लोचदार झटके: एक आयाम में, विशेष मामले, अभ्यास - शारीरिक - 2025

लोचदार टकराव या लोचदार टकराव वस्तुओं के बीच संक्षिप्त लेकिन गहन बातचीत, जिसमें दोनों गति और गतिज ऊर्जा संरक्षित कर रहे हैं। प्रकृति में दुर्घटनाएं बहुत अक्सर होती हैं: उप-परमाणु कणों से लेकर आकाशगंगाओं तक, मनोरंजन पार्क में बॉल और बम्पर कारों तक, वे सभी वस्तुएं टकराने में सक्षम हैं।

एक टकराव या टकराव के दौरान, वस्तुओं के बीच बातचीत की ताकत बहुत मजबूत होती है, उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक जो बाहरी रूप से कार्य कर सकते हैं। इस तरह यह कहा जा सकता है कि टक्कर के दौरान, कण एक पृथक प्रणाली बनाते हैं।

बिलियर्ड बॉल टकराव को लोचदार माना जा सकता है। स्रोत: पिक्साबे

इस मामले में यह सच है कि:

टक्कर से पहले गति पी _ओ टक्कर के बाद के रूप में ही है। यह किसी भी प्रकार के टकराव के लिए सही है, दोनों लोचदार और इनैलास्टिक।

अब निम्नलिखित पर विचार करें: टकराव के दौरान, वस्तुएं एक निश्चित विरूपण से गुजरती हैं। जब झटका लोचदार होता है, तो वस्तुएँ जल्दी से अपने मूल आकार में लौट आती हैं।

गतिज ऊर्जा का संरक्षण

आमतौर पर एक दुर्घटना के दौरान, वस्तुओं की ऊर्जा का एक हिस्सा गर्मी, विरूपण, ध्वनि और कभी-कभी प्रकाश उत्पादन पर भी खर्च होता है। तो टक्कर के बाद सिस्टम की गतिज ऊर्जा मूल गतिज ऊर्जा से कम है।

जब गतिज ऊर्जा K को संरक्षित किया जाता है:

जिसका मतलब है कि टक्कर के दौरान काम करने वाली ताकतें रूढ़िवादी हैं। टक्कर के दौरान, गतिज ऊर्जा को संभावित ऊर्जा में और फिर गतिज ऊर्जा में बदल दिया जाता है। संबंधित गतिज ऊर्जा भिन्न होती है, लेकिन योग स्थिर रहता है।

पूरी तरह से लोचदार टकराव दुर्लभ हैं, हालांकि बिलियर्ड बॉल्स एक काफी अच्छा सन्निकटन हैं, जैसे कि टक्कर आदर्श गैस अणुओं के बीच होती हैं।

एक आयाम में लोचदार झटके

आइए एक ही आयाम में इसके दो कणों की टक्कर की जांच करें; एक्स-अक्ष के साथ, इंटरैक्टिंग कण चलते हैं, कहते हैं। मान लीजिए कि उनके पास m ₁ और m _{2 है} । प्रत्येक के प्रारंभिक वेग क्रमशः u _{1 और} u ₂ हैं। अंतिम वेग v ₁ और v _{2 हैं} ।

हम वेक्टर संकेतन के बिना कर सकते हैं, क्योंकि आंदोलन एक्स अक्ष के साथ किया जाता है, हालांकि, संकेत (-) और (+) आंदोलन की दिशा का संकेत देते हैं। अधिवेशन के द्वारा बाईं ओर ऋणात्मक है और दाईं धनात्मक पर।

लोचदार टकराव के लिए -Formula

आंदोलन की राशि के लिए

गतिज ऊर्जा के लिए

जब तक द्रव्यमान और प्रारंभिक वेग ज्ञात होते हैं, तब तक समीकरणों को अंतिम वेगों को खोजने के लिए फिर से इकट्ठा किया जा सकता है।

समस्या यह है कि सिद्धांत रूप में, थोड़ा थकाऊ बीजगणित करना आवश्यक है, क्योंकि गतिज ऊर्जा के समीकरणों में गति के वर्ग होते हैं, जो गणना को थोड़ा बोझिल बना देता है। आदर्श उन भावों को खोजना होगा जिनमें उन्हें शामिल नहीं किया गया है।

पहला कारक the के साथ फैलाना है और दोनों समीकरणों को इस तरह से पुनर्व्यवस्थित करना है कि एक नकारात्मक चिन्ह दिखाई देता है और जनता को तथ्यित किया जा सकता है:

इस तरह से व्यक्त किया जा रहा है:

वेगों के वर्गों को खत्म करने के लिए सरलीकरण

अब हमें दूसरे समीकरण में इसके अंतर से उल्लेखनीय उत्पाद राशि का उपयोग करना चाहिए, जिसके साथ हमें एक अभिव्यक्ति मिलती है जिसमें वर्ग शामिल नहीं हैं, जैसा कि मूल रूप से चाहते थे:

अगले चरण को दूसरे में पहला समीकरण स्थानापन्न करना है:

और चूँकि शब्द m ₂ (v ₂ - u ₂) को समानता के दोनों तरफ दोहराया जाता है, कहा जाता है कि यह शब्द रद्द कर दिया गया है और इस प्रकार है:

या इससे भी बेहतर:

अंतिम गति वी

अब आपके पास दो रैखिक समीकरण हैं जिनके साथ काम करना आसान है। हम उन्हें वापस एक के नीचे रख देंगे:

दूसरे समीकरण को m _{1 से} गुणा करना और अवधि को जोड़ना है:

और v ₂ को साफ़ करना पहले से ही संभव है । उदाहरण के लिए:

लोचदार टकराव में विशेष मामले

अब जब दोनों कणों के अंतिम वेग के लिए समीकरण उपलब्ध हैं, तो कुछ विशेष स्थितियों का विश्लेषण करने का समय आ गया है।

दो समान द्रव्यमान

उस स्थिति में m ₁ = m ₂ = my:

कण टक्कर के बाद बस अपने वेग का आदान-प्रदान करते हैं।

दो समान द्रव्यमान, जिनमें से एक शुरू में आराम पर था

फिर से एम ₁ = एम ₂ = एम और संभालने यू ₁ = 0:

टक्कर के बाद, जो कण आराम से था, वह उसी गति को प्राप्त करता है जैसा कि कण हिल रहा था, और यह बदले में बंद हो जाता है।

दो अलग-अलग जन, उनमें से एक शुरू में आराम करता था

इस स्थिति में मान लें कि u ₁ = 0 है, लेकिन द्रव्यमान भिन्न हैं:

क्या होगा यदि m ₁, m _{2 की} तुलना में बहुत बड़ा है ?

ऐसा होता है कि एम ₁ अभी भी बाकी है और एम ₂ उसी गति के साथ लौटा है जिसके साथ यह प्रभावित हुआ।

पुनर्स्थापन या ह्यूजेंस-न्यूटन नियम का गुणांक

इससे पहले, वेग के बीच का संबंध लोचदार टकराव में दो वस्तुओं के लिए व्युत्पन्न था: यू ₁ - यू ₂ = वी ₂ - वी ₁ । ये अंतर टकराव से पहले और बाद की सापेक्ष गति हैं। सामान्य तौर पर, टक्कर के लिए यह सच है कि:

रिश्तेदार वेग की अवधारणा को सबसे अधिक सराहना की जाती है यदि पाठक कल्पना करता है कि वह कणों में से एक पर है और इस स्थिति से वह उस गति का निरीक्षण करता है जिसके साथ दूसरा कण घूम रहा है। उपरोक्त समीकरण इस तरह से फिर से लिखा गया है:

हल किया हुआ व्यायाम

-आधारित व्यायाम 1

एक बिलियर्ड बॉल 30 सेमी / सेकंड में बाईं ओर जा रही है, एक और समान गेंद के साथ सिर पर टकरा रही है जो 20 सेमी / सेकंड पर दाईं ओर बढ़ रही है। दो गेंदों में समान द्रव्यमान होता है और टक्कर पूरी तरह से लोचदार होती है। प्रभाव के बाद प्रत्येक गेंद का वेग ज्ञात कीजिए।

उपाय

यू ₁ = -30 सेमी / एस

u ₂ = +20 सेमी / एस

यह विशेष मामला है जहां दो समान द्रव्यमान एक आयाम में एक साथ टकराते हैं, इसलिए गति का आदान-प्रदान होता है।

v ₁ = +20 सेमी / एस

v ₂ = -30 सेमी / एस

-सक्रिय व्यायाम २

एक गेंद की बहाली का गुणांक जो जमीन से उछलता है, 0.82 के बराबर है। यदि यह आराम से गिरता है, तो एक बार उछलने के बाद गेंद अपनी मूल ऊँचाई के किस अंश तक पहुँच जाएगी? और 3 रिबाउंड के बाद?

एक गेंद एक फर्म सतह से उछलती है और प्रत्येक उछाल के साथ ऊंचाई खो देती है। स्रोत: स्व बनाया

उपाय

पुनर्स्थापना के गुणांक के लिए समीकरण में मिट्टी वस्तु 1 हो सकती है। और यह हमेशा आराम पर रहता है, ताकि:

इस गति के साथ यह उछलता है:

+ चिन्ह दर्शाता है कि यह एक आरोही गति है। और उसके अनुसार, गेंद अधिकतम ऊंचाई तक पहुँचती है:

अब यह समान परिमाण की गति के साथ फिर से जमीन पर लौटता है, लेकिन विपरीत संकेत:

यह अधिकतम ऊंचाई प्राप्त करता है:

जमीन पर वापस जाएं:

लगातार उछाल

जब भी गेंद उछलती और उठती है, गति को फिर से 0.82 से गुणा करें:

इस बिंदु पर h ₃, h _o का लगभग 30% है । पिछले वाले के रूप में इस तरह की विस्तृत गणना करने की आवश्यकता के बिना 6 वें उछाल की ऊंचाई क्या होगी?

यह h ₆ = 0.82 ¹² h _o = 0.092h _o o सिर्फ 9% h _{o होगा} ।

-सामान्य व्यायाम 3

एक 300-जी ब्लॉक 50 सेमी / सेकंड पर उत्तर की ओर बढ़ रहा है और 200-जी ब्लॉक से दक्षिण की ओर 100 सेमी / एस से टकराता है। मान लें कि झटका पूरी तरह से लोचदार है। प्रभाव के बाद वेगों का पता लगाएं।

डेटा

एम ₁ = 300 ग्राम; यू ₁ = + 50 सेमी / एस

एम ₂ = 200 ग्राम; यू ₂ = -100 सेमी / एस

-सक्रिय व्यायाम 4

एम ₁ = 4 किग्रा का एक द्रव्यमान घर्षण बिंदु पर संकेत बिंदु से तब तक जारी किया जाता है जब तक कि वह एम ₂ = 10 किग्रा के आराम से न टकरा जाए । टकराव के बाद मीटर ₁ कितना ऊंचा हो जाता है ?

उपाय

चूंकि कोई घर्षण है, यांत्रिक ऊर्जा वेग यू खोजने के लिए संरक्षित है ₁ जिसके साथ हूँ ₁ हिट m _2. शुरू में गतिज ऊर्जा 0 है, क्योंकि मीटर ₁ बाकी हिस्सों से शुरू होता है। जब यह क्षैतिज सतह पर चलता है तो इसकी कोई ऊंचाई नहीं होती है, इसलिए संभावित ऊर्जा 0 होती है।

टक्कर की गणना के बाद अब m ₁ का वेग:

नकारात्मक संकेत का मतलब है कि इसे वापस कर दिया गया है। इस गति के साथ यह चढ़ता है और यांत्रिक ऊर्जा को फिर से एच खोजने के लिए संरक्षित किया जाता है ', जिस ऊंचाई पर यह टक्कर के बाद चढ़ने का प्रबंधन करता है:

ध्यान दें कि यह 8 मीटर की ऊंचाई पर शुरुआती बिंदु पर वापस नहीं आता है। इसके पास पर्याप्त ऊर्जा नहीं है क्योंकि द्रव्यमान एम ₁ ने अपनी गतिज ऊर्जा का हिस्सा छोड़ दिया _।

संदर्भ

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