन को प्रत्येक 2 उप-अंतरालों में एक परबोला द्वारा अनुमानित किया जाता है और अभिन्न क्षेत्र के तहत क्षेत्र के योग से अभिन्न होता है। स्रोत: upv.es.

फिर लगातार दो अंतरालों में फ़ंक्शन के वक्र के नीचे के क्षेत्र को प्रक्षेप बहुपद के क्षेत्र द्वारा अनुमानित किया जाता है। सभी क्रमिक उप-अंतरालों के पैराबोला के तहत क्षेत्र में योगदान को जोड़ते हुए, हमारे पास अभिन्न का अनुमानित मूल्य है।

दूसरी ओर, चूंकि एक परवलय के अभिन्न की गणना बीजगणितीय रूप से ठीक से की जा सकती है, तो निश्चित अभिन्न के अनुमानित मूल्य के लिए एक विश्लेषणात्मक सूत्र खोजना संभव है। इसे सिम्पसन फॉर्मूला के रूप में जाना जाता है।

इस प्रकार प्राप्त परिणाम की त्रुटि घट जाती है क्योंकि उपखंडों की संख्या n अधिक होती है (जहाँ n एक सम संख्या है)।

नीचे एक अभिव्यक्ति दी जाएगी जो अभिन्न I को सन्निकटन की त्रुटि की ऊपरी सीमा का अनुमान लगाने की अनुमति देती है, जब कुल अंतराल के n नियमित उप-केंद्रों का एक विभाजन बनाया गया है।

सूत्र

एकीकरण अंतराल को n सबंटेवल में विभाजित किया जाता है और n समतुल्य पूर्णांक होता है। प्रत्येक उपखंड की चौड़ाई होगी:

h = (b - a) / n

इस तरह, विभाजन अंतराल पर बना है:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

जहां X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b।

वह सूत्र जो निरंतर, और अधिमानतः सुचारू, निश्चित अंतराल के कार्य को निश्चित करता है,

प्रदर्शन

सिम्पसन के सूत्र को प्राप्त करने के लिए, प्रत्येक उपप्रकार में फ़ंक्शन f (X) को दूसरी डिग्री के बहुपद p (X) (परबोला) द्वारा अनुमानित किया जाता है जो तीन बिंदुओं से गुजरता है:; तथा ।

फिर बहुपद p (x) के अभिन्न की गणना की जाती है जिसमें यह उस अंतराल में फ़ंक्शन f (X) के अभिन्न अंग का अनुमान लगाता है।

चित्रा 2. सिम्पसन के सूत्र को प्रदर्शित करने के लिए ग्राफ। स्रोत: एफ। ज़पाटा

प्रक्षेप बहुपद के गुणांक

पेराबोला पी (एक्स) के समीकरण का सामान्य रूप है: पी (एक्स) = एक्सएक्स ² + बीएक्स + सी। जैसा कि पैराबोला लाल रंग से संकेतित क्यू के अंकों से गुजरता है (आकृति देखें), तो गुणांक ए, बी, सी समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली से निर्धारित होते हैं:

ए -एच) ² - बी एच + सी = एफ (शी)

सी = एफ (शी + 1)

A (h) ² + B h + C = f (शी + 2)

यह देखा जा सकता है कि गुणांक C निर्धारित होता है। गुणांक A निर्धारित करने के लिए हम पहले और तीसरे समीकरण को प्राप्त करते हैं:

2 ए एच ² + 2 सी = एफ (शी) + एफ (शी + 2)।

तब C के मान को प्रतिस्थापित किया जाता है और A को हटा दिया जाता है:

ए = / (2 एच ²)

गुणांक बी निर्धारित करने के लिए, तीसरे समीकरण को पहले से घटाया जाता है और बी को हल किया जाता है, प्राप्त करना:

बी = = 2 एच।

सारांश में, दूसरी डिग्री बहुपद p (X) जो कि बिंदुओं से गुजरती है क्यूई, क्यूई + 1 और क्यूई + 2 में गुणांक है:

ए = / (2 एच ²)

बी = = 2 एच

सी = एफ (शी + 1)

में अनुमानित अभिन्न की गणना

में अभिन्न की अनुमानित गणना

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक विभाजन {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} को चरण h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, जहां के साथ कुल एकीकरण अंतराल पर बनाया गया है। n एक सम संख्या है।

त्रुटि त्रुटि

ध्यान दें कि अंतराल में उप-विभाजनों की संख्या की चौथी शक्ति के साथ त्रुटि कम हो जाती है। उदाहरण के लिए, यदि आप n उप विभाजनों से 2n पर जाते हैं, तो त्रुटि 1/16 कारक से घट जाती है।

सिम्पसन सन्निकटन के माध्यम से प्राप्त त्रुटि की ऊपरी सीमा को इसी सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है, जो अंतराल में चौथे व्युत्पन्न के अधिकतम निरपेक्ष मूल्य के लिए चौथे व्युत्पन्न का प्रतिस्थापन करता है।

काम के उदाहरण

- उदाहरण 1

फ़ंक्शन पर विचार करें f (X) = 1 / (1 + X ²)।

दो उपखंडों (n / 2) के साथ सिम्पसन की विधि का उपयोग करके अंतराल पर फ़ंक्शन एफ (एक्स) का निश्चित अभिन्न खोजें।

उपाय

हम n = 2. लेते हैं। एकीकरण की सीमाएँ a = -1 और b = -2 हैं, इसलिए विभाजन इस तरह दिखता है:

एक्स 0 = -1; X1 = 0 और X2 = +1।

इसलिए, सिम्पसन का सूत्र निम्नलिखित रूप लेता है:

चित्रा 3. सॉफ्टवेयर का उपयोग करके सिम्पसन के शासन द्वारा संख्यात्मक एकीकरण का उदाहरण। स्रोत: एफ। ज़पाटा

संदर्भ

1. कैस्टलेइरो, जेएम 2002. व्यापक गणना (इलस्ट्रेटेड संस्करण)। मैड्रिड: ईएसआईसी संपादकीय।
2. UPV। सिम्पसन की विधि। वालेंसिया के पॉलिटेक्निक विश्वविद्यालय। से पुनर्प्राप्त: youtube.com
3. परसेल, ई। 2007. कैलकुलस नौवां संस्करण। शागिर्द कक्ष।
4. विकिपीडिया। सिम्पसन का नियम। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com
5. विकिपीडिया। लैग्रेंज बहुपद प्रक्षेप। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com