अर्ध-विचरण: सूत्र और समीकरण, उदाहरण, व्यायाम - दुदास - 2025

Quasivariance, अर्ध विचरण या विचरण निष्पक्ष औसत करने के लिए नमूना डेटा रिश्तेदार के फैलाव का एक सांख्यिकीय माप है। नमूना, बदले में, एक बड़े ब्रह्मांड से ली गई डेटा की एक श्रृंखला को शामिल करता है, जिसे आबादी कहा जाता है।

यह कई मायनों में निरूपित किया जाता है, यहाँ है _ग ² में चुना गया है और निम्न सूत्र यह गणना करने के लिए प्रयोग किया जाता है:

चित्र 1. अर्ध-विचरण की परिभाषा। स्रोत: एफ। ज़पाटा

कहाँ पे:

अर्ध-विचरण विचरण s ^{2 के} समान है, केवल इस अंतर के साथ कि विचरण का हरकान n-1 है, जबकि विचरण के हर को केवल n से विभाजित किया जाता है। यह स्पष्ट है कि जब n बहुत बड़ा होता है, तो दोनों के मान समान होते हैं।

जब आप अर्ध-विचरण का मूल्य जानते हैं, तो आप तुरंत विचरण के मूल्य को जान सकते हैं।

अर्ध-विचरण के उदाहरण

अक्सर आप किसी भी आबादी की विशेषताओं को जानना चाहते हैं: लोग, जानवर, पौधे और सामान्य रूप से किसी भी प्रकार की वस्तु। लेकिन पूरी आबादी का विश्लेषण करना आसान काम नहीं हो सकता है, खासकर अगर तत्वों की संख्या बहुत बड़ी है।

तब नमूने लिए जाते हैं, इस उम्मीद में कि उनका व्यवहार जनसंख्या का प्रतिबिंबित करता है और इस प्रकार इसके बारे में अनुमान लगाने में सक्षम होता है, जिसके लिए संसाधनों को अनुकूलित किया जाता है। यह सांख्यिकीय अनुमान के रूप में जाना जाता है।

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं जिनमें अर्ध-विचरण और संबंधित अर्ध मानक विचलन इस बात का संकेत देते हुए एक सांख्यिकीय संकेतक के रूप में कार्य करते हैं कि प्राप्त परिणाम परिणाम से कितनी दूर हैं।

1.- ऑटोमोटिव बैटरी बनाने वाली कंपनी के मार्केटिंग डायरेक्टर को महीनों में बैटरी की औसत लाइफ का अनुमान लगाना होता है।

ऐसा करने के लिए, वह बेतरतीब ढंग से उस ब्रांड की 100 खरीदी गई बैटरी का एक नमूना चुनता है। कंपनी खरीदारों के विवरण का रिकॉर्ड रखती है और यह पता लगाने के लिए उनका साक्षात्कार कर सकती है कि बैटरी कितनी देर तक चलती है।

चित्रा 2. Quasi-variance inferences और गुणवत्ता नियंत्रण बनाने के लिए उपयोगी है। स्रोत: पिक्साबे

2.- एक विश्वविद्यालय संस्थान के अकादमिक प्रबंधन को अगले वर्ष के नामांकन का अनुमान लगाने की आवश्यकता है, जो उन छात्रों की संख्या का विश्लेषण करता है, जिनसे उन्हें वर्तमान में पढ़ रहे विषयों को पास करने की उम्मीद है।

उदाहरण के लिए, वर्तमान में भौतिकी I लेने वाले प्रत्येक अनुभाग से, प्रबंधन छात्रों के नमूने का चयन कर सकता है और उस कुर्सी पर उनके प्रदर्शन का विश्लेषण कर सकता है। इस तरह से आप अनुमान लगा सकते हैं कि अगली अवधि में कितने छात्र भौतिकी II लेंगे।

3.- खगोलविदों का एक समूह आकाश के एक हिस्से पर अपना ध्यान केंद्रित करता है, जहां कुछ खास विशेषताओं वाले सितारों की संख्या देखी जाती है: उदाहरण के लिए आकार, द्रव्यमान और तापमान।

यदि कोई अन्य समान क्षेत्र के सितारों में भी समान चमत्कार करता है, तो अन्य आकाशगंगाओं जैसे कि पड़ोसी मैगेलैनिक क्लाउड्स या एंड्रोमेडा में भी।

क्यों n-1 से विभाजित करें?

क्वासिवेरियन में, इसे n के बजाय n-1 से विभाजित किया जाता है और इसका कारण यह है कि quasivariate एक निष्पक्ष अनुमानक है, जैसा कि शुरुआत में कहा गया था।

ऐसा होता है कि एक ही आबादी से कई नमूनों को निकालना संभव है। इन नमूनों में से प्रत्येक के विचरण को भी औसत किया जा सकता है, लेकिन इन भिन्नताओं का औसत जनसंख्या के विचरण के बराबर नहीं होता है।

वास्तव में, नमूना संस्करण का मतलब जनसंख्या के विचरण को कम करके आंका जाता है, जब तक कि एन -1 का उपयोग संप्रेषक में नहीं किया जाता है। यह सत्यापित किया जा सकता है कि अर्ध-विचरण E (s _c ²) का अपेक्षित मान ठीक ² s है ।

इस कारण से, यह कहा जाता है कि quasivariate निष्पक्ष है और जनसंख्या विचरण रों का एक बेहतर आकलनकर्ता है ² ।

वैकल्पिक तरीका गणना करने के लिए

यह आसानी से दिखाया गया है कि क्वासिवेरियन की गणना निम्नानुसार भी की जा सकती है:

s _c ² = -

मानक स्कोर

नमूना विचलन होने से, हम बता सकते हैं कि किसी विशेष मान x में कितने मानक विचलन हैं, या तो इसके ऊपर या नीचे हैं।

इसके लिए, निम्न आयाम रहित अभिव्यक्ति का उपयोग किया जाता है:

मानक स्कोर = (एक्स - एक्स) / एस _सी

व्यायाम हल किया

863 903 957 1041 1138 1204 1354 1624 1698 1745 1802 1883

a) शुरुआत में दिए गए quasivariance की परिभाषा का उपयोग करें और पूर्ववर्ती अनुभाग में दिए गए वैकल्पिक फॉर्म का उपयोग करके परिणाम की जांच करें।

बी) डेटा के दूसरे टुकड़े के मानक स्कोर की गणना करें, ऊपर से नीचे तक पढ़ना।

का हल

समस्या को एक सरल या वैज्ञानिक कैलकुलेटर की मदद से हाथ से हल किया जा सकता है, जिसके लिए क्रम में आगे बढ़ना आवश्यक है। और इसके लिए, तालिका में डेटा को व्यवस्थित करने से बेहतर कुछ नहीं है जैसे नीचे दिखाया गया है:

तालिका के लिए धन्यवाद, सूचना का आयोजन किया जाता है और सूत्रों में जिन मात्राओं की आवश्यकता होने वाली है, वे संबंधित कॉलम के अंत में हैं, तुरंत उपयोग करने के लिए तैयार हैं। संक्षेप में संकेत दिए गए हैं।

माध्य स्तंभ को हमेशा दोहराया जाता है, लेकिन यह इसके लायक है क्योंकि तालिका के प्रत्येक पंक्ति को भरने के लिए मूल्य को देखने के लिए सुविधाजनक है।

अंत में, शुरुआत में दिए गए क्वासिवरेट के लिए समीकरण को लागू किया जाता है, केवल मूल्यों को प्रतिस्थापित किया जाता है और समन के लिए, हमारे पास पहले से ही इसकी गणना है:

s _c ² = 1,593,770 / (12-1) = 1,593,770 / 11 = 144,888.2

यह क्यूसिविएरेट का मान है और इसकी इकाइयाँ "डॉलर स्क्वैयर" हैं, जो कि अधिक व्यावहारिक अर्थ नहीं देता है, इसलिए नमूने के अर्ध-मानक विचलन की गणना की जाती है, जो कि अर्ध-वर्गीय वर्ग की तुलना में अधिक नहीं है:

s _c = (_c 144,888.2) $ = $ 380.64

यह तुरंत पुष्टि की जाती है कि यह मान अर्ध-विचरण के वैकल्पिक रूप के साथ भी प्राप्त होता है। आवश्यक राशि बाईं ओर अंतिम कॉलम के अंत में है:

s _c ² = - = -

= 2,136,016.55 - 1,991,128.36 = $ 144,888 वर्ग

यह शुरुआत में दिए गए सूत्र के साथ प्राप्त समान मूल्य है।

समाधान b

ऊपर से नीचे तक दूसरा मान 903 है, इसका मानक स्कोर है

मानक स्कोर 903 = (x - X) / s _c = (903 - 1351) / 380.64 = 1.177

संदर्भ

1. Canavos, जी। 1988. संभाव्यता और सांख्यिकी: अनुप्रयोग और विधियाँ। मैकग्रा हिल।
2. डेवोर, जे। 2012. इंजीनियरिंग और विज्ञान के लिए संभावना और सांख्यिकी। 8। संस्करण। Cengage।
3. लेविन, आर। 1988. प्रशासकों के लिए सांख्यिकी। 2। संस्करण। शागिर्द कक्ष।
4. फैलाव के उपाय। से पुनर्प्राप्त: thales.cica.es।
5. Walpole, R. 2007. इंजीनियरिंग और विज्ञान के लिए संभावना और सांख्यिकी। पियर्सन।