स्वतंत्र घटनाएं: प्रदर्शन, उदाहरण, अभ्यास - दुदास - 2025

दो घटनाएं स्वतंत्र होती हैं, जब उनमें से एक होने की संभावना इस तथ्य से प्रभावित नहीं होती है कि अन्य घटित होती है-और घटित नहीं होती है- यह देखते हुए कि ये घटनाएं यादृच्छिक रूप से घटित होती हैं।

यह परिस्थिति तब होती है जब घटना 1 के परिणाम को उत्पन्न करने वाली प्रक्रिया, किसी भी तरह से घटना 2 के संभावित परिणामों की संभावना में परिवर्तन नहीं करती है। लेकिन ऐसा नहीं होने पर, घटनाओं को आश्रित कहा जाता है।

चित्रा 1. रंगीन मार्बल्स का उपयोग अक्सर स्वतंत्र घटनाओं की संभावना को समझाने के लिए किया जाता है। स्रोत: पिक्साबे

एक स्वतंत्र घटना की स्थिति इस प्रकार है: मान लें कि दो-पक्षीय पासा लुढ़का हुआ है, एक नीला और दूसरा गुलाबी। संभावना है कि नीली डाई पर 1 रोल होगा, इस संभावना से स्वतंत्र है कि 1 रोल करेगा-नहीं रोल-ऑन गुलाबी डाई।

दो स्वतंत्र घटनाओं का एक और मामला एक पंक्ति में दो बार सिक्का उछालना है। पहली फेंक का परिणाम दूसरे और इसके विपरीत के परिणाम पर निर्भर नहीं करेगा।

दो स्वतंत्र घटनाओं का प्रमाण

यह सत्यापित करने के लिए कि दो घटनाएँ स्वतंत्र हैं, हम एक घटना की सशर्त संभाव्यता की अवधारणा को दूसरे के संबंध में परिभाषित करेंगे। इसके लिए, विशेष घटनाओं और समावेशी घटनाओं के बीच अंतर करना आवश्यक है:

दो घटनाएँ विशेष हैं यदि घटना A के मान या तत्वों में कुछ भी समान नहीं है।

इसलिए दो विशेष घटनाओं में, बी के साथ ए के चौराहे का सेट वैक्यूम है:

घटनाओं को छोड़कर: A∩B = ∩

इसके विपरीत, यदि घटनाएँ समावेशी हैं, तो ऐसा हो सकता है कि घटना A का परिणाम अन्य B के साथ भी मेल खाता है, A और B अलग-अलग घटनाएँ हैं। इस मामले में:

समावेशी घटनाएँ: A∩B ≠ ∩

यह दो समावेशी घटनाओं की सशर्त संभाव्यता को परिभाषित करने की ओर ले जाता है, दूसरे शब्दों में, जब भी घटना B होती है, तो घटना A की घटना की संभावना होती है:

P (A)B) = P (A∩B) / P (B)

इसलिए, सशर्त प्रायिकता वह संभावना है जो A और B के बी होने की संभावना से विभाजित होगी। A पर B की सशर्तता होने की संभावना को भी परिभाषित किया जा सकता है:

P (B)A) = P (A∩B) / P (A)

यह जानने के लिए कि क्या दो घटनाएँ स्वतंत्र हैं

आगे हम यह जानने के लिए तीन मानदंड देंगे कि क्या दो घटनाएँ स्वतंत्र हैं। यह पर्याप्त है कि तीन में से एक को पूरा किया जाता है, ताकि घटनाओं की स्वतंत्रता का प्रदर्शन हो।

1.- यदि B होने की संभावना A की संभावना के बराबर होती है, तो वे स्वतंत्र घटनाएँ हैं:

P (A >B) = P (A) => A, B से स्वतंत्र है

2.- यदि बी को दी जाने वाली संभावना बी के होने की संभावना के बराबर है, तो स्वतंत्र घटनाएँ हैं:

P (B >A) = P (B) => B A से स्वतंत्र है

3.- यदि ए और बी होने की संभावना ए के घटित होने की संभावना के उत्पाद के बराबर है और बी होने की संभावना है, तो वे स्वतंत्र घटना हैं। इसका उलटा भी सच है।

P (A (B) = P (A) P (B) <=> A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

स्वतंत्र घटनाओं के उदाहरण हैं

दो अलग-अलग आपूर्तिकर्ताओं द्वारा उत्पादित रबड़ के तलवों की तुलना की जाती है। प्रत्येक निर्माता के नमूनों को कई परीक्षणों के अधीन किया जाता है, जहां से यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि वे विनिर्देशों के भीतर हैं या नहीं।

चित्रा 2. रबर तलवों की विविधता। स्रोत: पिक्साबे

252 नमूनों का परिणामी सारांश इस प्रकार है:

निर्माता 1; 160 विशिष्टताओं को पूरा करते हैं; 8 विनिर्देशों को पूरा नहीं करते हैं।

निर्माता 2; 80 विशिष्टताओं को पूरा करते हैं; 4 विनिर्देशों को पूरा नहीं करते हैं।

घटना ए: "कि नमूना निर्माता 1 से है"।

इवेंट B: "यह नमूना विशिष्टताओं को पूरा करता है।"

हम जानना चाहते हैं कि क्या ये घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं या नहीं, जिसके लिए हम पिछले खंड में उल्लिखित तीन मानदंडों में से एक को लागू करते हैं।

मानदंड: P (B¦A) = P (B) => B A से स्वतंत्र है

पी (बी) = 240/252 = 0.9523

P (B⋂A) = P (A / B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0.9523

निष्कर्ष: इवेंट A और B स्वतंत्र हैं।

मान लीजिये घटना C: "कि नमूना निर्माता 2 से आता है"

क्या घटना B घटना C से स्वतंत्र होगी?

हम मानदंडों में से एक को लागू करते हैं।

मानदंड: P (B¦C) = P (B) => B, C से स्वतंत्र है

P (B)C) = (80/252) / (84/252) = 0.9523 = P (B)

इसलिए, उपलब्ध आंकड़ों के आधार पर, संभावना है कि एक बेतरतीब ढंग से चुनी गई रबड़ एकमात्र विनिर्देशों को पूरा करती है निर्माता से स्वतंत्र है।

एक स्वतंत्र घटना को एक निर्भर घटना में परिवर्तित करें

आइए निर्भर और स्वतंत्र घटनाओं के बीच अंतर करने के लिए निम्नलिखित उदाहरण देखें।

हमारे पास दो सफेद चॉकलेट गेंदों और दो काली गेंदों के साथ एक बैग है। पहली कोशिश में सफेद गेंद या काली गेंद मिलने की संभावना बराबर होती है।

मान लीजिए कि परिणाम क्यू बॉल था। यदि खींची गई गेंद को बैग में बदल दिया जाता है, तो मूल स्थिति को दोहराया जाता है: दो सफेद गेंदें और दो काली गेंदें।

इसलिए एक दूसरी घटना या ड्रा में, क्यू बॉल या एक काली गेंद खींचने की संभावना पहली बार के समान है। इसलिए वे स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

लेकिन अगर पहली घटना में तैयार की गई क्यू बॉल को प्रतिस्थापित नहीं किया गया है क्योंकि हमने इसे खा लिया है, तो दूसरे ड्रॉ में काली गेंद खींचने की अधिक संभावना है। एक दूसरा निष्कर्षण फिर से सफेद होने की संभावना पहली घटना से अलग है और पिछले परिणाम से वातानुकूलित है।

अभ्यास

- अभ्यास 1

एक बॉक्स में हमने आकृति 1 के 10 पत्थर रखे हैं, जिनमें से 2 हरे हैं, 4 नीले हैं और 4 सफेद हैं। दो पत्थर यादृच्छिक, एक पहले और एक बाद में चुने जाएंगे। यह

संभावना खोजने के लिए कहा जाता है कि निम्न स्थितियों में उनमें से कोई भी नीला नहीं है:

क) प्रतिस्थापन के साथ, अर्थात्, बॉक्स के दूसरे चयन से पहले पहला संगमरमर वापस करना। संकेत दें कि क्या वे स्वतंत्र या आश्रित घटनाएँ हैं।

बी) प्रतिस्थापन के बिना, इस तरह से कि निकाले गए पहले संगमरमर को दूसरे चयन करने के समय बॉक्स से बाहर छोड़ दिया जाता है। इसी तरह, इंगित करें कि वे निर्भर हैं या स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

का हल

हम इस संभावना की गणना करते हैं कि पहले निकाले गए संगमरमर का रंग नीला नहीं है, जो कि 1 शून्य से कम संभावना है कि यह नीला पी (ए) है, या सीधे तौर पर यह नीला नहीं है, क्योंकि यह हरा या सफेद निकला है:

पी (ए) = 4/10 = 2/5

P (नीला नहीं होना) = 1 - (2/5) = 3/5

ओ अच्छा:

पी (हरा या सफेद) = 6/10 = 3/5।

यदि निकाला गया संगमरमर वापस आ गया है, तो सब कुछ पहले जैसा है। इस दूसरे ड्रा में भी 3/5 संभावना है कि खींचा गया संगमरमर नीला नहीं है।

पी (नीला नहीं, नीला नहीं) = (3/5)। (3/5) = 9/25।

ईवेंट स्वतंत्र हैं, क्योंकि निकाले गए संगमरमर को बॉक्स में वापस कर दिया गया था और पहली घटना दूसरे की घटना की संभावना को प्रभावित नहीं करती है।

समाधान b

पहले निष्कर्षण के लिए, पिछले अनुभाग में आगे बढ़ें। संभावना है कि यह नीला नहीं है 3/5 है।

दूसरे निष्कर्षण के लिए हमारे पास बैग में 9 पत्थर हैं, क्योंकि पहले वापस नहीं आया था, लेकिन यह नीला नहीं था, इसलिए बैग में 9 पत्थर और 5 नीले नहीं हैं:

पी (हरा या सफेद) = 5/9।

P (कोई भी नीला नहीं है) = P (पहले नीला नहीं है)। P (दूसरा नीला नहीं / पहला नीला नहीं) = (3/5)। (5/9) = 1/3

इस मामले में वे स्वतंत्र घटना नहीं हैं, क्योंकि पहली घटना दूसरी है।

- व्यायाम २

एक स्टोर में तीन आकारों में 15 शर्ट हैं: 3 छोटे, 6 मध्यम और 6 बड़े। 2 शर्ट यादृच्छिक रूप से चुने गए हैं।

क) क्या संभावना है कि चयनित दोनों शर्ट छोटे हैं, अगर एक को पहले लिया जाता है और दूसरे को बिना बदले?

ख) क्या संभावना है कि दोनों चयनित शर्ट छोटे हैं, अगर एक पहले खींचा जाता है, तो उसे बैच में बदल दिया जाता है, और दूसरा हटा दिया जाता है?

का हल

यहाँ दो घटनाएँ हैं:

इवेंट ए: चयनित पहली शर्ट छोटी है

इवेंट बी: दूसरा चयनित शर्ट छोटा है

घटना A होने की संभावना है: P (A) = 3/15

बी होने की संभावना होने की संभावना है: पी (बी) = 2/14, क्योंकि एक शर्ट पहले ही हटा दी गई थी (14 बाएं हैं), लेकिन यह भी कि घटना ए पूरी होना चाहती है, पहले हटाए गए शर्ट छोटा होना चाहिए और इसलिए दोनों 2 छोटे हैं।

अर्थात्, संभाव्यता का गुणनफल A और B होगा:

P (A और B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0.029

इसलिए, ए और बी होने वाली घटना की संभावना उस उत्पाद के बराबर होती है, जो कि घटना ए की होती है, अगर बी की घटना होने की संभावना होती है तो ए।

इस बात पर ध्यान दिया जाना चाहिए कि:

P (B¦A) = 2/14

ईवेंट बी होता है या नहीं इस बात की परवाह किए बिना बी होने की संभावना है:

P (B) = (2/14) यदि पहला छोटा था, या P (B) = 3/14 यदि पहला छोटा नहीं था।

सामान्य तौर पर, निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला जा सकता है:

P (B BA) P के समान नहीं है (B) => B A से स्वतंत्र नहीं है

समाधान b

फिर से दो कार्यक्रम हैं:

इवेंट ए: चयनित पहली शर्ट छोटी है

इवेंट बी: दूसरा चयनित शर्ट छोटा है

पी (ए) = 3/15

याद रखें कि परिणाम कुछ भी हो, बैच से निकाली गई शर्ट को बदल दिया जाता है और फिर से एक शर्ट को यादृच्छिक रूप से खींचा जाता है। यदि B की घटना A होती है, तो B की संभावना है:

P (B¦A) = 3/15

ए और बी होने की संभावनाएँ निम्न होंगी:

P (A और B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0.04

ध्यान दें कि:

P (B)A) P के समान है (B) => B, A से स्वतंत्र है।

- व्यायाम 3

दो स्वतंत्र घटनाओं पर विचार करें ए और बी। यह ज्ञात है कि घटना ए होने की संभावना 0.2 है और बी होने वाली घटना की संभावना 0.3 है। क्या संभावना है कि दोनों घटनाएं होती हैं?

समाधान २

यह जानते हुए कि घटनाएं स्वतंत्र हैं, यह ज्ञात है कि दोनों घटनाओं की संभावना व्यक्तिगत संभावनाओं का उत्पाद है। यानी, P (A (B) = P (A) P (B) = 0.2 * 0.3 = 0.06

ध्यान दें कि यह संभावना से कम संभावना है कि प्रत्येक घटना दूसरे के परिणाम की परवाह किए बिना होगी। या एक और तरीका है, व्यक्तिगत बाधाओं की तुलना में बहुत कम है।

संदर्भ

1. बेरेनसन, एम। 1985. प्रबंधन और अर्थशास्त्र के लिए सांख्यिकी। इंटरमेरेरिकाना एसए 126-127।
2. मॉन्टेरी इंस्टीट्यूट। स्वतंत्र घटनाओं की संभावना। से पुनर्प्राप्त: monterreyinstitute.org
3. गणित शिक्षक। स्वतंत्र घटनाओं। से पुनर्प्राप्त: youtube.com
4. Superprof। घटनाओं के प्रकार, आश्रित घटनाएँ। से पुनर्प्राप्त: superprof.es
5. वर्चुअल ट्यूटर। संभावना। से पुनर्प्राप्त: vitutor.net
6. विकिपीडिया। स्वतंत्रता (संभावना)। से पुनर्प्राप्त: wikipedia.com