तर्कसंगत संख्या: गुण, उदाहरण और संचालन - गणित - 2025

परिमेय संख्याओं सभी नंबरों को दो पूर्णांकों के विभाजन के रूप प्राप्त किया जा सकता है। परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं: 3/4, 8/5, -16/3 और वे जो निम्न आकृति में दिखाई देते हैं। एक परिमेय संख्या में भागफल को इंगित किया जाता है, यदि आवश्यक हो तो बाद में करना संभव है।

आंकड़ा किसी भी वस्तु का प्रतिनिधित्व करता है, अधिक से अधिक आराम के लिए गोल। यदि हम इसे 2 बराबर भागों में विभाजित करना चाहते हैं, तो दाईं ओर, हमारे पास दो हिस्सों में बचे हैं और प्रत्येक का मूल्य 1/2 है।

चित्र 1. तर्कसंगत संख्याओं का उपयोग संपूर्ण भागों को कई भागों में विभाजित करने के लिए किया जाता है। स्रोत: Freesvg

इसे 4 बराबर भागों में विभाजित करके, हमें 4 टुकड़े मिलेंगे और प्रत्येक की कीमत 1/4 होगी, जैसा कि केंद्र में छवि में है। और अगर इसे 6 बराबर भागों में विभाजित किया जाना है, तो प्रत्येक भाग 1/6 के लायक होगा, जिसे हम बाईं ओर की छवि में देखते हैं।

बेशक, हम इसे दो असमान भागों में भी विभाजित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए हम 3/4 भाग रख सकते हैं और 1/4 भाग बचा सकते हैं। अन्य विभाजन भी संभव हैं, जैसे 4/6 भाग और 2/6 भाग। महत्वपूर्ण बात यह है कि सभी भागों का योग 1 है।

इस तरह, यह स्पष्ट है कि परिमेय संख्याओं के साथ आप भोजन, धन, भूमि और सभी प्रकार की वस्तुओं को भिन्नों में विभाजित, गिन और वितरित कर सकते हैं। और इसलिए संख्याओं के साथ किए जाने वाले संचालन की संख्या का विस्तार किया जाता है।

परिमेय संख्या को दशमलव रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों में देखा जा सकता है:

1/2 = 0.5

1/3 = 0.3333…..

3/4 = 0.75

1/7 = 0.142857142857142857 ………

बाद में हम इंगित करेंगे कि उदाहरणों के साथ एक रूप से दूसरे रूप में कैसे जाना है।

परिमेय संख्याओं के गुण

परिमेय संख्याएँ, जिनके सेट हम अक्षर Q से निरूपित करेंगे, निम्नलिखित गुण हैं:

-Q में प्राकृतिक संख्या N और पूर्णांक Z शामिल हैं।

इस बात को ध्यान में रखते हुए कि किसी भी संख्या को स्वयं और 1 के बीच भागफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, यह देखना आसान है कि तर्कसंगत संख्याओं में से प्राकृतिक संख्या और पूर्णांक भी हैं।

इस प्रकार, प्राकृतिक संख्या 3 को एक अंश के रूप में लिखा जा सकता है, और -5 भी:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = ५ / -१ = - (५/१)

इस तरह, क्यू एक संख्यात्मक सेट है जिसमें बड़ी संख्या में संख्याएं शामिल हैं, कुछ बहुत आवश्यक है, क्योंकि "गोल" संख्याओं को करने के लिए सभी संभावित कार्यों का वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं है।

-Rational नंबरों को जोड़ा जा सकता है, घटाया जा सकता है, गुणा किया जा सकता है और विभाजित किया जा सकता है, ऑपरेशन का परिणाम एक परिमेय संख्या: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2)। (1/5) = 5/2।

प्रत्येक जोड़ी को तर्कसंगत संख्याओं के अनुसार बनाएं, एक और तर्कसंगत संख्या हमेशा मिल सकती है। वास्तव में दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।

उदाहरण के लिए, परिमेय 1/4 और 1/2 के बीच परिमेय 3/10, 7/20, 2/5 (और कई और अधिक) हैं, जिन्हें दशमलव के रूप में व्यक्त करके सत्यापित किया जा सकता है।

-एक तर्कसंगत संख्या इस प्रकार व्यक्त की जा सकती है: i) एक पूर्ण संख्या या ii) एक सीमित (सख्त) या आवधिक दशमलव: 4/2 = 2; 1/4 = 0.25; 1/6 = 0.16666666 ……

-एक ही संख्या को अनंत समतुल्य अंशों द्वारा दर्शाया जा सकता है और उनमें से सभी Q से संबंधित हैं। आइए इस समूह को देखें:

वे सभी दशमलव 0.428571 का प्रतिनिधित्व करते हैं…

-अगर सभी समतुल्य अंश जो एक ही संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं, इरेड्यूसबल अंश, सबसे सरल, उस संख्या का विहित प्रतिनिधि है। ऊपर दिए गए उदाहरण का विहित प्रतिनिधि 3/7 है।

चित्र 2.- परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)।

तर्कसंगत संख्याओं के उदाहरण

-प्रत्यक्ष अंश, वे जिनमें अंश भाजक से कम होता है:

-Improper भिन्न, जिसका अंश भाजक से अधिक होता है:

-अप्राकृतिक संख्या और पूरी संख्या:

-समतुल्य भाग:

एक परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण

जब अंश को भाजक से विभाजित किया जाता है, तो परिमेय संख्या का दशमलव रूप मिलता है। उदाहरण के लिए:

2/5 = 0.4

3/8 = 0.375

1/9 = 0.11111…

6/11 = 0.545454…

पहले दो उदाहरणों में, दशमलव स्थानों की संख्या सीमित है। इसका मतलब है कि जब विभाजन किया जाता है, तो शेष 0 को अंततः प्राप्त किया जाता है।

दूसरी ओर, अगले दो में, दशमलव स्थानों की संख्या अनंत है और इसीलिए दीर्घवृत्त को रखा गया है। बाद के मामले में दशमलव में एक पैटर्न है। अंश 1/9 के मामले में, संख्या 1 को अनिश्चित काल तक दोहराया जाता है, जबकि 6/11 में यह 54 है।

जब ऐसा होता है, तो दशमलव को आवधिक कहा जाता है और इसे इस तरह से कार्यवाहक द्वारा निरूपित किया जाता है:

दशमलव को भिन्न में बदलना

यदि यह एक सीमित दशमलव है, तो अल्पविराम को समाप्त कर दिया जाता है और भाजक इकाई बन जाता है, जिसके बाद दशमलव में आंकड़े होते हैं। उदाहरण के लिए, दशमलव 1.26 को अंश में बदलने के लिए, इसे इस तरह लिखें:

1.26 = 126/100

फिर परिणामी अंश को अधिकतम करने के लिए सरलीकृत किया जाता है:

126/100 = 63/50

यदि दशमलव असीमित है, तो पहली बार अवधि की पहचान की जाती है। तब परिणामी अंश को खोजने के लिए इन चरणों का पालन किया जाता है:

-सूचक संख्या (अल्पविराम या कैरेट के बिना) और उस भाग के बीच का घटाव होता है जिसमें कैरेट नहीं होता है।

- हर एक 9 के साथ एक पूर्णांक है, क्योंकि खदान के नीचे के आंकड़े हैं, और जितने भी दशमलव भाग के आंकड़े हैं, उनमें से कई ऐसे हैं, जो कि खदान के नीचे नहीं हैं।

चलिए दशमलव संख्या 0.428428428 को एक अंश में बदलने के लिए इस प्रक्रिया का पालन करते हैं।

-पहले, अवधि की पहचान की जाती है, जो अनुक्रम दोहराया जाता है: 428।

-क्योंकि बिना कॉमा या उच्चारण के संख्या घटाना का कार्य किया जाता है: 0428 उस भाग से जिसमें परिधि नहीं है, जो 0. है। यह इस प्रकार 428 - 0 = 428 है।

-प्रकारक का निर्माण किया गया है, यह जानकर कि परिधि के अंतर्गत 3 आकृतियाँ हैं और सभी परिधि के अंतर्गत हैं। इसलिए भाजक 999 है।

यदि संभव हो तो आंशिक रूप से अंश का निर्माण और सरलीकरण किया जाता है:

0.428 = 428/999

अधिक सरल करना संभव नहीं है।

तर्कसंगत संख्याओं के साथ संचालन

- जोड़ें और घटाना

एक ही हर के साथ अंश

जब भिन्नों का एक ही हर होता है, तो उन्हें जोड़ना और / या घटाना बहुत आसान होता है, क्योंकि संख्यात्मक को बस बीजगणितीय रूप से जोड़ा जाता है, परिणाम के हर के रूप में योजक के समान छोड़ देता है। अंत में, यदि संभव हो तो, इसे सरल किया जाता है।

उदाहरण

निम्नलिखित बीजीय जोड़ को पूरा करें और परिणाम को सरल बनाएं:

परिणामी अंश पहले से ही अप्रासंगिक है।

भिन्न भिन्न के साथ अंश

इस मामले में, परिशिष्ट को समान भाजक के साथ समान अंशों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है और फिर पहले से वर्णित प्रक्रिया का पालन किया जाता है।

उदाहरण

परिणाम को सरल करते हुए बीजगणितीय रूप से निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को जोड़ें:

कदम हैं:

5, 8 और 3 के भाजक को कम से कम सामान्य एकाधिक (lcm) निर्धारित करें:

lcm (5,8,3) = 120

यह सरलीकृत किए बिना परिणामी अंश का हर होगा।

प्रत्येक अंश के लिए: हर से LCM को विभाजित करें और अंश से गुणा करें। इस ऑपरेशन का परिणाम इसके संबंधित चिह्न के साथ अंश के अंश में रखा गया है। इस तरह, मूल के बराबर एक अंश प्राप्त होता है, लेकिन एलसीएम के साथ हर के रूप में।

उदाहरण के लिए, पहले अंश के लिए, अंश का निर्माण इस तरह किया जाता है: (120/5) x 4 = 96 और हम प्राप्त करते हैं:

शेष अंशों के लिए उसी तरह आगे बढ़ें:

अंत में, समान अंशों को उनके संकेत को भुलाए बिना प्रतिस्थापित किया जाता है और अंशों का बीजगणितीय योग किया जाता है:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- गुणन और भाग

गुणन और विभाजन नीचे दिखाए गए नियमों का पालन करते हुए किया जाता है:

चित्रा 3. तर्कसंगत संख्याओं को गुणा और विभाजित करने के नियम। स्रोत: एफ। ज़पाटा

किसी भी मामले में, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि गुणन सराहनीय है, जिसका अर्थ है कि कारकों का क्रम उत्पाद में परिवर्तन नहीं करता है। विभाजन के साथ ऐसा नहीं होता है, इसलिए लाभांश और विभाजक के बीच आदेश का सम्मान करने के लिए ध्यान रखा जाना चाहिए।

उदाहरण 1

निम्नलिखित कार्यों को पूरा करें और परिणाम को सरल बनाएं:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) 5 (2/9)

को उत्तर

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

उत्तर b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

उदाहरण 2

लुइसा $ 45 था। उन्होंने इसका एक दसवां हिस्सा एक किताब खरीदने में खर्च किया और एक टी-शर्ट पर जो बचा था उसका 2/5 हिस्सा। लुइसा के पास कितना पैसा बचा है? परिणाम को एक अप्रासंगिक अंश के रूप में व्यक्त करें।

उपाय

पुस्तक की लागत (1/10) x $ 45 = 0.1 x $ 45 = $ 4.5

इसलिए, लुइसा को छोड़ दिया गया:

45 - 4.5 $ = 40.5 $

उस पैसे से लुइसा ने कपड़े की दुकान पर जाकर शर्ट खरीदी, जिसकी कीमत है:

(2/5) x $ 40.5 = $ 16.2

अब लुइसा ने अपने पोर्टफोलियो में:

40.5 - 16.2 $ = 24.3 $

इसे अंश के रूप में व्यक्त करने के लिए इसे इस तरह लिखा जाता है:

24.3 = 243/10

वह अप्रासंगिक है।

संदर्भ

1. बाल्डोर, ए। 1986. अंकगणित। संस्करण और वितरण कोडेक्स।
2. कैराना, एम। 2019। गणित का मैनुअल। नेशनल यूनिवर्सिटी ऑफ लिटोरल।
3. फिग्यूरा, जे। 2000. गणित 8. एडिकेशन्स सह-बो।
4. जिमेनेज, आर। 2008. बीजगणित। शागिर्द कक्ष।
5. परिमेय संख्या। से पुनर्प्राप्त: Cimanet.uoc.edu।
6. परिमेय संख्या। से पुनर्प्राप्त: webdelprofesor.ula.ve।